精品解析：青海湟川中学2025-2026学年第二学期高三年级数学第二次模拟考试试卷

青海湟川中学2025-2026学年第二学期 高三年级数学第二次模拟考试试卷 命题人：童凤、袁文雅、赵峰娇 审题人：蒋豆豆、谢雨佳 本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分.全卷共150分.考试时间为120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 2. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 平面平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 5. 如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 二、多项选择题(共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 某省某地产公司2021年商业地产交易折线图如图所示， 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 商铺 472 217 397 596 272 287 203 325 237 336 586 570 写字楼 168 87 222 225 225 130 235 185 183 192 667 100 则以下判断正确的是（ ） A. 商铺各月成交量的第75百分位数为521 B. 写字楼月平均成交量不超过250套 C. 2月份商业地产交易量最少 D. 商铺月成交量的方差小于写字楼月成交量的方差 10. 已知曲线，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆，也可能是直线 B. 曲线C可能是焦点在轴上的椭圆 C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 11. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为 C. 若在单调递减，则 D. 若在上只有1个零点，则 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 记为等比数列的前项和，若，则_______ 13. 2024年春节期间，某省电视台组织记者开展“新春走基层”活动，并将含甲、乙、丙在内的6位记者派往3个城市进行新闻采访，要求每位记者只去1个城市，每个城市至少安排1位记者，且甲、乙、丙3人中恰有2人分配到同一城市，则不同的分配方法共有_________种.(用数字作答) 14. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形，其中，为圆柱的母线，点在底面圆周上，且过底面圆心，点D，E分别满足，过的平面与交于点，且. （1）当 时，证明：平面平面； （2）若与平面 所成角的正弦值为，求 的值. 16. 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，过点的直线与交于，两点（异于点），且当轴时，四边形的面积为. （1）求的方程； （2）若直线 与直线交于点，证明:三点共线. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角C； （2）如图，若，存在点D满足，求的最小值． 18. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 ，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 19. 已知函数， ． （1）令，讨论在的单调性； （2）证明：， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海湟川中学2025-2026学年第二学期 高三年级数学第二次模拟考试试卷 命题人：童凤、袁文雅、赵峰娇 审题人：蒋豆豆、谢雨佳 本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分.全卷共150分.考试时间为120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合复数的乘方求出，进而求出，结合复数的几何意义求解即可. 【详解】因为 ， ， ，所以. ， 所以. 2. 已知集合，若，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当 时，，当时， ，当 时，， 又，当 时， ， 当 时，， 由 是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述， . 3. 已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质以及特殊值求解. 【详解】选项A： 因为 ， ，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为 ，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边​，，D错误. 4. 平面平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理对选项逐一判定 【详解】对于A，B，C，当平面，相交时，条件仍然成立，故A，B，C错误， 对于D，存在两条异面直线， 平移后可得，存在两条相交直线， 由面面平行的判定定理可知，平面平面，故D正确， 故选：D 5. 如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系. ,得出以为直径的圆的方程，根据向量坐标用 表示出 的坐标，代入圆的方程可得答案. 【详解】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系. 则， 则以为直径的圆的圆心为的中点. 则以为直径的圆的方程为： 则 ，所以 由点 在圆上，可得 即，解得或（舍） 故选：A 6. 已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干条件，构造辅助函数转化不等式，利用函数的单调性解不等式，从而求出不等式的解集. 【详解】解：设，则， 由，可得，又，所以， 则在上单调递增. 将原不等式两边同时除以得：，即，所以， 由在上单调递增，所以，即 ， 又因为 且，所以 ， 综上，不等式的解集为. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线以及中点坐标公式，再代入双曲线方程，根据离心率求解即可. 【详解】 因为 ， 关于原点对称，且，所以， 所以，因为点 在双曲线的渐近线上，且在第一象限，所以， 故线段的中点的坐标为，将其代入，得， 解得. 8. 已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先因为定义域和值域都为，得出，分和 两种情况结合导函数得出函数单调性即可根据值域列式求解即可. 【详解】因为， 三次函数的定义域和值域都为，所以，所以， 所以， 当时， 不合题意； 当 时，， 单调递减； 单调递增； 所以， 所以，即得. 故选：D. 二、多项选择题(共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 某省某地产公司2021年商业地产交易折线图如图所示， 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 商铺 472 217 397 596 272 287 203 325 237 336 586 570 写字楼 168 87 222 225 225 130 235 185 183 192 667 100 则以下判断正确的是（ ） A. 商铺各月成交量的第75百分位数为521 B. 写字楼月平均成交量不超过250套 C. 2月份商业地产交易量最少 D. 商铺月成交量的方差小于写字楼月成交量的方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】将商铺各月成交量从小到大排序，再按照百分位数的定义进行求解，A错误；B选项，计算出写字楼成交量的平均值，与250比较大小；C选项，将商铺与写字楼各月成交量相加，比较后得到结论；D选项，从折线走势图波动情况得到结论. 【详解】商铺各月成交量按照从小到大排列为203，217，237，272，287，325，336，397，472，570，586，596，，故从小到大，选择第9和第10个数的平均数作为第75百分位数，即，故A正确； ， ，故写字楼月平均成交量不超过250套，B正确； 经计算2月份商业地产交易量为，在十二个月中成交量最小，C正确； 由于商铺各月成交量波动情况大于写字楼各月成交量波动情况， 且从折线图可看出写字楼大多数据均在平均数附近，只有11月的数据较为特殊， 故商铺月成交量的方差大于写字楼月成交量的方差，D错误. 故选：ABC 10. 已知曲线，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆，也可能是直线 B. 曲线C可能是焦点在轴上的椭圆 C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案. 【详解】设，故曲线C的方程可表示为， 对A，当 时，曲线C的方程为，可得 ，此时曲线C为两条直线； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确； 对B，当 时， ，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误； 对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线， 此时离心率为，由，可得， 即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为 C. 若在单调递减，则 D. 若在上只有1个零点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由可得关于对称，所以，求出可判断A；由三角函数的平移变换求出，因为奇函数，所以求出可判断B；求出的单调减区间可判断C；取，取在的零点可判断D. 【详解】对于A，由可得关于对称， 所以，可得：， 因为，所以的最小值为，故A正确； 对于B，将的图象向右平移个单位得到，因为为奇函数， 所以，则，所以的最小值为，故B正确； 对于C，函数的单调减区间为： ，则， 令，，则，故C正确； 对于D，若在上只有1个零点，则， 取，令，则， 则，时，无零点，故D不正确. 故选：ABC. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 记为等比数列的前项和，若，则_______ 【答案】6 【解析】 【详解】由，可得， 可知. 13. 2024年春节期间，某省电视台组织记者开展“新春走基层”活动，并将含甲、乙、丙在内的6位记者派往3个城市进行新闻采访，要求每位记者只去1个城市，每个城市至少安排1位记者，且甲、乙、丙3人中恰有2人分配到同一城市，则不同的分配方法共有_________种.(用数字作答) 【答案】342 【解析】 【分析】首先分配甲乙丙中的两人，再根据城市进行分配人员即可. 【详解】从甲、乙、丙3人中选2人作为同城市的一组，选法共 种. 因为要求恰有2人同城市，所以单独的1人不能和这2人同城市： 给2人组选1个城市，共3种选择； 给单独的1人选剩余2个城市中的1个，共2种选择，因此安排方法共  种. 因此第三个城市至少安排1名剩余记者： 剩余3名记者每人都可任意选3个城市，总安排数为 种； 减去所有记者都不去空城市的情况  种，符合要求的安排共 种. 总分配方法为：种. 14. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 ①. 2:3## ②. 【解析】 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及建立函数关系求解即可. 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段 的中点， 四面体 的体积：. 所以四面体  的体积的取值范围为. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形，其中，为圆柱的母线，点 在底面圆周上，且过底面圆心 ，点D，E分别满足，过的平面与交于点 ，且. （1）当 时，证明：平面平面； （2）若与平面 所成角的正弦值为，求 的值. 【答案】（1） 当 时，得，又，，所以， ， 平面， 平面，平面， 同理得 平面， 因为是平面内两条相交直线， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当 时，得， ，利用面面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出 与平面 所成角的正弦值，即可解方程求出 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为圆柱的母线，所以垂直平面，又点C在底面圆周上，且 过底面圆心O， 所以，所以两两互相垂直. 以点 为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，，， 因为，所以，则， 设平面 的一个法向量为， 则，即，令，解得， ， 所以， 所以 与平面 所成角的正弦值为， ，解得或 ， ，. 16. 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，过点的直线与 交于 ， 两点（异于点），且当轴时，四边形的面积为. （1）求 的方程； （2）若直线 与直线交于点，证明:三点共线. 【答案】（1） （2） 依题意知直线的斜率不为 ，，， 当直线的斜率不存在时直线， 由（1）不妨取，， 则直线 的方程为，令可得，即， 直线的方程为，则，即点在直线上， 所以、、 三点共线； 当直线的斜率存在时，设直线，，， 由得， 显然，所以，， 所以直线 的方程为，令，可得，即， 又，， 所以 ， 即， 所以、、 三点共线， 综上可得、、 三点共线. 【解析】 【分析】（1）由离心率得到 ，从而得到，再令求出即可得到，最后由面积公式求出、； （2）首先计算直线斜率不存在时是否符合题意，当直线斜率存在时，设直线，，，联立、消元、列出韦达定理，表示出直线 的方程，从而得到点坐标，再利用坐标法证明即可. 【小问1详解】 依题意离心率，则 ， 所以且 ， 由，解得，所以当轴时， 所以，解得， ， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角C； （2）如图，若，存在点D满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简求值； (2) 中，由正弦定理得，， 结合可表示出，进而可讨论求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 所以, 所以, 所以或， 得（舍）或， 所以. 【小问2详解】 设 在直角 中，， 在中，由正弦定理， 且， 所以， ， 因为，所以， 即,所以， 因为，所以， 当即时，有最大值为1， 此时最大，则最小为. 18. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 ，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜 局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖 万元的概率为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，棋手可能得 分或分比赛终止，列出两种情况下棋手的胜负情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式可求得所求事件的概率； （2）设“ 局后比赛终止”为事件 ，“ 局后棋手挑战成功”为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知，甲共胜 局，对棋手甲分两种情况讨论：（i）棋手第局以 分比赛终止；（ii）棋手第局以分比赛终止.计算出“局后比赛终止且棋手获得 万元奖励”的概率，分析数列的单调性，即可得出结论. 【小问1详解】 设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件 ， 因为棋手与机器人比赛 局，所以棋手可能得 分或分比赛终止． （i）当棋手得分为 分，则 局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则 局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 【小问2详解】 设“ 局后比赛终止”为事件 ，“ 局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在 局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在 局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 【小问3详解】 因为局获奖励 万元，说明甲共胜 局． （i）当棋手第局以 分比赛终止，说明前局中有 负 胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有 负 胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得 万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为． 19. 已知函数， ． （1）令，讨论在的单调性； （2）证明：， . 【答案】（1）当 时，在上单调递减； 当 时，在上单调递增； 当 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：令 ，则 ，令 ，则， 当 时， ，单调递减；当 时， ，单调递增； 所以当时，取极小值， 所以 ，即 ，所以，当且仅当，等号成立. 令 ，则，所以，则. 所以. 综上，， . 【解析】 【分析】（1）求导后，分、 、 、 讨论即可； （2）构造函数 ，根据导数与最值的关系得到，当且仅当，等号成立. 令 ，得到，从而有，即，结合等比数列的前项和公式即可证明. 【小问1详解】 ，，则， ①当时， 恒成立，所以在上单调递减； ②当 时，令 ，则 ，解得. 若 ，即 时， ，则 ，所以在上单调递增； 若 ，即 时，当时，，单调递减； 当时， ，单调递增； ③当 时， 在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减. 综上所述，当 时，在上单调递减； 当 时，在上单调递增； 当 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $