重庆市永川区兴龙湖中学校2025—2026学年下学期九年级自主练习（一）数学试题卷

2025－2026学年度下期初2023级自主练习（一） 数学试题卷 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，比小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四幅图片中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B. 游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C. 宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D. 宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 4. 如图，内接于，连接，若，则度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过点B作于点G，点F为线段上一点，连接，若，则的值为（  ） A. B. C. D. 10. 若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为_____ 12. 代数式有意义时，应满足的条件为______． 13. 如图，直角三角板的顶点在直尺的一条边上，若，则________． 14. 若是关于x的方程的解，则的值为_____ 15. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______． 16. 若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 18. 某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论．请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，筝形中，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵经过的中点，且， ∴，①______________________， ∴， ∴， ∴②_________________________， ∵于点， ∴③_________________________， ∵， ∴， ∴④_____________________________ ∴， ∴四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了，两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）下面给出了部分信息：抽取的款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为，，，，，; 抽取的对款电动汽车的评分数据为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，; 抽取的对，款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：_____，_____；_____； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有人对款电动汽车进行评分，人对款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车不满意的人数？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程（组）解应用题： 端午节食粽是我国的传统习俗，某超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元，购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元． （1）求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，蜜枣粽单价是咸肉粽单价的倍，小北花了元购买蜜枣粽，元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 22. 如图1，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止．同时，点从点出发以每秒个单位长度的速度，线段方向运动，其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）． 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图、、、在同一平面内，已知小希家位于小福家的东南方向，位于学校的正西方千米处；小福家位于学校的北偏西方向；博物馆位于小福家的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家与学校的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆，已知小希和小福的速度之比为.小福到达博物馆后发现忘记带身份证，于是立即原速回家处取，当他到家后得知小希正好到了方向的超市处，他们查阅地图发现从到正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在处等待小福．求博物馆与小福家的距离（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴垂线，交与轴分别为点与点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的上方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到，点为点的对应点，点为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在等腰三角形中，，点在直线上，点是平面内一点，连接． （1）如图1，若，点在线段上，，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，点为中点，连接，求出此时的面积； （2）如图2，若，点在外部，点，点分别是，的中点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明： （3）如图3，若，若点是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当，，三点共线时，在线段上取一点，使，点是直线上的动点，将绕点顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 2025－2026学年度下期初2023级自主练习（一） 数学试题卷 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】且 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 【16题答案】 【答案】 ①. 9 ②. 4317 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【17题答案】 【答案】不等式组的解集是，所有整数解的和为 【18题答案】 【答案】（1） 解：如图所示，下图即为所求： （2），，， 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【19题答案】 【答案】（1）；； （2） 解：款电动汽车更受用户喜爱，理由如下： ∵两款的评分数据的平均数相同都是，但款评分数据的中位数为比款的中位数高， ∴款电动汽车更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）人 【20题答案】 【答案】； 【21题答案】 【答案】（1）蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元； （2）蜜枣粽的单价降低了元． 【22题答案】 【答案】（1）， （2） 函数，的图象如下所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3） 【23题答案】 【答案】（1）小福家与学校的距离约为 （2）博物馆与小福家的距离约为 【24题答案】 【答案】（1） （2），周长最小值为 （3）点的坐标为或 【25题答案】 【答案】（1） （2） 解：如图2，连接，过点作交延长线于点，连接，， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点是中点， ∴，即， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ， ∴． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $