山东省日照市五莲县第一中学2026届高三下学期4月月考数学试卷

**基本信息** 2026届高三4月月考数学卷以“数学眼光观察、思维思考、语言表达”为导向，通过曼哈顿距离（第8题）、比赛概率模型（第15题）等创新情境，构建基础巩固（如集合运算）、能力提升（如导数应用）、创新应用（如公垂线证明）的梯度，适配高三复习备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、逻辑（1-4题）|结合单位向量（第3题）考查数学抽象| |多选|3/18|回归分析、数据特征（9-10题）|通过方差变换（第10题）体现数据分析| |填空|3/15|等差等比数列、椭圆抛物线（12-13题）|数列求和（第12题）融合方程思想| |解答|5/77|概率、双曲线、立体几何、导数（15-19题）|立体几何公垂线证明（第18题）考查逻辑推理，导数恒成立（第19题）强化数学建模|

2026届高三下学期4月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知A＝{x|﹣2＜x＜5}，B＝{x|x＜0}，则A∩B＝（　　） A．（﹣2，0）∪（0，5） B．（﹣2，0） C．（0，5） D．（﹣2，5） 2．已知复数，则|z|＝（　　） A．1 B． C． D． 3．设为单位向量，且，则（　　） A．1 B． C． D．2 4．已知空间四个不重合的点，则“有三点共线”是“四点共面”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 5．设a＝log32，b＝log64，c＝log96，则（　　） A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b 6．有5名同学A，B，C，D，E参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序．若A和B都不是第1个出场，且C不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（　　） A．42 B．50 C．54 D．60 7．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝AB＝6，过点A作PC的垂面分别交PB，PC，PD于点E，F，G，则四边形AEFG的面积为（　　） A． B． C． D． 8．“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么称d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A、B两点间的“曼哈顿距离”．已知a为常数，动点，B（3，2），则d（A，B）的最小值为（　　） A．2﹣ln3 B．3﹣ln2 C．e3﹣2 D．e2﹣3 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（　　） A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．相关变量x，y的线性回归方程为，若样本点中心为（m，14），则m＝2 C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D．在独立性检验中，随机变量χ2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 10．一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数为，方差为s2，频率分布直方图如图所示，若yi＝xi﹣1（i＝1，2，⋯，n），则（　　） A．数据y1，y2，⋯，yn的平均数为1 B．数据y1，y2，⋯，yn的方差为s2﹣1 C．估计数据y1，y2，⋯，yn的众数约为7.5 D．估计数据y1，y2，⋯，yn的中位数约为 11．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f′（x），且满足f（x）+xf′（x）＝ex，，则下列结论一定成立的是（　　） A．方程f（x）＝ln2有唯一实数根 B．f（x）在区间（1，+∞）上单调递增 C．lnf（x）≥1 D．若x1x2＝1且x1，x2＞0，则 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知等差数列{an}和公比q≠1的等比数列{bn}满足：b1＝2a1＝2，a1+a2＝b2，a2+a3＝b3，则a1+b2+a3+b4+⋯+a9+b10＝ 　 　 ． 13．已知椭圆与抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）有相同的焦点F（1，0），若椭圆C与抛物线Γ在第一象限的交点为P且，则椭圆C的离心率为　 　 ． 14．某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张．若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是　 　 ；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以X表示5次抽取的总得分，则X的数学期望为　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． （1）设事件A＝“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； （2）若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 16．已知双曲线C的离心率为，点在双曲线C上． （1）求C的方程； （2）过双曲线C右支上一动点M分别作C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于P，Q，O为坐标原点，证明：平行四边形MPOQ的面积为定值，并求出该定值． 17．如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为． （1）求tanB； （2）若，求sin∠ADC+sin∠CAD的取值范围． 18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，，分别是BC，PA的中点，二面角P﹣AD﹣B为直二面角． （1）证明：MA⊥PD； （2）设直线MN与平面PBC所成角为θ，且，求|PA|的取值范围； （3）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点K为线段AC的中点，G，H分别在线段PK，CD上（不包含端点），且GH为PK，CD的公垂线，如图所示，记四面体CKGH的内切球半径为r，证明：． 19．已知函数的图象在点（0，f（0））处的切线斜率为0． （1）求f（x）在（0，π）上的单调区间； （2）设f'（x）是f（x）的导函数，函数g（x）＝（2a﹣1）x+（a+2）xcosx﹣sin2x+f'（x），若g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围． 参考答案 一．选择题 1．B． 2．B． 3．B． 4．A． 5．B． 6．D． 7．B． 8．A． 二．多选题 9．BD． 10．AD． 11．BCD． 三．填空题 12．1409． 13．． 14．；4． 四．解答题 15．解：（1）根据题意，抛掷两枚质地均匀的骰子，则Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共6×6＝36个样本点， 事件A＝{（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（3，3），（2，4）， （4，2），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6）}，共12个样本点，故； （2）记事件Ai为第i局甲胜，i＝1，2，3，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件A1与与A3也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为． 16．解：（1）因为双曲线C的离心率为， 所以，所以， 又因为c2＝a2+b2，得b2＝4a2①； 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②得a2＝1，所以b2＝4， 所以双曲线方程为：． （2）证明：由（1）得双曲线渐近线方程为l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x， 设M（m，n），则lMQ：y＝2x+n﹣2m，lMP：y＝﹣2x+n+2m， 联立l1和lMP，解得交点， 则平行线l1和lMQ之间的距离， 则平行四边形MPOQ的面积 ， 由于M在双曲线上，则，所以4m2﹣n2＝4， 所以平行四边形MPOQ的面积为定值1． 17．解：（1）根据a＝3b，由正弦定理得， 因为，所以sinA＝sin（B+C）＝sin（B）， 可得，即， 化简得，所以； （2）因为，所以D在BC的延长线上， 根据， 可得 ， 因为，可得， 所以，即sin∠ADC+sin∠CAD的取值范围为． 18．（1）证明：由题意知∠BAC＝∠ACD＝90°， 又因为AB＝AC，M是BC的中点，所以MA⊥BC， 又因为BC∥AD，所以MA⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，MA⊂平面ABCD， 所以MA⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD， 所以MA⊥PD； （2）解：在平面PAD内作AD的垂线作为z轴，所以MA⊥z轴， 如图以A为坐标原点，分别以AM，AD为x，y轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，设PA＝t（t＞0）， 所以A（0，0，0），M（1，0，0），B（1，﹣1，0），C（1，1，0），D（0，2，0）， 则， 所以， ． 设平面PBC的法向量， 得，令z2＝2， 则（，0，2）， 可得直线MN的方向向量（﹣2，t，t）， 所以•（﹣2）+0×t+2t＝﹣2t，||，||， 所以cos，， 设直线MN与平面PBC所成角为θ， 可得sinθ＝|cos，|， 解得． 所以PA长度的取值范围为； （3）证明：设S是四面体的表面积，则， 令KG与面CGH所成角为α， 则， 因为GH是公垂线，CD上的点和PK上的点的最短距离是GH，（取不到等号）， 则S△CKG＞S△KGH，S△CKH＞S△CHG， 又因为， 所以S＞CH•GH+KG•GH＝GH•（CH+KG）， 所以． 即证得． 19．解：（1）由题意得f'（x）＝x+sin2x﹣sinx﹣2xcosx+m＝x+2sinxcosx﹣sinx﹣2xcosx+m＝（x﹣sinx）（1﹣2cosx）+m， 因为函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线斜率为0， 由导数的几何意义可得，f'（0）＝0，即（0﹣sin0）（1﹣2cos0）+m＝0， ∴m＝0，则f'（x）＝（x﹣sinx）（1﹣2cosx）， 设F（x）＝x﹣sinx，x∈（0，π），则F'（x）＝1﹣cosx≥0对x∈（0，π）恒成立． 所以F（x）＝x﹣sinx在（0，π）上单调递增，且F（0）＝0， 所以当x∈（0，π）时，F（x）＞0恒成立， 当上，f'（x）＝（x﹣sinx）（1﹣2cosx）＜0， 当上，f'（x）＝（x﹣sinx）（1﹣2cosx）＞0， 所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为g（x）＝（2a﹣1）x+（a+2）xcosx﹣sin2x+f'（x）＝2ax+axcosx﹣sinx， 因为﹣1≤cosx≤1， 所以2+cosx＞0恒成立， 若g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，则对x∈（0，+∞）恒成立， 设，x∈（0，+∞），h（0）＝0， 则． 当时，h'（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增， 所以当x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）＝0，满足题意， 当a≤0时，且时，ax≤0，，则h（x）＜0，不满足题意． 当时，令φ（x）＝sinx﹣3ax，则φ'（x）＝cosx﹣3a， 因为0＜3a＜1，所以φ'（x）＝cosx﹣3a在区间（0，+∞）上有无穷多个零点． 设最小的零点为x1，则当x∈（0，x1）时，φ'（x）＞0，所以φ（x）在（0，x1）上单调递增， 所以φ（x）＞φ（0）＝0，即sinx＞3ax在（0，x1）上恒成立， 所以当x∈（0，x1）时，，可得，不满足题意， 综上可知，a的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $