精品解析：上海市大同中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二数学

2025学年第二学期期中考试试卷 高二数学 90分钟 满分100分 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 2. 直线与直线平行，则__________. 3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则______. 4. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________. 5. 已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数______. 6. 已知、取值如表所示，从散点图分析，与线性相关，且，则__________. 0 1 3 4 0.9 1.9 3.2 4.4 7. 若双曲线两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________. 8. 过点作直线与圆：相切，则直线的一般式方程是_________. 9. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 10. 学校对社团展演活动满意度进行调研，随机抽取高一高二学生各50名，每位同学给出满意或不满意的评价，得到列联表.依据，若没有95%的把握认为年级会对满意度评价有差异，则的最小值为__________.附：， 满意 不满意 高一 高二 11. 、、是我方三个炮兵阵地.地在地的正东，相距；地在地的北偏西，相距.为敌方炮兵阵地.某时刻地发现地某种信号，12秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为/秒）.若从地炮击地，准确炮击的方位角是__________. 12. 双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为________ 二.选择题（每题4分，共16分） 13. 某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图如下所示，则下列说法错误的是（ ） A. 身高越高，体重越重； B. 身高与体重同向变动的倾向； C. 身高与体重之间有明显的相关性； D. 身高与体重成正相关 14. 为研究蔬菜植株感染红叶螨能否引起植株形成某种抗体，使用列联表独立性检验.随机抽取一定量植株，获得观察数据，制作列联表.提出原假设：感染与形成抗体__________；确定显著性水平；若计算得；依据，从而__________原假设，即得统计决断.（ ） A. 有关；拒绝 B. 有关；接受 C. 无关；拒绝 D. 无关；接受 15. 已知，，在曲线上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 16. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论： ①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为； ②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则； ③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3； ④“水滴”图形的面积是. 其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 三.解答题（共48分） 17. 绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为时，气体温度达到绝对零度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 （1）用上表数据建立气体压强与气体温度的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差 （2）估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到） 18. 已知圆经过，圆. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相切，求的值. 19. 已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和. （1）求椭圆的标准方程； （2）是轴正半轴上的一点，求的最大值. 20. 已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为. （1）求双曲线的标准方程； （2）斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点， ①求的取值范围； ②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标. 21. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，、的延长线分别交椭圆Γ于点、，直线与交于点R． （1）求的周长； （2）当垂直于x轴时，求直线的方程； （3）记与的面积分别为、，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试试卷 高二数学 90分钟 满分100分 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 【答案】 【解析】 【详解】过、两点的直线的倾斜角为， 说明的横坐标相同，且纵坐标不同，即. 2. 直线与直线平行，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解. 【详解】法一：两直线平行，则； 法二：两直线平行，，则, 故答案为：. 3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程为，可得椭圆的右焦点坐标为，由抛物线方程为可得其焦点为 ，由题意有，再求解即可. 【详解】解：由椭圆方程为：，则， 则椭圆的右焦点坐标为， 又抛物线的焦点坐标为： ， 又抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 则，解得， 故答案为. 【点睛】本题考查了椭圆焦点坐标的求法及抛物线焦点坐标的求法，重点考查了运算能力，属基础题. 4. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果. 【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4， 所以 故答案为：8 【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 5. 已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数______. 【答案】－1 【解析】 【分析】由所有样本点都在一条直线上，结合相关系数的意义，可得出答案. 【详解】由题意，所有样本点都在直线上， 所以这组样本数据完全负相关，即相关系数为. 故答案为：. 6. 已知、取值如表所示，从散点图分析，与线性相关，且，则__________. 0 1 3 4 0.9 1.9 3.2 4.4 【答案】 【解析】 【详解】，， 所以 7. 若双曲线两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，渐近线方程是，，再据，得出与的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】∵双曲线 的两个顶点三等分焦距， ∴，，又，∴ ∴渐近线方程是，故答案为． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线 的渐近线方程为属于基础题． 8. 过点作直线与圆：相切，则直线的一般式方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意判断直线的斜率存在，设直线的方程为：，化为一般式，再由圆心到直线的距离等于半径，即可解得. 【详解】由题意直线的斜率存在，设直线的方程为：， 即. 又直线与圆：相切，圆心，半径为， ， 化简得，. 直线的一般式方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题. 9. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 10. 学校对社团展演活动满意度进行调研，随机抽取高一高二学生各50名，每位同学给出满意或不满意的评价，得到列联表.依据，若没有95%的把握认为年级会对满意度评价有差异，则的最小值为__________.附：， 满意 不满意 高一 高二 【答案】21 【解析】 【分析】根据定义算出的表达式，由题意得，可得出的最小值. 【详解】由题意得，并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值为. 11. 、、是我方三个炮兵阵地.地在地的正东，相距；地在地的北偏西，相距.为敌方炮兵阵地.某时刻地发现地某种信号，12秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为/秒）.若从地炮击地，准确炮击的方位角是__________. 【答案】北偏东. 【解析】 【分析】以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可知在以，为焦点的双曲线的右支上，可求出点的轨迹方程，再求出线段的垂直平分线方程，联立两个方程可得点的坐标，再求即可求解. 【详解】以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，正东方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，， 因为， 所以在以，为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为，则，， 可得， 所以双曲线方程为， 即敌方炮兵阵地P可能分布在以，为焦点的双曲线的右支上，该轨迹的方程为； ，，所以， 因为C地与B地同时发现该信号， 所以，所以在线段的垂直平分线上， 因为，线段的中点坐标， 所以直线的方程为：，即， 由可得：， 即，解得：或（舍） 所以，，所以， ，所以， 所以点在点的北偏东方向，即准确炮击的方位角为北偏东. 12. 双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为________ 【答案】或 【解析】 【分析】当直线交双曲线两支时，不妨设双曲线的焦点在轴，设过的直线与圆相切于点，则在、中应用正弦定理可得，再结合双曲线定义可得，再运用余弦定理可得，进而可求得离心率；当直线交双曲线一支时，设过作圆的切线切点为，过作直线的垂线，垂足为，根据已知条件分别求解出，，代入双曲线定义中可得：，进而求解离心率. 【详解】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为， 不妨设双曲线的标准方程为，则， 设过的直线与圆相切于点，则在中，， 且点位于双曲线的右支，如图所示， 在中，由正弦定理得， ， 又， ， 在中，， 即， 化简得，即. 当直线与双曲线交于一支时，如图， 设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：， 所以. 故答案为：或 二.选择题（每题4分，共16分） 13. 某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图如下所示，则下列说法错误的是（ ） A. 身高越高，体重越重； B. 身高与体重同向变动的倾向； C. 身高与体重之间有明显的相关性； D. 身高与体重成正相关 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项A不正确； 对于B，由散点图知，身高增加时，体重也呈现增加的趋势，有同向变动的倾向，B正确； 对于C，身高和体重有明显的相关性，C正确； 对于D，身高增加时，体重也呈现增加的趋势，所以身高与体重呈正相关，D正确. 14. 为研究蔬菜植株感染红叶螨能否引起植株形成某种抗体，使用列联表独立性检验.随机抽取一定量植株，获得观察数据，制作列联表.提出原假设：感染与形成抗体__________；确定显著性水平；若计算得；依据，从而__________原假设，即得统计决断.（ ） A. 有关；拒绝 B. 有关；接受 C. 无关；拒绝 D. 无关；接受 【答案】D 【解析】 【详解】在独立性检验中，提出原假设：感染与形成抗体无关，当计算得到的统计量小于临界值时，就接受原假设. 15. 已知，，在曲线上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】 【详解】设,则， ，直线方程为：，即， 所以到直线的距离为 设，由于，显然单调递减， ，无最小值， 即边上的高有最大值，无最小值，又为定值，故面积有最大值，无最小值. 16. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论： ①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为； ②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则； ③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3； ④“水滴”图形的面积是. 其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①②令，可得的范围，可以进行判断；对于③利用圆的参数方程,可得点到原点的距离,结合三角函数求最值；对于④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成. 【详解】①由于，，令， ， 解得，所以“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为，故①正确； ②由①得，阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则，故②错误； ③由于，设，， 所以点到原点的距离，当时，点到原点的距离取到最大值3，故③正确； ④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成，半圆的半径为1，弓形半径为2，圆心角为. 所以. 故④错误. 故选：C. 三.解答题（共48分） 17. 绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为时，气体温度达到绝对零度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 （1）用上表数据建立气体压强与气体温度的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差 （2）估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到） 【答案】（1），回归方程是理想的 （2） 【解析】 【小问1详解】 ， ， ， 将，即代入， 解得 回归方程为 ， , 因为 ，所以回归方程是理想的. 【小问2详解】 回归方程为， 令，解得（）， 预估该次实验下绝对零度的数值为. 18. 已知圆经过，圆. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相切，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的方程，代入点的坐标求解计算即可； （2）经分析两圆外切，把两圆外切转化为圆心距离等于半径之和，列式计算即可. 【小问1详解】 设圆，因为圆过三点， 则，所以，所以， 即； 【小问2详解】 圆化为标准方程为， 因为圆与圆的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且， 则有，解得. 19. 已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和. （1）求椭圆的标准方程； （2）是轴正半轴上的一点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解； （2）设，根据两点间距离公式和二次函数的图像与性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设， 则 当时， 当时，， 所以. 20. 已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为. （1）求双曲线的标准方程； （2）斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点， ①求的取值范围； ②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2）①； ②设， 令，则 ， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出方程； （2）设直线，，联立直线与双曲线方程，消元、得到 、及；①根据且得到方程组，解得即可；②表示出的方程，令求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 设直线， 联立消去整理可得， 则，又 ，， ①因直线与双曲线交于两支，所以且， 即； ②略 21. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，、的延长线分别交椭圆Γ于点、，直线与交于点R． （1）求的周长； （2）当垂直于x轴时，求直线的方程； （3）记与的面积分别为、，求的最大值． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义直接可以得出答案； （2）根据题意可得P，的坐标，进而得到直线的方程，与椭圆方程联立，可求得的坐标，进而得到直线的方程； （3）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理可将，的纵坐标用表示，进而可得，然后利用三角换元，结合基本不等式即可求得最值． 【小问1详解】 由椭圆的方程可得，可得， 可得a＝2，c＝1， 由椭圆的定义可得：的周长为4a＝8， 所以的周长为8； 【小问2详解】 由（1）可得，当垂直于x轴时， 则的纵坐标为， 所以， ∴，直线的方程为：， 联立，解得或，则， ∴， ∴直线的方程为，即； 【小问3详解】 设，，设直线的方程为，其中， 联立，消去x并整理可得，， 由韦达定理可得，， 又，则， ∴， 同理可得. ∴ ， 令，， ， 当且仅当，即时取等号. ∴的最大值为． 【点睛】总结点睛： 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $