湖南省长沙市雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高一数学

**基本信息** 雅礼中学高一数学期中卷以函数、几何、三角等核心知识为载体，通过“努力公式”现实情境与“位差奇函数”新定义问题，考查数学眼光、思维与表达，基础巩固与创新应用梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、幂函数、立体几何|第6题结合“努力公式”考查指对数运算，体现数学应用| |多选题|3/18|复数性质、解三角形、立体几何动态问题|第11题以正方体为载体，探究动态点位置关系，培养空间观念| |填空题|3/15|圆锥体积、三角函数图像、平面向量|第13题通过三角函数最值点个数求参数范围，考查逻辑推理| |解答题|5/77|二次函数、三角函数变换、解三角形、立体几何、新定义函数|第19题定义“位差奇函数”，论证性质并求解不等式，发展创新意识|

湖南省长沙市雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高一数学 时间：120分钟 分值：150分 　 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则中元素的个数为      A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．已知，则z的虚部为     A． B． C． 1 D． 3．已知，，点P满足，则点P的坐标是    A． B． C． D． 4．“幂函数在上是减函数”是“”的一个(    ) A． 必要不充分条件 B． 充要条件 C． 充分不必要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．已知，，则(    ) A． B． C． D． 6． 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过    天后进步的是落后的200倍 A． 264 B． 266 C． 268 D． 270 7．若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有(    ) A． 0条 B． 1条 C． 2条 D． 1条或2条 8．已知函数，若，且，则的取值范围是    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的有    A． B． 若，则 C． 若，则不可能是纯虚数 D． 若，则在复平面内对应的点Z的集合确定的图形面积为 10．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则    A. B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11．在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是  A.若时，直线与直线的夹角余弦值为 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为       　　　　    13．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为       　　　　　　    ． 14．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为    　　　       ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．本小题13分 已知函数 ， ． 当时，求的最值； 若在区间 上是单调函数，求实数a的取值范围． 16．本小题15分 已知函数 求在上的值域； 将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间； 17． 本小题15分 已知的周长为L，面积为S，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且 求角C； 若边长，求的最小值． 18．本小题17分 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，其中，且，点E为棱PD的中点． 求证：平面PAB； 若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得平面PAB？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； 若，，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱AD中点的截面，并求出截面周长． 19．本小题17分 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”． 判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由． 若，，且为“位差奇函数”． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高一数学 时间：120分钟 分值：150分 命题人：　　　　　　　　　　审题人：　　　　　 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则中元素的个数为      A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B  【解答】，，， 中元素个数为 2.已知，则z的虚部为     A. B. C. 1 D. 【答案】D  【解析】解：由，可知z的虚部为 3.已知，，点P满足，则点P的坐标是    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意得， 设点P的坐标为，则， 因为，而，所以， 即，解得，，所以点P的坐标为 4.“幂函数在上是减函数”是“”的一个(    ) A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】解：由幂函数的定义得，解得或，此时，； 当幂函数在上是减函数时，或，充分性不成立； 当时，在上是减函数，必要性成立； 所以“幂函数在上是减函数”是“”的一个必要不充分条件． 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， 由，得，所以， 解得，， 所以. 6.努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过    天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 【答案】A  【解析】解：根据题意，设经过n天后，进步的值是落后的200倍，即， 对等式两边取常用对数，利用已知的和， 得：，解方程求得， 根据实际意义，天数需取整数，故天. 7.若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有(    ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条 【答案】C  【解答】如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则， 平面BCD，平面BCD， 平面BCD， 平面ACD，平面平面， ，平面EFGH， 同理平面EFGH， 8.已知函数，若，且，则的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】B  【解答】作出的函数图象如图所示： 不妨设， 则a，b，c，d为的四个不同的实数根，且， 于是a，b为方程的不同实根， 所以， 由，知，且由于，知， 于是， 由对勾函数的性质可知的值随d在内的增大而增大， 所以， 于是 故选 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的有    A. B. 若，则 C. 若，则不可能是纯虚数 D. 若，则在复平面内对应的点Z的集合确定的图形面积为 【答案】ABC 【解析】解：对于A，设，，则， ，，故A正确； 对于B，由于虚数不能比大小，又， 可得，都是实数，且，故B正确； 对于C，当为纯虚数时，则，无解， 故当，则不可能是纯虚数，故C正确， 对于D，，则z在复平面内对应的点Z的集合确定的图形为以圆心，1为半径的圆， 以及圆的内部，其面积为，故D错误． 10.记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则    A. B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD  【解答】由正弦定理得， 得，则，故A错误； 因为是锐角三角形，所以解得，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 11.在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是  A.若时，直线与直线的夹角余弦值为 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【解析】解：对于A，当时，点P为线段的中点， 因为，所以直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角， ，类似地可计算出，在等腰中不难计算出，故A正确； 对于B，当时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段上， 当点P是线段的中点时，可知周长为，故B错误； 对于C，当时，点P在线段上，因为面ABCD，所以点P到面BCD的距离为定值，因为为定值，故C正确； 对于D，因为，，，取，中点分别为，，所以点在线段上运动，当点位于或时，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为           【答案】  【解析】解：设圆锥的底面半径为rcm，高为hcm，则， 所以，从而高，此圆锥的体积. 13.已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为            . 【答案】  【解析】解：由于， 可得，  因为在区间上恰有3个最小值点，  结合余弦函数的性质，可得，可得， 则实数的取值范围为  14.已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为                 . 【答案】  【解析】解：已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立， 则对任意实数t恒成立，  又， 则对任意实数t恒成立， 则， 即，  则，  又， 则的最小值为  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.本小题13分 已知函数 ， ． 当时，求的最值； 若在区间 上是单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】解：当时，，二次函数图象开口向上，对称轴， 在上单凋递减，在 上单调递增，  ，  ; ，二次函数图象开口向上，对称轴， 要使在上为单调函数，只需或，解得或， 实数a的取值范围为 ． 16.本小题15分 已知函数 求在上的值域； 将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间； 【解析】解：由， 因为，则，所以，故. 将的图象向右平移个单位长度，可得， 再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象． 由，可得，， 所以的单调递减区间为， 17.本小题15分 已知的周长为L，面积为S，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且 求角C； 若边长，求的最小值. 【答案】   【解析】解：， 由正弦定理得， ，故； 由余弦定理可得：， 即，，，， 当且仅当时取等号， 又，， ， 当时，取到最小值为 18.本小题17分 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，其中，且，点E为棱PD的中点. 求证：平面PAB； 若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得平面PAB？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； 若，，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱AD中点的截面，并求出截面周长. 【答案】证明：取PA中点F，连BF，EF，因为E为PD中点， 所以，且， 又因为，且， 所以，且， 所以四边形BCFE为平行四边形， 所以，而平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB； 解：存在点N，且N为AD中点，证明如下： 取AD中点N，连EN，CN，因为E为PD中点，N为AD中点， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 又由知平面PAB，且， 所以平面平面PAB， 又因为平面CEN， 所以平面PAB； 解：设N为AD中点，取PC中点Q，连EQ，BQ，EN，BN， 则四边形BNEQ即为所求截面， 证明过程如下：因为E为PD中点，Q为PC中点，所以， 又因为，所以， 故B，N，E，Q共面，故四边形BNEQ为所求截面， 因为，，所以， ，， 在中，因为，， 由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得： ， 所以截面周长为  19.本小题17分 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”. 判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由. 若，，且为“位差奇函数”. ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围. 【答案】证明见解析；     ①证明见解析；②  【解析】为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由如下：   由，得 ，   函数为奇函数，   对于任意m有为位差奇函数，   又，设   此时，若为奇函数，   则恒成立，矛盾，   不存在m有为“位差奇函数”；  ①证明：由已知，，  因为为“位差奇函数”，所以存在实数m，  使得为奇函数，  即在R上恒成立；  由       ，  则，即，  因为，所以，  ②由①知，，则不等式化为：  ，则  因  ，  令，则，，  故当时，取到最小值，所以，  故a的取值范围为 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $