河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二期中 数学 叁考管案及解折 选择/填空题答案速查 题号 2 9 10 1 12 13 14 答案 D B AD ABD ACD 11 42 一、1.C【解析】先选1名男生，有C5=5(种)选法；再 7.D 【解析】构造函数f(x)=e-x-1,则f'(x)=e-1. 选1名女生，有C4=4(种)选法.按分步乘法计数原 当x>0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+0)上单调递 理得不同的选法共有5×4=20（种）.故选C. 3 增，所以f(x)=e-x-1>f(0)=0,所以当x= 2.B【解析】由题意，得通项T+1=C6·(2x)·(-1)'· 时， x=C6·2-·(-1)·x5-.令6-2r=0,得r=3.则 3 1+3 =1.6,即a>h. T3+1=Cg·26-3·(-1)3=-160.故选B. 令h(x)=xe,则h'(x)=(x+1)e*>0在x∈(0，+∞) 3.C【解析】由题意，得a+b+a+a+2b=1,解得a+b= 上恒成立，所以h(x)=xe在(0，+∞)上单调递增，所 ,所议P(X≥2)=P(X=2)+P(x=3)=2(a 以Aa.6)<(h2》,即<9n2,放所以c 号故接C b.故选D 4C【解折1（条件概率缩小概率空间法）由题意得。&B【解桥】设P(,),则PR,=二(，)。 抽取的2个部件中至少有1个长部件的情况共有 C4C4+C?=22(种)，其中2个部件均为长部件的情况 ,双曲线C在点P(xp,yp)处的 有C=6(种)，故所求概率吕品故选c 切线l的方程为 Xpx ypY a2 b2 =1,则切线1与x轴的交点 5.D【解析1由题意，得∫"()=2x-+八)是增 c 函数，∴f'(x)≥0在(0，+0)上恒成立，即2x-t+ 1OF2c- cXp+a2 上≥0在(0，+0)上恒成立，1≤2x+又2x+1≥ PF2 PF2 1QF21 2222,当且仅当2x=即号时，等 PE 所以 1QE7= SAPF 0 号成立，∴.t≤22，.t的取值范围为(-0,2√2].故 1 2·lPF,·|PQ|·sinF,Pg 选D. -,则sin∠F,PQ= 6.A【解析】设事件A,为零件来自甲生产线，A2为零 Pm·PQ血zr 件来自乙生产线，B为抽到的零件为次品.由题意，得 sin∠F2PQ,故∠F1PQ=∠F2PQ或∠F,PQ+∠F2PQ= P(A1)=0.6,P(A2)=04,P(B1A1)=0.02,P(B1A2)= π（舍去），所以切线1与∠F,PF2的平分线重合.如 0.05.所以由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B1A1)+ 图，延长F2M交PF1于点N,则Rt△PMF2≌ P(A2)P(B1A2)=0.6×0.02+0.4×0.05=0.032.根据 Rt△PMN,故|PF2|=|PN|,且M为F2N的中点，则 贝时斯公式得P(A,1B)=PM,)P(BA)Q6Q2 PF-PF2I=PF-PNI=NF=2a. P(B) 0.032 0.375.故选A △F,R中，中位线10M=2|NF,l=a.又0M= 数学 参考答案及解析 11.ACD【解析】对于A,分成4份，每份至少1枚，实 b,则a=b,所以离心率e=C=,1+ =√2.故选B. a 质为10的无序分拆数，共有以下9种情况：①1,1， 1,7;②1,1,2,6；③1,1,3,5；④1,1,4,4；⑤1,2,2,5； ⑥1,2,3,4⑦1,3,3,3：⑧2,2,2,4；⑨2,2,3,3.故A P(XPVP) 正确. 对于B,分给4人，每人至少1枚，可以将10枚金币 排成一行，它们之间有9个空隙，在这9个空隙中选 出3个位置插入隔板，隔板把金币分成4段，从左到 右依次对应分给4人，所以共有Cg=9x8x? 3x2x7 二、9.AD【解析】对于A,由题意得C2=C3,则n=5,故 84(种)分法，故B错误. A正确。 对于C,分给4人，每人至少1枚，且每人所得数目 对于B,因为n=5,所以展开式的二项式系数和为2， 互不相同，只有1,2,3,4这一组数值组合，所以共有 故B错误 A4=24(种)分法，故C正确. 对于C,令x=1,则展开式的各项系数和为(2-3)= 对于D,先分甲1枚，乙2枚，剩余的金币无限制条 （-1)5=-1,故C错误. 件分给4人，共有C。种分法，当丙分得金币大于3 对于D,因为T1=C5·2r·(-3)·x,所以ao, 枚时，可先分甲1枚，乙2枚，丙4枚，剩余金币无限 a2,a4小于0，a1,a3,a5大于0.当x=-1时，(2c-3)5= 制条件分给4人，共有C。种分法，所以共有C3。-C。= a0ta1x+a2x2+…+a5x3=a0-a1ta2-a3+a4-a5=-55,所 100(种)分法，故D正确.故选ACD laol+la]I+lazl+la3l+lasl+lasI=-(ao-a+a2- 三、12.11【解析】因为Y=3X-1,E(X)=4,所以E(Y)= a3+a4-a)=55,故D正确故选AD. 3E(X)-1=3×4-1=11. 10.ABD 【解析】对于A,若从袋子中有放回地依次随 3.1【解析】由=(x+m)得y=设直线y=+m 机摸球，X为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 与曲线y=ln(x+n)相切于点（xo,yo),则 P(X=3)= 号品故正晚 1 =1, 对于B,若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球， xo+n 解得xo=-m=1-n,所以n-m=1. Y为摸出的球中红球的个数，则P(Y=2)= CC2 (In(xo+n)=%o+m, 14.42【解析】本题采用排除法解决问题，先计算A→D 0了，故B正确 3×2_3 的路径条数，就是将5次向右与4次向下排个顺序， 故有C。种不同的路线.其中经过B的路径条数有 对于C,若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球， C2C?种，经过C的路径条数有CC种，经过B与经 记摸到红球次数为X,则X~B小，号）记摸到白球 过C的路径中重复的路径A→B→C→D的路径条数 为CCC种.故最终从A→D且避开B,C两点的路 次数为Y=5-X,则Z=X-Y=2x-5,所以D(Z)= 径共有N=Cg-CC-C2C+CCC=42(条). D2-5)=40(0=4×5××(1-）-4故c 3. 四、15.解：(1)设事件A:第二次识别成功；事件B:5次 中恰有3次识别成功. 错误 则事件AB:第二次识别成功，且5次中恰有3次识别 对于D,若从袋子中不放回地依次随机摸球，W为第 成功，即除第二次外，剩余4次中恰有2次识别成功. 3个红球被摸出所需的摸球次数，则W的可能取值 (1分) A号1 为3,4,5，所以P(W=3)= A10P(W=4)= 36x 41 CC2A 3 Ai0P(W=5) E,则E()=3X AA号_3 16 8 (3分) 1 x5=2,故D正确故选ABD 因为P(A)= 2 3 2 高二期中 数学 16 y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系， 所以P(BIA)= 81163_8 81227 (6分) 3 (2)由题意，得X-5,号 ,且X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5, (7分) 则P(X=0) c()'() E P(X=1)= )) 10 则F(0,0,0),A(0,0,3),C(3,0,0),D(-3,2, P(X=2)=( 0), C⑦=(-25,2,0)，A元=(3,0，-3).(10分) P(X=3)= c)0 平面ABC⊥平面BCD, .平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1).（11分) 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), P(X=5)= c()) 32 =243 (10分) 则 n·C⑦=0，n（-23x+2y=0, 即 ·A花=0,5x-5z=0, 所以X的分布列为 令x=1,则y=√3，z=1,.n=(1,3,1) (13分) 0 1 2 3 4 5 1 10 40 80 80 32 六cos(m,n)=m·n=1-5 Imllnl 55 (14分) 243 243 243 243 243 243 (11分) ÷二面角4-CD-B的余弦值为 5 (15分) E()=5x2-10 3=3 (13分) 17解：1)当e时，2 a2=1, 16.(1)证明：在△BCD中，E是CD的中点，且EB=EC= b2b23 ED,∴.BC⊥BD. (2分) 解得y= a a 2 (2分) 又：AB⊥BD,AB∩BC=B,AB,BCC平面ABC, ∴.BD⊥平面ABC (4分) ,e= a 。=2,解得a=2,6=3.(4分 c 1 b3 2 :BDC平面ABD ·.平面ABC⊥平面ABD. (6分) G的办程为导+号1 (5分) (2)解：由(1)知，在Rt△BCD中，CD=4,BC2+ (2)(方法一)如图，延长AF,与椭圆的另一个交点 BD2=CD2, 为D 又BC=√3BD,则BD=2,BC=2W5. (7分) 取BC的中点F,连接EF,AF, 则EF/BD,且EF-0=L 由(1)知BD1平面ABC, .EF⊥平面ABC. AFC平面ABC,.EF⊥AF, 则AF=√AE2-EFr=√3， (8分) 当AF⊥BC时，△ABC的面积最大，此时AB=AC,平 由椭圆的对称性可知|FD|=BF2· (6分) 面ABC⊥平面BCD. (9分) 由(1)知c=√a2-b=1,.F(-1,0) 以F为坐标原点，FC,FE,FA所在直线分别为x轴、 易知直线AF,的斜率不为0. 3 数学 参考答案及解析 设直线AF1的方程为y=x+1,A(x1y1),D(x2,y2) 又直线AF,与BF2的距离d= .2 (7分) √1+2 (ty=x+1, 联立 四边形ACR,B的面积S=A,+1B那，)·d 2 431, √1+2. 12√P+1 112√0+1122 消去x并整理，得(3t2+4)y2-6y-9=0, (8分) 32+4√1+ 32+4 7 则△=36t2+36(3t2+4)>0, (13分) 6t -9 整理得18t4-t2-17=0,解得t=±1， (14分) 1t32+42=30+4 (9分) ∴.直线AF,的方程为x-y+1=0或x+y+1=0. 设点F2到直线AF1的距离为d, (15分) 则四边形AC,R,B的面积S-MA5,+BF,)·d 18.解：(1)由题意，得'(x)=2e24+2ax+b, (1分) 2 (10分) 所以)e+，切线斜率=（分） =2e+ (IA,I+IF,D):d:AD1·d a+b. (2分) 2 2 =S△AP IFFaly=1y=4y= 因为切线经过点(0，》， 2 所以2e+a+b=2e+4+22 a,b_1 (3分) 6）-4x9=12中-1, W3t2+4/ ,(13分) 解得a=-2. (4分) 3t2+43t2+4 7 (2)由(1)知fx)=e2x-2x2+bx, 整理得18-t2-17=0, 则f'(x)=2e2x-4x+b. (5分) 解得t=±1， (14分) 设g(x)=f'(x),则g'(x)=4e2-4. .直线AF,的方程为x-y+1=0或x+y+1=0. 当x<0时，g'(x)<0,此时g(x)单调递减； (15分) 当x>0时，g'(x)>0,此时g(x)单调递增. (7分) (方法二)由(1)知c=√a2-b=1,.F(-1,0) 所以g(x)≥g(0)=2+b. 易知直线AF,的斜率不为0. (6分) 因为b≥-2，所以g(x)≥0， 设直线AF,的方程为y=x+1,BF2的方程为y=x- 即f'(x)≥0， (8分) 1,A(x1y1),B(x2y2) 所以函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增. (9分) y=x+1, (3)h(x)=e2-2x3-2x2+bx-1,则h(0)=0, 联立 所以问题转化为函数h(x)在(0，+∞)上有2个零 点 (10分) 消去x并整理，得(3t2+4)y2-6y-9=0, (8分) 令(x)=0,得6-2x+2r2-e+1 x>0) 则4=36t2+36(3t2+4)>0, 6t±12√+13±6√+1 设p(-2+2-c+0, .y (9分) 2(3t2+4)3t2+4 由题意知A,B两点在x轴同侧，不妨设y1>0,则 则p(x)=(2x-1)(2x2+2x+1-e2) (12分) x2 y2>0, 由(2)知，当b=-2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以e2-2x2-2x>1对任意的x>0成立， y1= 红1同理可得3+6V+1 32+4 即2x2+2x+1-e24<0(x>0). (14分) (10分) 当e(0,）时，p'()>0,此时p()单调递增： Af,=V1+ry,=1+.3+6VF+I 3t2+4 当x∈（分，+）时，p'(x)<0,此时p(x)单调递减 |BE,=VI+,=√I+e.-3+6F+ .(11分)》 3t2+4 所以()m=n）=子-2 高二期中 数学 当x0时，p(x)→-2，当x→+0时，P(x)→-0 因为p1P2, 所以-2子-2 所以应选择方案一进行测试更容易通过. (9分) (3)由题意，得Y=2,3,…,n(n≥2) 综上所述，-2<728 (17分) A好 P(Y=2)=￥，P(Y=3)= (C9+C2·2) (10分) 19.解：(1)同时激活了4个独立技能单元且内置了3种 不同服务技能， pY=n-CC+C,24c·2++C1·29) 则总共有3种不同的情况 (1分) (11分) 记X为启动的服务技能的数量，则恰好启动了2种 又(2+1)-1=C+C7.2+…+C1·2-2+2m-1, 不同技能有两种情况： ①一种服务技能启动了3次，另一种服务技能启动 质以=-子×2}（分， 了1次，共有CCC2=24(种)不同的情况；(2分) cicic= 则(n=[后()（合）门 (13分) ②两种服务技能均启动了2次，共有 18(种)不同的情况. (3分) 记4=2x(）+3x(）++()广，回 所以P(X=2)=24+1814 3427 (4分) a.-2x分)°+3x分）+x(分”， (2)方案一：若3种服务技能全部启动， CC2A 4 则子4.=2x(）'+3x(2‘+…x()”,@ 则P(X=3)= 349 (5分) ①-②，得4.=2x)‘+()广+…+(）”-x 故此时通过测试的概率P1=P(X=2)+P(X=3)= 6 27 (6分) -gH1r 方案二：n=6,此时通过测试有三类情况， 1 ①三种服务技能分别启动了4次、1次、1次，共有 CgCA好=90（种）不同情况； 所以A-经3(a+4)×(任）八， (16分) ②三种服务技能分别启动了1次、2次、3次，共有 C6CA=360(种)不同情况； 同理可得B,=子(a+2)×(2)八， ③三种服务技能均启动了2次，共有C2C?=90(种) 不同情况 所以(00=号A,-8,=6+(a+2)x)广-2(+4)× 故共有90+360+90=540（种）不同情况. () (17分) 所以通过测试的概率P2= 54020 36-27 (8分) 5 ·9 証年 LI 瑶品拇 6I 近二雨雠点廉号再与号岳 暗回学多豫函设 拇豫者出唑科東阳谁囷巢 LI 暗易揭 81 味源者出唑罩回了阳廉者 甜（新厚 关磊丹阎鲫与彩厚科 SL 易越 LI 山束g洋汉盘（我4，画鲫 ￥阳耳距苦，奥二非梁 1 A SI 瑶品越斟 9I 雪回回出其味草垂興奥 雠索豫业巧二旺些G洋 EI 品越 SI Y雪年4飘虚潍`率螂苦 ∧ 藤号围与号岳 毛兼 L A 罩山涤者 新 EI 孙阳蚕雠索族 新 ZI ∧ ∧ 梁邳幽豫号围与号肠 9 #粱 II 弄雌洋汉业9吾金14聊四 1 A A 八 9 酷寿买 OL 孙案其汉年7误（州些：近虹二 唑豫 ￥近名刚年迁到近二唑濂茎 9 骟采 6 年近二源垂马毁擦兰明近甲 四山 基职 吏鼎阳彩甲巡其明新甲还 /￥海H豫者出唑‘豫囷职衅 菇采 < 平雌和道平7率幽舌 酷堪采 9 ∧ 骚回孙東獠图设捣濂台出唑 S 骟#职 入 入 廉号肜率缈苦 #买 8 ∧ 旺业阳雪正14聊罹準微 酷#职 证马年近二 #买 个 号围与号禹 #买 I 班 : 莧买 芳腳 御段 缸 興 中曾 郢璨 点廉 的厚 素 越盈 素 游此县不 虚 各骚 到秘鲤 柴￥楗索 ￥目膨蹈斐 4热江嵩最条妥 素C.若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，Z为摸出红球的次数与摸出白球的次数之差，则 a+b a+2b D(2)=12 5 则P(X≥2)= A号 B号 c号 D.3 4 D.若从袋子中不放回地依次随机摸球，即为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则E(阶=？ 4鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部 11.现有10枚相同金币进行如下操作，则下列说法正确的是 () 件的搭配蕴含概率思想。现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部 A.分成4份，每份至少1枚，则共有9种分法 件、2个中部件、2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同现从这8个部件中随机抽取2个（不放回 B.分给4人，每人至少1枚，则共有9种分法 抽取)，已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为 () C.分给4人，每人至少1枚，且每人所得数目互不相同，则共有24种分法 B号 c 3 D.分给4人，允许有人1枚都没分到，若甲至少1枚，乙至少2枚，丙至多3枚，则共有100种 0.7 分法 数学第1页（共4页） 数学第2页（共4页） 绝密★启用前 5.已知函数(x)=x2-x+nx是增函数，则：的取值范围为 () 2025一2026学年高二下学期期中考试 A.[3,+∞) B.(-∞，3] C.[22,+∞) D.(-∞，22] 6.某工厂有甲，乙两条生产线生产同一种零件，产量分别占总产量的60%和40%已知甲生产线 数学试卷 次品率为2%，乙生产线次品率为5%现从该厂产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品来 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟」 自甲生产线的概率约为 注意事项： A.0.375 B.0.429 C.0.571 D.0.625 () 如 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写 7已知a=0.b=1.6,c-9n2,则a.6,c的大小关系为 在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“贴条形码区"。 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑： D.c>a>b x2y2 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 8.已知F1,P分别是双曲线C:。云1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线C右支上任意一点P处 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作苍，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的切线为L,过F2作切线1的垂线，垂足为M,0为坐标原点，若10M1=b,则双曲线C的离心率 位置上：如需改动，先划拌原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上 为 () 要求作答的答案无效。 ◇ 4,考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 B.√2 C.3 D.2 长 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题目要求的。 9.已知(2x-3)“=ao+a1x+a2x2++anx,且第3项与第4项的二项式系数相等，则 () 1.某班有男生5人、女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共 A.n=5 B.展开式的二项式系数和为2 有 () C.展开式的各项系数和为1 D.laol+laI+lazl+...+laI=53 A.9种 B.14种 C.20种 D.40种 10.已知袋子中放有大小、质地完全相同的3个红球和2个白球，则下列说法正确的有 () 2在2-9 A.若从袋子中有放回地依次随机摸球，X为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 的展开式中，常数项是 p(X=3)=125 12 A.-240 B.-160 C.160 D.240 3.已知随机变量X的分布列为： B.若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，Y为摸出的球中红球的个数，则P(Y=2)=5 3 19.(17分) 擗 某科技公司研发一款智能机器人，内置了若干种不同的服务技能，机器人在每次服务技能测试 时，会随机同时激活多个独立技能单元，每个技能单元会随机启动一种服务技能，每个服务技 16.(15分) 能被启动的概率都相等，且每个技能单元启动何种技能相互独立. 如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，且EA=EB=EC=ED=2,AB⊥BD. (1)若同时激活4个独立技能单元且内置了3种不同服务技能，求恰好启动了2种不同服务 (1)证明：平面ABC⊥平面ABD. 技能的概率 (2)若BC=√3BD,当△ABC面积最大时，求二面角A-CD-B余弦值的大小. (2)假设该款机器人内置了3种服务技能.现有两种测试方案： 方案一：同时激活4个独立技能单元，若启动了两项以上服务技能，则通过测试； 方案二：同时激活6个独立技能单元，若启动了所有服务技能，则通过测试。 当 试判断该机器人测试时，应选择哪种方案进行测试更容易通过，并说明理由。 (3)为了进一步完善该款智能机器人性能，该公司对该机器人进行不同场景的服务训练：共有 纱 四种不同的场景，其中两种常见场景，两种特定场景.每次让不同的人选择一种场景进行训 练，每个人选择何种场景相互独立，直到两种常见场景都至少训练一次，才停止训练，记训练的 ◇ 总次数为Y,求E(Y). 17.(15分) 云长=1(a>b0)的离心率为分，左，右焦点分别是R,R,点A,B在椭圆上，A机， 椭圆c, 烯 3 BF,当AF,与x轴垂直时，1AF,1=2 数学第3页（共4页） 数学第4页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分。 (I)求C的方程 12已知离散型随机变量X的期望E(X)=4,随机变量Y=3x-1,则门=一 (2)若四边形AF,B的面积为 122 ,求直线F,的方程， 罗 13.若直线y=x+m与曲线y=n(x+n)相切，则nm= 14如图，质点需从54网格A点沿着网格线移动到D点，每试仅能肉右或向下移动一格，且不经 过B,C两点，则不同的路径共有 条 ◇ 18.(17分) 莎 四、解答题：本题共5小题，共7门分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步果。 已知函数到户a,角线y)在处的切线经过点0，》 (1)求a: 性 15.(13分)》 (2)当6≥-2时，讨论(x)的单调性： 莱人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为子，夫殿的餐率为了，备次识别相 (3)记()=)-2x-1,若(x)在区间[0，+)上存在3个零点，求6的取值范围 烯 互独立，现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量X 0 (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求X的分布列与数学期望E(X) ®