广东广州市天河中学高中部2025～2026学年第二学期基础测试高二数学试卷

广州市天河中学高中部2025学年第二学期基础测试 高二数学试卷 命题人：伍娟､党光瑞 审题人：郭靖 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名､座位号和考生号填写在答题卡相应的位罝上，用2B铅笔将考生号､座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 2. 3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 3. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 5. 若是函数的极大值点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，且员工必须分配到同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 60种 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（　　） A. 的展开式中，二项式系数最大项为第10项 B. C. 的展开式的各二项式系数之和为 D. 10. 2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A. 男、女各站在一起，共有24种排法 B. 男生不能排在一起，共有54种排法 C. 男生必须排在一起，共有48种排法 D. 男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 11. 已知函数，下列正确的有（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，恒成立 C. 若函数在上单调递增，则 D. 若函数在上有两个零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 13. 过点作曲线的切线，则切线方程为______． 14. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共71分解答应写出文字说明､正明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 16. 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，背出全部3篇可以获得一朵小红花.某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率； （3）若他能及格，那他获得小红花的概率是多少？ 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 设函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，求证：在时，． 19. 设函数. （1）若有两个极值点，求的取值范围. （2）若有极大值，证明：. （3）若存在，使得，证明：. 广州市天河中学高中部2025学年第二学期基础测试 高二数学试卷 命题人：伍娟､党光瑞 审题人：郭靖 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名､座位号和考生号填写在答题卡相应的位罝上，用2B铅笔将考生号､座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共71分解答应写出文字说明､正明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； （3）证明：设， 则； 令，所以在恒成立， 所以在为增函数； 又， 所以存在，使，即（*）； 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 将（*）代入得； 所以在恒成立， 即在时，． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 证明：当时，单调递增，， 所以，所以单调递减，单调递增， 所以有极小值，无极大值； 当时，单调递增，无极值； 当时，由（1）可知，时，有两个极值点，其中极大值点满足，， ， 令，，， 在上单调递增， 则，即，故． （3） 证明：因为， 所以，，两边同时取自然对数得： ，， 两式相减得：，即， 要证，即，只需证明， 即， 令，只需证明①，构造函数（）， 求导得， 所以函数在上单调递增， 所以，故不等式①成立， 所以原不等式成立，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $