精品解析：山东淄博市周村区第三中学2025-2026学年第二学期九年级期中检测数学试卷

2025-2026第二学期期中检测 一、选择题（共10小题，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】解：A、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题关键是熟练掌握最简二次根式的必须满足两个条件：（1）被开方数不含有开的尽方的因数或因式，（2）被开方数不含有分母． 2. 若要使代数式有意义，则x 的值可以是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，由题意可得，，计算即可得解，熟练掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，， ∴x 的值可以是， 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解决本题的关键是掌握二次根式的相关运算法则；根据二次根式的运算法则计算出结果，再根据计算结果判断是否正确． 【详解】A选项： = ，故A选项错误； B选项：，故B选项正确； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项错误． 故选：B． 4. 已知，那么的值为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 5. 已知，，且，下列各式正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质，对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴4c＝3d，所以A选项不符合题意； ∵，且b+d≠0， ∴＝，所以B选项符合题意； ∵， ∴， ∴＝＝，所以C选项不符合题意； ∵， ∴＝＝，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 6. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 8. 定义：如果一元二次方程满足，我们就称这样的一元二次方程为“和系数”方程．已知一元二次方程是“和系数”方程，且，则该一元二次方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根据“和系数”方程的定义，判别式的情况，由此即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是“和系数”方程， ∴， ， ， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 9. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 10. 若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（ ） A. B. 5 C. 或5 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．设方程的两根分别为，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由两根互为相反数，可得，即可求解． 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴， ∵一元二次方程的两根互为相反数， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 此时方程无解，故不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 此时， 即两根之积是． 故选：A 二、填空题（共5小题，共20分） 11. 的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是， 答案为： 12. 计算的结果等于__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式=-12-6=6 故答案为6 【点睛】本题考查了平方差公式和二次根式的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13. 如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，关键是准确找出对应成比例的线段，利用比例式求出未知线段长度，再通过线段和求出的长．先根据平行线分线段成比例得到与的比例关系，结合已知数据计算出的长度，最后将与相加得到的长． 【详解】解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴； 故答案为：． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 15. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算乘除，再化简二次根式即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 已知，． （1）求的值； （2）求与的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式将与化简，再求和即可； （2）先计算出和的值，再利用完全平方公式和平方差公式计算与的值． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 19. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 、B 、C 均在格点上． （1）直接写出的长为 ，的面积为 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出边上的高 ，并保留作图痕迹； （3）的长为 ． 【答案】（1）， （2） 解：如图所示，即为所求， 理由如下：由图可得： ，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为上的高． （3） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，作三角形的高，二次根式的除法运算； （1）利用勾股定理可得的长度，再利用割补法求解三角形的面积即可； （2）取格点，连接交于，则即为所求； （3）利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴． 20. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于x的方程， ∵，，， ∴ ， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出 ，即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得出，，根据，得出，根据题意得出，解出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若此方程的两个根分别为，，由题意得， ，， ∵， ∴， 即， ， ∴， 即， 解得， 当时，，，，不符合题意， ∴舍去， 当时，，，，符合题意， 故m的值为2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根据为，，则，． 22. 如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ （2）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由； （3）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ （4）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 【答案】（1）相距，它此时不受到台风影响 （2） 如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；理由如下： 如图2， 设经过小时进行台风区域，则，， 当时，将受到台风影响， 根据勾股定理可得：， 整理得到：， 解得， 由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区． （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程的应用、解题的关键是理解题意，学会于转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）直接利用勾股定理得出的长，进而利用勾股定理求出10小时后轮船与台风中心距离，即可得解； （2）如图易知，，当时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：，整理得到：，解得，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； （3）利用（2）中结论即可解决问题； （4）利用（2）中的数据即可解决问题． 【小问1详解】 ，， ， 如图1， 设经过10小时，轮船到达点，且航行了，台风中心到达，且， ，， ， ， 轮船与台风中心相距，它此时不受到台风影响； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知经过就会进入台风影响区； 【小问4详解】 由（1）可知受到台风影响的时间为（小时）． 23. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“近根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“近根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“近根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“近根方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2）0或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“近根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“近根方程”的定义得到，从而得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 解得，， ∴方程是“近根方程”； 【小问2详解】 解： ， 解得：，， ∵方程（是常数）是“近根方程”， ∴， 解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期期中检测 一、选择题（共10小题，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若要使代数式有意义，则x 的值可以是（ ） A. 3 B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，那么的值为（ ）． A. 5 B. C. D. 5. 已知，，且，下列各式正确的是（　　　） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 7. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：如果一元二次方程满足，我们就称这样的一元二次方程为“和系数”方程．已知一元二次方程是“和系数”方程，且，则该一元二次方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有两个不相等的实数根 9. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（ ） A. B. 5 C. 或5 D. 2或 二、填空题（共5小题，共20分） 11. 的算术平方根是________． 12. 计算的结果等于__________． 13. 如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 15. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为______． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知，． （1）求的值； （2）求与的值． 19. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 、B 、C 均在格点上． （1）直接写出的长为 ，的面积为 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出边上的高 ，并保留作图痕迹； （3）的长为 ． 20. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 21. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求m的值． 22. 如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ （2）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由； （3）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ （4）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 23. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“近根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“近根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“近根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“近根方程”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $