精品解析：广东广州市天河中学高中部2025～2026学年第二学期基础测试高二数学试卷

广州市天河中学高中部2025学年第二学期基础测试 高二数学试卷 命题人：伍娟､党光瑞 审题人：郭靖 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名､座位号和考生号填写在答题卡相应的位罝上，用2B铅笔将考生号､座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 由得，故的单调递减区间为 2. 3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】有题意可知每个同学有4种不同的选法，按照分步计数原理相乘即可. 【详解】解：因为每个同学可自由选择一门，所以每个同学有4种不同的选法，所以共有种不同的选择种数. 故选：B 3. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】事件两次投掷点数和为9的所有情况为：，共4种； 总样本空间为种，则； 事件要求第一次为偶数且两次和为9，满足的情况为：，共2种： ； 由条件概率公式得：． 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 5. 若是函数的极大值点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得a的值，运用导数分别计算与时函数的极大值点即可求得结果. 【详解】因为，且是的极值点． 所以，解得或． ①若，则． 当或时；当时， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以是的极小值点， 所以不合题意． ②若，则． 当或时；当时， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增． 所以是的极大值点， 所以符合题意． 综述：. 故选：B． 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，且员工必须分配到同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】按和两类情况分组讨论即可. 【详解】情况1：按分组，在3人组中 ，需要从剩下3人中选1人，和组成3人组， 剩余2人各自成组，选法有种； 再将3个组全排列分配到3个不同部门，排列数为，此种情况共种方案， 情况2：按分组，在2人组中， 再从剩下3人中选1人单独成组，剩余2人组成另一个2人组，选法有种； 再将3个组全排列分配到3个不同部门，排列数为， 此种情况共种方案， 两种情况相加，总方案数为种， 则不同的分配方案共有36种. 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断与，与的大小，然后构造函数，通过研究得出与的大小，选出答案. 【详解】设，则， 当时，，即在上单调递减， 故，故，所以， 所以，即； 因为，所以，即； 构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，即. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（　　） A. 的展开式中，二项式系数最大项为第10项 B. C. 的展开式的各二项式系数之和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，在的展开式共有项，二项式系数最大项为第项，故A错误， 对于B，通项公式，令，则，故B正确， 对于C，根据二项式系数之和的性质可知，的展开式的各二项式系数之和为，故C正确， 对于D，令，得， 令，得，，故D正确. 10. 2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A. 男、女各站在一起，共有24种排法 B. 男生不能排在一起，共有54种排法 C. 男生必须排在一起，共有48种排法 D. 男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】据每个选项的不同排列要求，对应确定采用捆绑法、插空法等适配的排列计算模型。之后逐个计算各情况的排法数，将计算结果与选项给出的数值对比，得出正确答案. 【详解】在A选项中，利用捆绑法：把男生捆绑为1个整体，女生捆绑为1个整体， 则总排法 = ​，A正确， 在B选项中，男生不相邻，用插空法： 先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中： 则总排法 = ，B错误， 在C选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法： 把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法 = ，C正确， 在D选项中，2男3女要满足男女都不相邻， 仅能排列为女-男-女-男-女结构， 则总排法 = ，D正确. 11. 已知函数，下列正确的有（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，恒成立 C. 若函数在上单调递增，则 D. 若函数在上有两个零点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求解定义域，得到定义域不关于原点对称可判断A；利用导数判断单调性可判断B；求解导数后转化为恒成立问题，再利用分离参数法求解参数范围判断C，由题意可得在上还需有一个交点，据此判断D即可. 【详解】对于A，令，解得， 则的定义域为，不关于原点对称， 得到不可能是奇函数，故A错误； 对于B，若时，则， 求导得对恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以恒成立；故B正确， 对于C，由，可得， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 可得在上恒成立，化简得在上恒成立， 令，由二次函数性质得在上单调递减， 而，则，故C正确， 对于D，因为，所以是函数的一个零点， 若函数在上有两个零点，则函数在上还需有一个零点， 由，可得， 令，令， 令，求导得， 令，可得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又， 又， 所以，使， 所以当时，， 当时，，当，， 所以当时，， 当时，，当，， 又时，，当时，，当，， 所以函数在上有两个零点，则，故D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项，进而求得展开式中的常数项. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，故展开式中的常数项为． 13. 过点作曲线的切线，则切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点，根据导数的几何意义得切线方程为，将点代入求出即可得答案. 【详解】设切点，， 则切线斜率为，则切线方程为， 将代入得， 解得， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 14. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为，即可求出的取值范围，则无盖方盒的容积为，，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值. 【详解】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为， 则，即， 所以无盖方盒的容积为，， 则， 令，解得或； 令，解得． 因为函数的定义域为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，所以， 即该方盒容积最大为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共71分解答应写出文字说明､正明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）根据（1）中结论可得，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 则，， 可得， 故 . 16. 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，背出全部3篇可以获得一朵小红花.某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率； （3）若他能及格，那他获得小红花的概率是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布求出分布列； （2）由分布列和概率的加法公式计算； （3）根据条件概率的公式计算. 【小问1详解】 用表示抽到他能背诵的课文的数量，则的可能取值有， 则，，，， 则的分布列为： 【小问2详解】 至少要背出其中2篇才能及格， 则他能及格的概率为； 【小问3详解】 用表示他能及格，表示他获得小红花， 则， 故若他能及格，那他获得小红花的概率是 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 18. 设函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，求证：在时，． 【答案】（1） （2）当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； （3）证明：设， 则； 令，所以在恒成立， 所以在为增函数； 又， 所以存在，使，即（*）； 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 将（*）代入得； 所以在恒成立， 即在时，． 【解析】 【分析】（1）先求导得到斜率表达式，代入和计算斜率与切点坐标，再用点斜式整理切线方程； （2）对导数，根据参数的符号分类，分析导数在定义域内的正负，从而确定单调区间； （3）先将化简为等价的，构造辅助函数，通过求导分析单调性，找到最小值点，利用与代换，证明最小值大于. 【小问1详解】 由题意得，所以； 则，又； 所以切线方程，即； 【小问2详解】 ， 当时，，则在上为减函数； 当时，令，解得； 当时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数； 综上：当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； 【小问3详解】 略 19. 设函数. （1）若有两个极值点，求的取值范围. （2）若有极大值，证明：. （3）若存在，使得，证明：. 【答案】（1） （2） 证明：当时，单调递增，， 所以，所以单调递减，单调递增， 所以有极小值，无极大值； 当时，单调递增，无极值； 当时，由（1）可知，时，有两个极值点，其中极大值点满足，， ， 令，，， 在上单调递增， 则，即，故． （3） 证明：因为， 所以，，两边同时取自然对数得： ，， 两式相减得：，即， 要证，即，只需证明， 即， 令，只需证明①，构造函数（）， 求导得， 所以函数在上单调递增， 所以，故不等式①成立， 所以原不等式成立，命题得证． 【解析】 【分析】（1）求导，把极值点问题转化为方程根问题，构造新函数并求导，利用函数单调性结合交点情况构造不等式求解； （2）对进行分情况讨论，结合导数分析单调性求极大值，进而证明结论； （3）根据已知条件转化证明结论，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 ，令， 已知函数有两个极值点，即方程有两个不相等的根， 当时，方程，即不是方程的根， 所以原方程有两个不相等的根，可转化为有两个不相等的根， 不妨令（），则， 所以在，上单调递减；在上单调递增， 当，，且当时，； 方程有两个不相等的根， （）的图象与直线有两个不同的交点， 所以只需满足，即，故的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河中学高中部2025学年第二学期基础测试 高二数学试卷 命题人：伍娟､党光瑞 审题人：郭靖 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名､座位号和考生号填写在答题卡相应的位罝上，用2B铅笔将考生号､座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 2. 3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 3. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 5. 若是函数的极大值点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，且员工必须分配到同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 60种 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（　　） A. 的展开式中，二项式系数最大项为第10项 B. C. 的展开式的各二项式系数之和为 D. 10. 2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A. 男、女各站在一起，共有24种排法 B. 男生不能排在一起，共有54种排法 C. 男生必须排在一起，共有48种排法 D. 男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 11. 已知函数，下列正确的有（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，恒成立 C. 若函数在上单调递增，则 D. 若函数在上有两个零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 13. 过点作曲线的切线，则切线方程为______． 14. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共71分解答应写出文字说明､正明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 16. 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，背出全部3篇可以获得一朵小红花.某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率； （3）若他能及格，那他获得小红花的概率是多少？ 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 设函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，求证：在时，． 19. 设函数. （1）若有两个极值点，求的取值范围. （2）若有极大值，证明：. （3）若存在，使得，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $