江苏南通市海安市实验中学2026届高三下学期四月模考数学试卷

高三四月模考数学试卷 一、单选题 1.已知集合A={x∈Zx+1>0,B=x|x+1≤3}，则A∩B=() A.{-1,0,1,2} B.{-1,0,1} C.0,1,2} D.0,1} 2.在复平面内，复数对应的点的坐标是(12)，则复数的虚部是() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.若空间中三条不同的直线a,b,c满足a⊥c,b⊥c,则a/b是a,b,c共面的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量e=(1,0),e2=1,3),设ā=4e+e,五=3记-e,则a与6的夹角为() A若 B c胃 D. 2π 已知双曲线，C:X-卫a>0.,b>0),过顶点A作C的一条渐近线的垂线，交y轴于 B,且AB=√d+b,则C的离心率为() A.3 B.2 C.5 D.√5 6.已知tan8tan20_4 tan0-tan295,则sin'0+cos'日=(） 9 A.25 B.5 3 c品 D. 25 7.己知AB为圆锥PO的底面直径，O为底面圆心，正三角形ACD内接于⊙O,若PA=6, 圆锥的侧面积为122元，则PA与BD所成角的余弦值为() A. 6 B.3 c:⑤ D. √2 4 5 3 8.已知点A(-23,0),C,D是⊙0：x2+y2=16与x轴的交点.点B满足：以AB为直径 的圆与⊙O相切，则△BCD面积的最大值为() A.4W5 B.8 C.12 D.16 试卷第1页，共4页 二、多选题 9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分) 绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生 得分平均数的估计值为x,高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y,z,从高 一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件M=“高一年级学生得分不低于60分，高二年级 学生得分不低于80分”，事件N=“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低 于60分则() 率 A频率 组距 组距 0.030 0.030 0.020 0.020 0.015 0.010 0.010 0.005 0.005 30405060708090100分数 0 30405060708090100分数 高一年级学生得分 高二年级学生得分 A.x< B.y>z C.事件M,N互斥D.P(M=P(N) 10.将函数f(x)=sin 2x- 6 的图象向左平移严个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(） 6 A.f(x)与g(x)的图象关于直线x= 1对称 4 B.f(x)与g(x)的图象关于点 0对称 c当g时.1g D.当x∈(2兀，4π)时，f(x)与g(x)的图象恰有4个交点 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)f(1-y)+f(y)f(1-x)=2f(x+y),f(0)=1, 则() A.f(2)=1 B.3x。∈R,f(x)<0 C.f(x)的图象关于点(0,1)对称 D.f(x)为偶函数 三、填空题 12.已知△ABC为锐角三角形，且AB=5,AC=6,△ABC的面积为6√6，则 BC= 试卷第2页，共4页 13.已知函数f(x)= x-d-a+1,x>1 x2-2ar+3,x≤1 的最小值为-1，则a= 14.如图，在4×4的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋 子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 四、解答题 15.己知{a}是等差数列，{bn}是等比数列，且4=b=3,a2+a=2b2,a4=b. (1)求{a}和{b}的通项公式： (2)求数列 D. 的前n项和. 16.如图，三棱柱ABC-AB,C的所有棱长都为2，∠AAC=60°，M是AA的中点，AC1⊥BM. C B (1)证明：平面ACCA⊥平面ABC: (2)求CB,与平面ABBA所成角的正弦值. 试卷第3页，共4页 17.已知函数f(x)=(x-1)e-ax-b,曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 x+y+2=0. (1)求a,b的值： (2)讨论f(x)的零点个数，并证明所有零点之和为0. 18.已知抛物线T:x2=4y =3,08:+y-1=0<s2 3 ,点P在T上. (1)求P的最小值： (2)设点P的横坐标为2，过P作⊙E的两条切线，分别交T于B,C两点. (i)求直线BC斜率的取值范围： (i)证明直线BC过定点. 19.当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型 的研发中，发挥着重要作用.例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起和“7 点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后 者要大，会吸引人们更多关注.假设通常情况下，它们发生的概率分别是p=0.0001和 p=0.9999,用ln二这个量来刻画“信息量的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0.现 在假设离散型随机变量X的分布列为P(X=x)=卫，0<p,<1,i=1,2,,.则称 H(X)=∑卫n】为X的信息熵，用来刻画随机变量X蕴含的信息量的大小 (1)若X的分布列为P(X=x)=p,P(X=x)=1-p,0<p<1,求H(X)的最大值； (2)证明：ex)≤m: (3)若X~B(,P),且n为定值，设H(X)=f(p),证明： 试卷第4页，共4页 参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D A B AB ACD 题号 11 答案 ACD 1.C 【详解】因为x+1>0,所以x>-1,所以A={x∈Zx>-1}, 因为x+1≤3，所以-4≤x≤2，所以B={x4≤x≤2}， A∩B={0,12}, 故选：C 2.A 【详解】由题意，z=-1+2i,则2-1+2i(1+2-1-2列5 5i 5i 5i(-1-2)=-5i+10=2-i. 所以复数5i的虚部是-1 故选：A. 3.B 【详解】 B d 如图所示：满足a⊥c,b⊥c,且a/1b,但是aca,bca,ccB, 所以可知a/b是a,b,c共面的不充分条件： 当a,b,c共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为a⊥c,b⊥c,所以必然有a/b, 即a/b是a,b,c共面的必要条件， 综上可知a/b是a,b,c共面的必要不充分条件 故选：B. 答案第1页，共13页 4.C 【详解】因为e=(1,0),e=（么5)， 所以ā=4g+e,=(4,0)+1,V3)=(53)b-名-e2(3,013=(2,-5), 所以ā-6=5x2+5x(57,=52+3=2W7=2{√=7 设a与5的夹角为日，则c0s日= a.b71 同527×√万2， 又0e0,利所以0-于即a与5的夹角为胥 故选：C. 5.D 【详解】不妨令渐近线方程为y=bx,顶点A为(a,0), a 则过顶点A与海近线套直的直线的方程为y-0=(x-。）, 令x=0,得y= 则 ad(d+b2） 又因为AB=√d+B,所以a=b, 又因为c2=a2+b2,所以c=√2a,所以e=√2， 故选：D 6.C 【详解】因为 tan @tan 20 4 an0-tan28-5’ sin sin20 所以c0s日c0s28 4 sin 0 sin 20 c0sθcos20 4 所以 sin@sin 20 sin ecos20-cos @sin 205' sinsin 20 4 所以sin(e-20,5' 所以sin20=-4 答案第2页，共13页 4 所以2sin0cos0=- 所以sin0cos0=- 2 所以sn'0+cos*0=6n0+cos20八-2sn20cos0=1-2×年17 25 251 故选：C 7.A 【详解】设圆锥的底面半径为r,母线长为， 因为PA=6,所以1=PA=6, 所以S=ml=6w=12√2元，所以r=2√2 所以OA=OB=OC=OD=2√5，又正三角形ACD内接于OO, 所以2r=45-g0,解得：4C=26,所以4C=cD=4D-2N6. 所以BD=VAB-AD=4W-(2W6=22, 过点A作AE/IBD交DO的延长线于点E,BD=AE=2√2， 所以PA与BD所成角即为PA与AE所成角或其补角， 所以∠PAE为PA与BD所成角，PA=PE=6, 由余弦定理可得：cos∠PAB= 4+AB-Pg:6+(22-65 2PA.AE 2.6.2√2 6 故选：A -B 8.B 【详解】 答案第3页，共13页 B 如图，设以AB为直径的圆的圆心为E,F(2W3,0), 显然两圆内切，所以o8=4-)84, 又oB为△ABF的中位线，所以0=BA, 所以=44→A+Br8>45, 所以B的轨迹为以A,F为焦点的椭圆， 2a=8→a=4,c=25→b=Va2-c2=M6-12=2, 显然当台为椭圆短销顶点即(0,2到时，S的面积最大，最大值为s0CD-×2x8=8, 故选：B. 9.AB 【详解】 x=(35×0.01+45×0.02+55×0.03+65×0.02+75×0.01+85×0.005+95×0.005)x10=58.5, z=(35×0.005+45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+9x0.005y1e67.5, 0.05+0.1+0.15+0.2=0.5,.y=70, ,x<二，A选项正确；y>z,B选项正确： :M∩N=“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分”≠0，C选项 错误： 由频率估计概率得：P(M)=(0.2+0.1+0.05+0.05)×(0.15+0.05)=0.08, P(N)=(0.05+0.05)×(0.2+0.3+0.15+0.05)=0.07,D选项错误. 故选：AB 10.ACD 答案第4页，共13页 【详解】由题得，86)=m2(+?名1=sm2x名 66 A:与)的图象关于直线x=匹对称的函数为 4 y=元2x-刘=m[2(交-)1=m(24)）=m(2g)=g,故A正确； B:当督时，停-m2专吾=1停)=sm2弯名专 安+g经≠0，所以)与g)的图象不关于点0)对称，放B错误： C:f)-g()=sm(2x石)-sm(2x+君)=-cos2x, 当=号学时.2xe9. 令1=x,期1停.在上证小于0 33 所以-在(，1上恒大于0，即-80倒>0，即国>0网，故c正高 D:令f(x)=g(x),即sim(2x-=sin(2x+5, 6 6 得2-若2+后42（无解)或2x名=x-(@++2点kez, 6 61 解得x=亚+匹，kZ, 42 又x∈(2元，4四，所以2π<+)<4元，k∈之， 4 解得子<<片(k∈Z),所以k=456,7, 即函数f(x),8(x)图象共有4个交点，故D正确。 故选：ACD 11.ACD 【详解】A选项，f(x)f(1-y)+f(y)f(1-x)=2f(x+y)中，令x=1,y=0得 f(1)f(1)+f(0)f(0)=2f(1), 又f(0)=1,故f()+1=2f),解得f)=1, f(xf1-)+fy)f(1-)=2f(x+y)中，令x=y=1得2f)f(0)=2f(2),故 f(2)=f(1)f(0)=1×1=1,A正确： D选项，f(x)f(1-y)+f(y)f(1-x)=2f(x+y)中，令x=0得 答案第5页，共13页 f(0)f1-y)+f(y)f)=2fy),即f1-y)+f(y)=2f(y),f1-y)=fy), f(x)f(1-y)+f(y)f(1-x)=2f(x+y)中，令x=1得 f()f(1-y)+f(y)f(0)=2f(1+y),即f(1-y)+f(y)=2f(1+y), 因为f1-y)=f(y),所以2f(y)=2f1+y),故f(y)=f(1+y), 故f(x)的一个周期为1， 故f(1-y)=f(-y),所以f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数，D正确： B选项，f(x)f(1-y)+f(y)f(1-x)=2f(x+y)中，令y=-x得 f(x)f(1+x)+f(-x)f(1-x)=2f(0), 由于f(-x)=f(x),f(0)=1,故f(x)儿f(1+x)+f1-x)]=2, 由于f(x)的一个周期为1，故f(1+x)=f(x),f(1-x)=f(-x)=f(x), 所以2f(x)=2,解得f(x)=1, f(x)f(1-y)+f(y)f(1-x)=2f(x+y)中，令y=x得 f(x)f1-x)+f(x)f1-x)=2f(2x), 又f(1-x)=f(x),故2f2(x)=2f(2x),f(2x)=f(x), 所以)-=周0，放f)=1. 故不存在x。∈R,f(x)<0,B错误； 由上可知f(1+x)+f(1-x)=2,f(x)+f(-x)=2,故f(x)的图象关于点(0,1)对称，C正 确。 故选：ACD 12.7 【详解】由Se=AB4C-$nA-)×5x6snA=6N6,得6m4-26 21 2 又△MBC为锐角三角形，所以角A为脱角，所以cosA=一sinA- 在AABC中，由余弦定理co3AAB21ACC，得：5+6'BC 52×5×6 答案第6页，共13页 .BC2=49,BC=7. 故答案为：7 13.±2 【详解】①若a≤1，则 x>1时，f(x)=x-2a+1,且单调递增， x≤1时，f(x)=x2-2ar+3,则最小值为f(a)=-a+3, 若f(x)存在最小值-1，则有-ad+3≤1-2a+1且-d2+3=-1, 得a=-2; 6 -2八101 ②若a>1,则 1<x<a时，f(x)=-x+1,x≥a时，f(x)=x-2a+1, x≤1时，f(x)=x2-2a+3,且单调递减， f(1)=4-2a,f(a)=1-a, 若最小值为f(1),则4-2a=-1,且4-2a≤1-a,无解： 若最小值为f(a),则1-a=-1,且4-2a>1-a,得a=2, 综上所述，a=-2或a=2 珠 3 0.23 -1f 故答案为：±2 14.72 答案第7页，共13页 【详解】设“每行都放置两枚棋子”为事件A,“每列都有两枚棋子”为事件B, 则所求概率为P(BA)= P(AB)n(AB) P(A)n(A) 根据题意，每行都放置两枚棋子，即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有C:种方法， 所以，n(A)=C.C.C.C=1296 对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格，此 时第二行有C?=6种放置方法，则第三、四行的放置方法如图， ● ● A A2 B ● B2 ● ● B2 ● B 图1 图2 图3 ● ● ● ● ● ● ● C C2 D C C D2 D 图4 图5 图6 图1有1种方法，图2、3、4、5各有2种方法，图6中，第三行有C=6种放置方法，其 选定方格后，第四行只有唯一的放置方法.所以总共有1+2×4+6=15种方法， 因为第一行棋子有C=6种放置方法，其他5种情况同理，故(AB)=6×15=90 所以，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率 P(BA)=P）_nAB)90.5 P(A)n(A)129672 故答案为：72 15.(1)a=3n,b.=3"; a好传0品 43阿 【详解】(1)设公差为d,公比为q(q≠0)， 答案第8页，共13页 42+4=2b2,故2a+4d=2b,q,6+4d=6q, a4a,=b,,故3(3+2d)=3q, 「6+4d=6q d=2(舍去)： 3 联立33+2d=3g,解得 q=3 9=0 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3.31=3: (2)9=3、n b33,设数列 b. 的前n项和为Sa, 则双=方京声 3,① 1s=1+2+3+4+ 3%=3323334中+2，。 3'3+3+*,1 两式0-②得=1+}++ 3n331 千313” 1-132 +2 3 所以8=传)}片 16.(1)证明见解析 (2)0 5 【详解】(1)证明：取AC的中点O,连接OB,OMAC, 因为M是AA的中点，所以OMIIAC, 又因为三棱柱ABC-AB,C1的所有棱长都是2， 所以四边形ACC,A为菱形，所以AC⊥AC,所以AC⊥OM, 因为AC1⊥BM,且OM∩BM=M,OM,BMC平面BOM,所以AC⊥平面BOM, 又因为OBC平面BOM,所以AC1⊥OB, 在等边△ABC中，因为O为AC的中点，所以AC⊥OB, 又因为AC∩AC,=A,且AC,AC,C平面ACCA,所以OB⊥平面ACCA, 因为OBc平面ABC,所以平面ACCA⊥平面ABC, (2)解：连接AO,因为三棱柱ABC-AB,C的所有棱长都为2，且∠AAC=60°， 答案第9页，共13页 可得△AAC为等边三角形，且O为AC的中点，所以AOLAC, 由(1)知：平面ACCA⊥平面ABC,平面ACCA∩平面ABC=AC, 且AOC平面ACCA,所以AOL平面ABC, 所以OB,OC,OA两两垂直，以O为坐标原点，以OB,OC,OA所在的直线分别为x轴，y轴 和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则O0,0,0),B(W3,0,0),A(0,-1,0),A(0,0,V3),C(0,2,V3),C(0,1,0), 所以AB=(3,1,0),AA=(0,1,V3), i.AB=√5x+y=0 设平面ABBA的法向量为n=(x,y,),则 A4=y+3=0 取x=1,可得y=-5,z=1,所以n=1,-√3,1)， 因为CB=CB+CC=(5,-1,0)+(0,1,V5)=(3,0,√)， 设c8,与平面ABBA所成的角为0，则sim0=o元CB n.CB 2310 CB √6x5 5 所以C8,与平面ABB,A所成的角的正弦值为10 子 17.(1)a=1;b=1 (2)证明见解析 【详解】(1)求导得到f'(x)=xe-a,根据函数在点(0，f(0)处的切线方程为x+y+2=0, 「f'(0)=k=-1 得到 f(0)=-2 把x=0代入f'(x)得f'(0)=0×e°-a=-a, 答案第10页，共13页 因为f'(0)=-1,所以-a=-1,即a=1. f(0)=(0-1)e°-ax0-b=-2,算出b=1. (2)由第(1)问知f(x)=(x-1)e-x-1,f'(x)=xe-1. 令8(x)=f'(x),求导得g'(x)=(x+1)e. 当x∈(-w,-1),g'(x)<0,g(x)在(-o,-1)递减： 当x∈(-1，+0)，g'(x)>0,g(x)在(-1，+m)递增. g(1)>0,g(0)<0,所以存在唯一x。使8(x)=0,即x,e=1. 当x∈(-0，x),f"(x)<0,f(x)在(-n,x)递减： 当x∈(x,+n),f"(x)>0,f(x)在(，+w)递增，所以f(x)≥f(x). )0,又2=1名0，四-e-s0 根据零点存在定理，f(x)在(-2，x)和(，2)各有一个零点，共两个零点. 设x是零点，f(x)=(x-1)-x-1=0, 经计算f(-x)=(-x-1)e+x-1=e[(5-1)e-x-1]=C, 所以-x也是零点，零点和为x+(x)=0 18.a)P四到取最小值为2迈 (2)(i)直线BC斜率的取值范围为 (ⅱ)证明见解析. 【详解1C1设P,则-，又O. 所以咽-+钱少-x+0妒-1 1)2 8 3 所以当。=号时，PE取最小值，最小值为2 3 (2)记直线PB,PC,BC的斜率分别为k,k2,k, 因为点P的横坐标为2，可得P(2,3),设过P(2,3)的圆E的切线方程为y-3=(x-2), 答案第11页，共13页 由思意可得2-29=1，即4r)收-8歌+4产=0， Vk2+1 因%6是方程的根所以怎+名=结子仁= 又/ 3 ,所以3x2-4+8歇-12=0， y-3=k(x-2) 所以2感22戏4，业，即普2号-2 3 (i)因为BC的斜率为k, 又因为0<r≤ 3 即直线℃：率的取值范围为(1-引 因为警2，所以%=售2-2小3誓-4转+3。 3 所以线C的5得为y-=,即（售编+小质啡告 即y=(6+长-3)+26+)-号，即y=(6+0+23x 3 令=-2，则y3所以直线5C过定点(-2写) 19.(1)n2: (2)证明见解析； (3)证明见解析 【详解】(1)由题意知，H(X)=-pnp-(1-p)ln1-p),其中0<p<1. 令H=op）,则op)=n1-卫 所以当0<p<芍时.p0>0,所以9)在02 上单调递增； 答案第12页，共13页 当p1时，po)<0,所以oD)在上单调递减 所以HC)在p=时取得最大值，且最大值为血2. (2)令s(y=lnx+1(c>0吵，则()是- 当0<x<1时，s'(x)<0,所以s(x)在(0,1)上单调递减： 当x>1时，s'(x)>0,所以s(x)在(1，+o)上单调递增； 所以sx2s0=0,即ax21-子 要证e(≤，即证h≥H(X), 因为血m-H(0=hm-。 -2(2hm+空enp上它包，ng》 》 (当且仅当兜=1，即卫=时等号成立成立)， -空0--0， 所以ex≤m (3)由题意知f)=H(X)=-∑Cp1-p)”-1n(Cp广a-p》-), 则fa-pm=-2ca-mpn(ca-旷pr), 由C=C-,则f(p)=fI-p), 所以f0=-0-p),则兮，即得/)0. 答案第13页，共13页