精品解析：重庆市永川区兴龙湖中学校2025—2026学年下学期九年级自主练习（一）数学试题卷

2025－2026学年度下期初2023级自主练习（一） 数学试题卷 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，比小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四幅图片中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B. 游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C. 宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D. 宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 4. 如图，内接于，连接，若，则度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过点B作于点G，点F为线段上一点，连接，若，则的值为（  ） A. B. C. D. 10. 若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为_____ 12. 代数式有意义时，应满足的条件为______． 13. 如图，直角三角板的顶点在直尺的一条边上，若，则________． 14. 若是关于x的方程的解，则的值为_____ 15. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______． 16. 若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 18. 某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论．请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，筝形中，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵经过的中点，且， ∴，①______________________， ∴， ∴， ∴②_________________________， ∵于点， ∴③_________________________， ∵， ∴， ∴④_____________________________ ∴， ∴四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了，两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）下面给出了部分信息：抽取的款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为，，，，，; 抽取的对款电动汽车的评分数据为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，; 抽取的对，款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：_____，_____；_____； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有人对款电动汽车进行评分，人对款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车不满意的人数？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程（组）解应用题： 端午节食粽是我国的传统习俗，某超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元，购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元． （1）求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，蜜枣粽单价是咸肉粽单价的倍，小北花了元购买蜜枣粽，元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 22. 如图1，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止．同时，点从点出发以每秒个单位长度的速度，线段方向运动，其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）． 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图、、、在同一平面内，已知小希家位于小福家的东南方向，位于学校的正西方千米处；小福家位于学校的北偏西方向；博物馆位于小福家的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家与学校的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆，已知小希和小福的速度之比为.小福到达博物馆后发现忘记带身份证，于是立即原速回家处取，当他到家后得知小希正好到了方向的超市处，他们查阅地图发现从到正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在处等待小福．求博物馆与小福家的距离（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴垂线，交与轴分别为点与点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的上方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到，点为点的对应点，点为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在等腰三角形中，，点在直线上，点是平面内一点，连接． （1）如图1，若，点在线段上，，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，点为中点，连接，求出此时的面积； （2）如图2，若，点在外部，点，点分别是，的中点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明： （3）如图3，若，若点是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当，，三点共线时，在线段上取一点，使，点是直线上的动点，将绕点顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下期初2023级自主练习（一） 数学试题卷 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，比小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，理解正数大于，大于负数，两个负数绝对值大的反而小是解答关键． 根据正数大于，大于负数，两个负数绝对值大的反而小来求解． 【详解】解：，， ，，，， 比小的是． 故选：B． 2. 下列四幅图片中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 根据中心对称图形是绕某一点旋转后能与自身完全重合的图形，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：对于A：旋转后不能与自身完全重合，∴不符合题意； 对于B：旋转后不能与自身完全重合，∴不符合题意； 对于C：旋转后不能与自身完全重合，∴不符合题意； 对于D：旋转后能与自身完全重合，∴符合题意； 故选：D． 3. 下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B. 游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C. 宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D. 宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，需依据三类事件的概念对各选项进行判断． 【详解】∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． ∵A选项中金沙江与岷江在三江口汇入长江是客观既定事实，属于必然事件． ∵C选项中溶洞内不具备阳光直射的条件，一定不会出现阳光直射现象，属于不可能事件． ∵D选项中李庄白肉制作过程使用猪肉是其固有属性，属于必然事件． ∵B选项中游览蜀南竹海时是否遇到下雨，结果具有不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件． 故选：B． 4. 如图，内接于，连接，若，则度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∴， ∴． 故选：． 5. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．先根据二次根式的混合计算法则得出，再估算的范围即可得到答案． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， ∴估计的值在3和4之间， 故选：D． 6. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的周长比等于相似比得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的周长比为， 与的相似比为，即． ∴． 故选：C． 7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴此函数图像在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限，在第二象限， ∴， ∴的大小关系为． 9. 如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过点B作于点G，点F为线段上一点，连接，若，则的值为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键．延长交于点，设，根据正方形的性质和已知条件，求得，分别证明，，，用含的式子表示出和，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， 四边形为正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，, ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 由勾股定理：， ， 故选：A． 10. 若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的应用，二元一次方程的正整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据绝对值的应用及二元一次方程的正整数解逐一排除即可． 【详解】解：，， ∴，故正确； 若，为正整数， 则，，，， ， ， ∴所有操作结果的和为， ∵为正整数， ∴， 解得，不符合题意，故错误； 由，， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴，整理得：， ∴或或， ∴或或， ∴或或，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取到绿球的可能结果数，即可求解 【详解】解：所有可能的结果数为，取到绿球的可能结果数为7， 则取到红球的概率为：； 故答案为：． 12. 代数式有意义时，应满足的条件为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键． 13. 如图，直角三角板的顶点在直尺的一条边上，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，余角的计算． 根据直角三角形的性质及直尺的两边相互平行解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 若是关于x的方程的解，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义及求代数式的值．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程得出，然后将原式化简，整体代入求解即可． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】，过点O作于H，连接，证明，求出，则，求出，求出，证明，得到，设则，在中，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，过点O作于H，连接， 则，， ∵点是的中点， ∴ ，， ∵为圆直径， ∴ ∴， ∴， ， ， 是的直径， ， 切于D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， 在中，由勾股定理得， 解得（含） ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出适当的辅助线解决问题． 16. 若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 【答案】 ①. 9 ②. 4317 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解、解二元一次方程组、不等式的性质，理解“七上八下数”的定义是解题的关键．根据“七上八下数”的定义以及为完全平方数，分析得出数字的四位数形式为，则有是8的倍数，结合为完全平方数得出，此时，；根据题意可得是7的倍数，得出或，由是3的倍数，得到或，再利用平方差公式和二元一次方程组的知识，分类讨论求出的值，即可得出数字的值． 【详解】解： ， ①若，即， 则， 由题意得，此时是8的倍数， 又， ， 或， 或， 当，，不是平方数，舍去； 当，，不是平方数，舍去； ②若，即， 则， 由题意得，此时是8的倍数， 又， ， 或， 或， 当，，不是平方数，舍去； 当，，是平方数，此时，； 由题意得，是7的倍数， ，， ， 或， 或， 是3的倍数，即是3的倍数， 或， 或或或， 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 当，则， 解得，此时，符合题意，此时； 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，，． 故答案为：9；4317． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集是，所有整数解的和为 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 整数解为：， 所有整数解之和为． 18. 某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论．请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，筝形中，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵经过的中点，且， ∴，①______________________， ∴， ∴， ∴②_________________________， ∵于点， ∴③_________________________， ∵， ∴， ∴④_____________________________ ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图所示，下图即为所求： （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据已知推理过程，结合菱形的判定定理和线段垂直平分线的性质和判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了，两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）下面给出了部分信息：抽取的款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为，，，，，; 抽取的对款电动汽车的评分数据为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，; 抽取的对，款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：_____，_____；_____； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有人对款电动汽车进行评分，人对款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车不满意的人数？ 【答案】（1）；； （2） 解：款电动汽车更受用户喜爱，理由如下： ∵两款的评分数据的平均数相同都是，但款评分数据的中位数为比款的中位数高， ∴款电动汽车更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）人 【解析】 【分析】（1）用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由，两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得， 即， ∵款的评分非常满意有个，满意的数据为，，，，，， ∴排在中间的两个数为，， ∴中位数为， 在款的评分数据中，出现的次数最多， ∴众数， 故答案为：；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：估计此次测验中不满意的人数为140人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先对原式进行化简，再计算，把代入计算即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 21. 列方程（组）解应用题： 端午节食粽是我国的传统习俗，某超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元，购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元． （1）求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，蜜枣粽单价是咸肉粽单价的倍，小北花了元购买蜜枣粽，元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 【答案】（1）蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元； （2）蜜枣粽的单价降低了元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程（组）是解题的关键． （）设超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设降价后咸肉粽的单价为元，则蜜枣粽单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元， 根据题意得，， 解得：， 答：超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元； 【小问2详解】 解：设降价后咸肉粽的单价为元，则蜜枣粽单价是元， 根据题意得，， 解得：， ∴蜜枣粽单价是， ∴蜜枣粽的单价降低了， 答：蜜枣粽的单价降低了元． 22. 如图1，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止．同时，点从点出发以每秒个单位长度的速度，线段方向运动，其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 函数，的图象如下所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）由点的运动路径可知为分段函数，利用三角形面积公式，三角函数分段列出函数解析式即可；即可求解； （2）根据（1）中所得解析式可得函数图象，根据图象可得函数的性质； （3）图象在图象的上方部分对应的的范围即为所求． 【小问1详解】 解： 中，，，， ∴， 由题意知，动点从点出发到达点时所用时间为（秒）， 动点从点出发到达点时所用时间为（秒）， ∵其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动， ∴， 如图，做于点， 当时，点在上，， 此时 ∴； 当时，点在上，， 此时 ∴； ∴， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，当时，图象在图象的上方， 所以时的取值范围为（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图、、、在同一平面内，已知小希家位于小福家的东南方向，位于学校的正西方千米处；小福家位于学校的北偏西方向；博物馆位于小福家的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家与学校的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆，已知小希和小福的速度之比为.小福到达博物馆后发现忘记带身份证，于是立即原速回家处取，当他到家后得知小希正好到了方向的超市处，他们查阅地图发现从到正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在处等待小福．求博物馆与小福家的距离（结果保留一位小数） 【答案】（1）小福家与学校的距离约为 （2）博物馆与小福家的距离约为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，取交于，设，根据题意，可知，，，，先求得，那么，，利用等腰三角形的性质，得到，，利用外角求得，得，然后根据，得出对应方程，求解即可得出的值，再得出的长度； （2）过点作于点，不妨设，那么，，，然后证明，那么，，，然后根据，得出对应方程，求解即可得出的值，再得出的长度． 【小问1详解】 解：过点作于点，取交于，设，令在正北方，在正南方，如下图所示： 根据题意，可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∵， ∴， 答：小福家与学校的距离约为． 【小问2详解】 解：∵小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆，同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆，已知小希和小福的速度之比为，小福到达博物馆后发现忘记带身份证，于是立即原速回家处取，当他到家后得知小希正好到了方向的超市处， 过点作于点，如下图所示： 不妨设，由速度之比为，得出， ∴，， ∵的距离比的距离还少千米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 答：博物馆与小福家的距离约为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴垂线，交与轴分别为点与点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的上方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到，点为点的对应点，点为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），周长最小值为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先利用对称轴与点的坐标求得点的坐标，再利用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，再设，则，，表示出的表达式，此时表达式为开口向下的二次函数，化为顶点式后即可得出点的横坐标，代入二次函数解析式即可求得点的坐标，将点往下平移个单位得到，则，且，连接，得平行四边形，则，作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则，当、、共线时取等，即可求得周长的最小值； （3）先根据平移情况求出新抛物线解析式和点平移后的点坐标，作轴，延长至点，根据题意可得出点在上，求出的解析式后联立新抛物线解析式即可求得的坐标；作关于对称的直线，交于点，设，得出，利用导角得出，再过作交于点，延长交轴于点，求得，设，，从而求出，进而求出，求得点的坐标，设直线的解析式为，求出解析式联立新抛物线解析式即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为，为抛物线与轴的交点， ∴， ∴， ∴， 将、代入， 得， 解得，， ∴． 【小问2详解】 解：∵点是抛物线与轴交点， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， 代入，，得 解得： 故直线：， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下有最大值， ∴在中，当时，有最大值，此时， 如图，将点往下平移个单位得到， 则 ，且， 连接，得平行四边形， 则， 作关于对称轴直线的对称点， 即为坐标原点，则， ∴， 当、、共线时取等， 即，周长最小值为． 【小问3详解】 解：由二次函数的平移可得新抛物线解析式为， ∵点对应点平移的坐标， ∴， 如图，作轴，延长至点，交抛物线于点， ∴， 过点作交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 设直线的解析式为， 得，解得， 得直线的解析式为， 联立得 解得(舍去)，， ∴； 作关于对称的直线，交抛物线于点，延长交轴于点， 设， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴， 过作交于点， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点、代入得，解得， 得直线的解析式为， 联立得 解得(舍去)，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 25. 如图，在等腰三角形中，，点在直线上，点是平面内一点，连接． （1）如图1，若，点在线段上，，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，点为中点，连接，求出此时的面积； （2）如图2，若，点在外部，点，点分别是，的中点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明： （3）如图3，若，若点是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当，，三点共线时，在线段上取一点，使，点是直线上的动点，将绕点顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 解：如图2，连接，过点作交延长线于点，连接，， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点是中点， ∴，即， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明三角形是等边三角形，再证，在中，求出的长，最后求出； （2）连接，过点作交延长线于点，连接，，先证，再证，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出； （3）先证明，，，四点共圆，再推导出点在圆上，在圆上确定一个点，连接、，使得，连接、，证得，连接，将绕点顺时针旋转，并将缩短，得到，则点在圆上，运用瓜豆原理得到点的运动轨迹，最后得到取最小值时，． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点， ∵等腰三角形中，，， ∴三角形为等边三角形， ∵， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵等腰三角形中，，， ∴三角形为等边三角形， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， 设， 则点在以为圆心的圆上，点为等边的内心， 如图3，作，连接，， 则，，， ∴，，， ∴， 如图3，点在以为圆心，为半径的圆上， 如图4，在圆上确定一个点，连接、，使得，连接、， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图5，连接，将绕点顺时针旋转，并将缩短，得到， 即，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，， ∵点是直线上的动点，将绕点顺时针旋转至， ∴点也在直线上运动， 如图6，设点运动到中点处为，点运动到点为，作，的对应点为，，连接，则点在直线上运动， 设直线与延长线交于点，作O’K⊥与点，当、、三点共线，且点位于之间时，取最小值， ∵，，， ∵为中点，三角形为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，设交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 如图7，在中，作于点， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $