重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期数学练习（六）

《重庆南开中学高2027级高二（下）数学练习（六）4.26》参考答案 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 A 0 C D D D D BC AD ABD 1.A 【详解】学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法 的可能方式共有4种. 2.D 【详解】这组数据共有10个，所以10×80%=8， 所以第80百分位数是第8项和第9项数据的平均值：a=11+13-12, 2 8×7 小于12的数据有8个，所以P=C=2x1-28 C。10×945 2×1 3.C 【详解】对A,由频率之和为1得10(2a+4a+6a+5a+3a=1,解得a=0.005,故A正确： 对B,平均数为55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.15=76.5，故B正确： 对C,评分在[50,60)的频率为0.1，评分在[60,70)的频率为0.2， 评分的第25百分位数对应累计频率为0.25，落在[60,70)组内， 故第25百分位数为60+0,25,01×10=67.5，故C错误： 0.2 对D,评分在[50,60)的频率为0.1，则其中人数约为200×0.1=20，故D正确. 4.A 【详解】由题意得4n+Sn=2”,则4-1+Sa1=2-(≥2)， 两式相减得4.-41+Sn-Sn1=2”-2-(n≥2)，其中Sn-Sn1=a1≥2)， 则有20.-4n1=21(n≥2）， 1+9)x9 则(2a,-4)(24,-4)…(2m。-4,)=2.22…29-22+9=22=2s. 5.D 【详解】由展开式的代数形式CC%x0mym"z”知，x,y,z的指数和为10， 即问题转化为方程x+x2+x?=10的非负整数解的个数问题，因此项数为C2=66. 答案第1页，共11页 故选：D 6.D 【详解】 55.…5 =5×6+5×6+5×6+5×6+5×62+5×6+5 51-6)-6-1, 7个5 1-6 因为67-1=(7-1)-1=77-C·76+C27-…+C.7-2 =77-C.7+C.7-…+C7-7+5, 因为7-C·7+C.7-…+C7-7能被7整除， 所以。将六进制数5转换为十进制数，则转换后的数被7除所得的余数是5 故选：D. 7.D 【详解】设A:第一天去甲影院，B:第二天去甲影院，则A:第一天去乙影院，B:第二 天去乙影院， 可得P(A)=0.3,P(A)=0.7,P(BA)=0.6,P(BA=0.5, A:P(B)=P(A)P(BA)+P(AP(BA=0.3×0.6+0.7×0.5=0.53,故A错误： B:P(B)=1-P(B)=0.47,故B错误； c:P() P(A)P(B4_07x0.5_35,故C错误： P(B) 0.5353 D:PaE列-PaPE1_P4L-P(8l4】_03xI-06).2 7 故D正确； P(B) P(B) 0.47 故选：D 8.D 【详解】 =f+)）%=+-a(+,广+6-（G-a+b+-a+(5-2a,, 由于y=∫(x+x)-y为奇函数，故x。-a=0，即x=a, 因此e+sinx,+,=e+sina+d-axad2+b>0a∈[-3，-l]恒成立， 3 故b>2d-(e+sima)a∈[3，-刂恒成立， 3 答案第2页，共11页 记8(o)-d-(e+ma,ae3-.则g回=2i-c-cosa, 由于y=2a2,y=-e,y=-cosa均在a∈[-3，-1]单调递减，故g(在a∈[-3，-1]单调递减， 因此g(m≥8(-1)=2-1-cos1>0,故g@>0在a∈[-3，-1]上恒成立， e 故8@在a-3-刂单调递增，故g@m=g(←1)=-？上+ +sin1, 4’3e 3 e 9e0, --+sn= 因此b能取到的最小整数为0. 9.【详解】对于A,由P同-号得P④1-子} 33,A错误： 对于B,由P()号P@)P(4B)后得P4)=4(8,事件A与：相互独 立，B正确： 对于C,由P(AB)=石得事件A与B可以同时发生，则事件A与B不互斥，C正确： 对FD,Pa+到=0+的-吉行后子D错关 故选：BC 10.AD 【详解】对于A,从第2行起，每一行的第3列的数字之和为C2+C+C+·+C=C。=120, A正确； 对于B,由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此n=10,B错误： g=34+3a+4+43a n+1 对于C,第n行的第1个数为a=C, =C3°+C3+C232++C3”=1+3)=4,C错误； 对于D,1+x)(x+1)”=(C+Cx+C2x2++Cx“)Cx"+Cx1+C2x”-2++C), 则(C)2+(C)2+(C)2+…+(C)2是1+x)”(x+1)展开式中x"项的系数， 而1+x)(x+1)”=1+)2”,1+x)2展开式中x项的系数为C2m, 因此(C)2+(C)2+(C2)2+…+(C)2=C2n,D正确 故选：AD 11.ABD 答案第3页，共11页 【详解】若(c,y)满足曲线C的方程，则(-x,y),(x,-y)(-x,-y)满足曲线C的方程， 则曲线C关于坐标轴以及原点对称，A正确： 当√m+Vn=1,a=1时， 由线C法法-1直第一象限为线度高方=00， √mn 与坐标轴交于M(√m,0),N(0,Vm), 则s om,且m∈0)， 9-49=2m-wm-版 B正确： 当=2，若√m=√n=1时，曲线C:x2+y2=1, 则1=x2+y2≥2|与xy=1不会同时成立，曲线C与曲线y=1无交点，C错误： 当m=%a=)时，曲线C网+风=m, 可得曲线与x轴、y轴正半轴交点为A(m,0),B(0,m), 根据对称性曲线与两坐标轴的四个交点构成的四边形的面积为4×二2=2m2, 则线段AB:x+y=m(0≤x≤m),即y=-x+m, 而曲线C:x+y+2√y=,即y=-x-2√xy+, 则曲线图形在其内部，故面积小于22，D正确. 12.9 【详解】由D(2X+1)=8可得，4D(X)=8,所以D(X)=2,且随机变量X~B 则 D(X)=(1-p)=2,所以n=9 s.是 【详解】因为f(x)=x3-ae只有1个极值点，所以a≠0，f'(x)=3x2-ae, 由f"(x)=0,得a=3x 则直线y=a与y=8(x)的图象仅存在一个交点（变号零点）， 答案第4页，共11页 设g)=.则g0-6x“2-9 e 由g()>0,得0<x<2;由g()<0,得x<0或x>2: 则g(x)在(-o,0)和(2，+∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 又0-0,82)-号当→0时，g国→+0，当x→时，g)0, 故其函数图象如图： 12 e2 y=g(x) y=a 2 、12 当a>。专时，直线y=a与y=8()的图象仅在(m,0)有1个交点，符合题意： 12 当a=。专时，直线y=a与y=8(0的图象在（←m,0)上以及x=2处各有1个交点， 但仅在(-o,0)上存在1个变号零点，符合题意； 当0<a<2时，直线y=a与y=8(8)的图象有3个交点，不符合题意 当a≤0时，直线y=a与y=g(x)的图象无交点，不符合题意， 所以当a2时了)有唯一极值点， 12 综上，实数a的取值范围是 14.1820 【详解】题目要求只考虑点数、不考虑花色，点数共13种(1~13)， 我们需要计算从13种点数中选取4张的不同组合数，按点数重复情况分类计算： 4张点数全不同：从13种点数选4种，共C=715组： 恰好1对点数相同，其余2个点数不同：先选相同的点数(13种选1)， 再从剩余12种选2个不同点数，共C,C2=13?66858组： 恰好两个不同点数各出现2次（两对）：从13种选2个点数，共C=78组； 恰好3张点数相同，剩余1张不同： 答案第5页，共11页 先选3张相同的点数，再选1个不同点数，共C1C2=13×12=156组； 4张点数全相同：共C3=13组. 将所有情况相加得715+858+78+156+13=1820. 15.解：(1)因为[1+(x+1]=C8(x+1)°+C(x+1)+C(x+1)++C(x+1), 所以a4,+ax+a2x2+…+4x8=(x+2)-1, 令x=-1,得a-4+a2-4+a4-a+a-a,+ag=0, 所以a-a+4-42+4-a4+a,-a6-a =-(a-4+42-a4+a4-4+a6-a,+4)=0. (2)由(1)可得(a+1)+ax+a2x2+…+asx8=(x+2), 令x=0得a+1=2,即4。=2-1=255， 因为(x+2)°=Cx8-*2,k∈[0,8]且k∈Z, 令8-k=5,即k=3,得4=C823=448, 所以a。-4=255-448=-193. 16解：1由已年得品员-丑4=1，可得会是肖项为1，公法为的特差数列 n+1n3 所以号1+-)-”生2.敬a的通项公式是习 之 3 (2)由(1)得 .n(n+2) 设心=4+4++，则S=4,S2=4+3=11 aa, 221 当时，文=61-3居引中六品2】 =6f1+1-1 =9-66 气2n+1n+2 n+1n+2 则Sn单调递增且极限为9，所以Sn<9. 由3=9-】6>8，可知符合慰设条件的m的最小值为9， 2131 答案第6页，共11页 17.解：(1)根据题意，先从3个标号不同的红球中选出2个排在两端，方法数为A=3×2=6 种， 剩下的3个球排在中间的3个位置，由于这3个球各不相同，因此方法数为A=3×2×1=6种， 根据分步乘法计数原理，所有的排法数为A×A=6×6=36种 (2)根据题意，这5个球的全排列为A=5×4×3×2×1=120种，并且X的可能取值为0,12,3， 当X=0时，即2个白球相邻，先对这2个白球全排列，再把这2个白球看成一个整体，和 剩余的3个红球全排列， 因此排法数为A×A=2×24=48种，则P(X=0)=AA-48_2 A1205 当X=1时，即2个白球之间恰有1个红球，先对这2个白球全排列，再从3个红球中选1个 红球放在白球中间， 再把这3个球看成一个整体，和剩余的2个红球全排列，因此排法数为 C×A×A=3x2x6=36种，则P(X=1)=CAA-36-3 A:12010 当X=2时，即2个白球之间恰有2个红球，先对这2个白球全排列，再从3个红球中选2个 红球放在白球中间， 且这2个红球有顺序，再把这4个球看成一个整体，和剩余的1个红球全排列， 因此排法数为AxC×A×A=2x3×2×2=24种，则P(X=2)=ACAA-24-1 A 12051 当X=3时，即2个白球之间恰有3个红球，先对这2个白球全排列，再对中间3个红球全排 列，因此排法数为A×A=2×6=12种， 则P(X=3)=AA-12-1 A120101 因此X的分布列为： X 0 1 2 2-5 3 10 1-5 1 答案第7页，共11页 (3)由(2)中x的分布列可知，X的期望B(X)）=0x2+1×3+2×:+3× 1 110=1, 5 10 5 1010 X的方差为D(灯=0-号-高+2-6小品-号0+写号1 18.解：(1)依题意AB=2a=4, 所以a=2, 由直线y=1交C于P,Q两点，1P04y6 3 可知点 26 在椭圆上， 3 2 26 所以 3 12 解得b2=3, 1 4 所以椭圆方程为+上-1： 43 (2) (i)设M(xo1), 3 D(x,),E(x2,y2), 设直线AM:x=(x+2)y-2,BM:x=(x-2)y+2, 由：6+2)y-2 可得： 3x2+4y2-12=0 3(x+2)°+4y2-12(x+2)y=0, 12(x。+2) 解得y 3(x。+2)2+41 12(x。-2） 同理联立M和椭圆方程，可得2= 3(x。-2)2+4 答案第8页，共11页 12(x。+2) 所以直线BD的斜率为出。 3(x。+2)2+4 x1-2(x。+2)y-4 (6+2）126+2 4+2), 3(x+2)2+4 所以直线0y-+2c-2. 同理可得4E的斜率为x,+2化-2)乃，-44伍2) 所以直线4By=子6-2✉+2). y+2x-2) 由 =x-2+2 可得N-4到小又M山， 所以MN L AB: (ii)假设存在点T(0,t),使得NT+|M为定值， 所以芝（x-3m-+t-3-(m-2引-0恒成立. -3)-(m-2列=0'解得t=8m=7 [3t-3-1=0 则 3,s 3 所以在在点TQ》,使符M-M为定位子 19.解：(1)f(x)=-xnx+(lna+1)x, 由f'(x)=-hx+ha, 当x∈(0，a)时，f'(x)>0,即f(x)在(0，a)为增函数： 当xe(a+o)时，f'(x)<0,即f(x)在(a,+∞)为减函数 所以f(x)的递增区间为(0，a),递减区间为(a,+o): (2)由f(x)=-xlhr+(lna+1)x=0,解得=ae, 又因为f'(x)=-nx+ha,则f'(ae)=-lnae+ha=-1, 所以切线方程为y=-x+ae, 答案第9页，共11页 设p(x)=-xlnx+(na+2)x-ae,则p(x)=-lnx+na+1, 令p(x)=-hx+ha+l=0,解得x=ae, 当0<x<ae时，p'(x)>0,当x>ae时，p'(x)<0, 可知p(x)在(0，e)为增函数，p(x)在(ae,+o)为减函数， 故p(x)≤p(ae)=0,所以f(x)≤+m: (3)由(1)可知f(x)mx=f(a=a≤1， ①若x2∈(0，ad,则f(x2)=x2(ha+1-nx2）>x2>0, f(x)-f(x2)<f(x)≤f(a)=-ana+ana+a≤1不符合题意： 所以x2≥a, ②若0<x<a,则<2， ③若x≥a,x,≥a,又因为f(x)在(a,+w)为减函数， 所以f(x)=f(x2)+1>f(x2),所以<2， 综上所述<2， 又因为f()-fx)=1,由e-e a 所以c-e>)f》. 即a(e-e)>f(x)-f(x2),即f(x)+ae<f(x2)+ae, 设g(x)=f(x)+ae, 所以g'(x)=f'(x)+ae=ae-nx+lna, 方法一：设h()=ae*-nx+na,所以Wx)=ac-1 因为(x)在(0，+o)为单调递增， 当x→0时，(x)→-0，x→+o,(x)→+0， 所以存在1E0+),使得加回=-0，即ae}0。 答案第10页，共11页 又因为x∈(0，t),W(x)<0,即h(x)在(0，t)为减函数： 又因为x∈(t,+o),M(x)>0,即h(x)在(t,+o)为增函数； 所以h(x)≥h()=ae'-hnt+hna=1-hm+lna, 又因为心-片则有a+f=r, 又因为sa≤1， e a0-1+2a≥2+2hu≥0. 所以h(x)≥0，即g(x)在(0，+o)为增函数， 又因为x>,所以g(x)>g6),即e-e>1 方法二：h(x)=ae-nx+lna=ex+a+x+lna-(nr+x) 设F(x)=nx+x,因为F(x)在(0，+o)单调递增， 又因为eHa≥e-l≥x所以F(ea）≥F(x) 所以h(x)≥0，即g(x)在(0，+o)为增函数， 又因为5>x,所以g(x)>g(k),即e-e>1 答案第11页，共11页重庆南开中学高2027级高二（下)数学练习（六)4.26 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1.学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共 有() A.34种 B.4种 C.C种 D.A种 2.一组数据1,2,2,3,5,8,10,11,13,15的第80百分位数为a,从这组数据中随机取两个 数，这两个数都小于a的概率为() A D. 45 3.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学 生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（) A频率/组距 61---- A.4=0.005 5a 4a B.估计评分的平均数为76.5 3a C.估计评分的第25百分位数为65 D.评分在[50,60)的人数约为20 05060708090100评分 4.设Sn是数列{an}的前n项和，若a.+Sn=2”,则(242-4)(2a-4,)…(2a。-4)=() A.25 B.20 C.25 D.260 5.若将(x+y+z)°展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为() A.33项 B.44项 C.55项 D.66项 6.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任 何进制数均可转换为十进制数，如六进制数(2501)，转换为十进制数的算法为 2×6+5×6+0×6+1×6°=613.若将六进制数555转换为十进制数，则转换后的数被7除所得的余数 75 是() A.0 B.2 C.5 D.6 试卷第1页，共4页 7.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,B存在如下 关系：P(AB)= P(4)P(B1A)2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的.小 P(B) 红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7.如果 她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为06；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院 的概率为0.5，则小红同学（) A.第二天去甲影院的概率为0.54 B.第二天去乙影院的概率为0.46 C.已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 3 D.已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为2 47 8.已知函数f(x)=x2-m2+b,且y=fc+)-乃为奇函数，其中(k,必)在f(上，若a∈[3，-1]， 3 e。+sinx。+。>0恒成立，则实数b能取到的最小整数是（) A.-18 B.-17 C.-1 D.0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分， 9.若P(B)-名P团=子P6)},则下列说法正确的是() A.Pa=月 B.事件A与B相互独立 C.事件A与B不互斥 D.P(A+B)=3 6 10.如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所 著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是() A.在“杨辉三角”中，当=9时，从第2行起，每一行的第3列的数宇之和为120 B.在“杨辉三角”第n行中，从左到右只有第6个数是该行的最第0行 第1行 1 大值，则n为12 第2行 第3行 3 3 C.记“杨辉三角”第n行的第i个数为a,则∑3a=3 第4行 464 第5行 15101051 D.在“杨辉三角”中，第n行所有数宇的平方和恰好是第2n行的 第n行 中间一项的数宇 试卷第2页，共4页 1,对于曲缓c:'+心1（其中mn口均为正数），下列说法正确的有() 十 √mvn A·曲线C是轴对称图形 B.当m+m=1a=1时，击线C国成的封闭区域面积的球值范固为@ C.当a=2时，曲线C与曲线xy=1有4个交点 D.当m=na=一时，曲线C围成的封闭区域的面积小于2m 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X8》,若D2x+)-8,则n= l3.若函数f(x)=x-ae*有唯一极值点，则实数a的取值范围是 14.用扑克牌算“24”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中任意取出4张 组成一个牌组，将牌面上的数宇2到10分别视作点数2到10，将牌面上的宇母A,J,Q,K分别视作点 数1,11,12,13.再通过加减乘除四则运算，将4张牌面上的点数得出24点，每张牌只能用一次.如果 只考虑牌面点数，不考虑花色，那么在这个规则下，不同的牌组共有 组.（用数宇作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知a4+ax+4x2++a8=C+1+C(+1)++C+1. (1)求4-4+a3-a2+a-a4+a-a6-a的值； (2)求a4-4的值 16.已知数列a足4=1，a-〔+》+% (1)证明： 是等差数列，并求{a}的通项公式； n 2)设m为整数，且对任意正整数n,m≥4+4++4 4a,+a，求m的最小值. 试卷第3页，共4页 17.将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排 (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记X为2个白球之间红球的个数，求X的分布列； (3)求X的期望和方差， 18,日知陌图C若+茶=0s6>0的左、右页点分别为4A,18牛4，宣线)y1交C十，2点 I PQl=4V6 3 (1)求C的方程； (2)点M在线段PQ上，直线AM,BM分别交C于D,E两点，直线AE,BD交于点N. (i)证明：MN LAB; (i)判断y轴上是否存在定点T,使得WT+|M|为定值，若存在，求出T的坐标；若不存在，说 明理由. 19.已知函数f(x)=-xnx+(na+1)x (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设函数f(x)的零点为x。,设曲线y=∫(x)在(x,O)处的切线为y=+m,求证：f(x)≤xH 6)当as1时，设4e(0+@),且满足()-f)=1,求证：e-e>日 试卷第4页，共4页记8a)-d-(e+sma,ae3-,则g@=2i-e-cosa, 由于y=2d,y=-e,y=-cosa均在a∈[-3，-]单调递减，故g(a)在a∈[-3，-1]单调递减， 因此g(a≥g(-1)=2-1-cos1>0,故g@>0在ae[-3,-1]上恒成立， e 故8@在ae3,-l刂单调递增，故g(@四m=g(-1)=-2上+ +sin1, 3 e ∈21+sim死，31+im。 4’3e 03/且、21 3 e mg号5-1 sin 因此b能取到的最小整数为0. 9.【详解】对于A,由P同-子，得P④1-子} 33,A错误： 对于B.由P(B-号P(④）；P(A)言得P1)=P心，事件A与相互独 立，B正确： 对于C,由P(4B)石，得事件A与8可以同时发生，则事件A与B不互斥，C正确： 对干，P4列=0+的-调-片合子D跟 故选：BC 10.AD 【详解】对于A,从第2行起，每一行的第3列的数字之和为C+C+C+…+C6=C。=120, A正确； 对于B,由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此n=10,B错误： 对于C,第n行的第个数为a=C时，立3a=4+3a+3a+t3an =C0.3°+C3+C2.32+…+C.3”=Q+3)“=4",C错误： D,(1+x)"(x+1)"=(Co+Cx+C2x2+...+C"x")(Cox"+Cx+Cx2+..+C), 则(C)+(C)2+(C)2+…+(C)2是1+x)(x+1)“展开式中x项的系数， 而1+x)(x+1)”=Q+)2",A+x)2“展开式中x”项的系数为C2n, 因此(C)2+(C)2+(C2)2+…+(C)2=C,D正确. 故选：AD 11.ABD 答案第3页，共11页 【详解】若(c,)满足曲线C的方程，则(-x,y),(x,-),(-x,-)满足曲线C的方程， 则曲线C关于坐标轴以及原点对称，A正确： 当√m+Vn=1,a=1时， 曲线c. =1在第一象限为线段产+ ==1(x>0,y>0), √m√n m n 与坐标轴交于M(√m,0),N0,√m) 则Soaw=)mn,且me(0,D, 2 s8w2m2m0版0B正痛： 当a=2,若√m=√n=1时，曲线C:x2+y2=1, 则1=x2+y2≥2y川与xy=1不会同时成立，曲线C与曲线|y=1无交点，C错误： 当m=儿a=号时，曲线C+=m, 可得曲线与x轴、y轴正半轴交点为A(m,0),B(0,m), 根据对称性曲线与两坐标轴的四个交点构成的四边形的面积为4×二m2=22, 则线段AB:x+y=m(0≤x≤m),即y=-x+m, 而曲线C:x+y+2√xy=,即y=-x-2√xy+m, 则曲线图形在其内部，故面积小于2m2,D正确. 12.9 【详1直Dx+)8可有，40)8，所以D)-2.且随机交量X-R%}则 D(X)=p(1-p)=2,所以n=9 【详解】因为f(x)=x3-ae只有1个极值点，所以a≠0，f'(x)=3x2-ae, 由f"x)=0,得a二3x 则直线y=α与y=g(x)的图象仅存在一个交点（变号零点）， 答案第4页，共11页 设8国-证.则gw=6ex-“2 e* e 由8(x)>0,得0<x<2;由g(x)<0,得x<0或x>2: 则8(x)在(-o,0)和(2，+o)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 又g回=0,82)是，当x→0时，创→0，当→时)→0， 故其函数图象如图： 12 e2 y=g(x) y=a 2 12 当a>。时，直线y=a与y=8()的图象仅在（心，0）有1个交点，符合题意： 12 当a=。专时，直线y=a与y=8(x)的图象在(m,0)上以及x=2处各有1个交点， 但仅在(-∞，0)上存在1个变号零点，符合题意： 12 当0<a<。专时，直线y=a与y=8w)的图象有3个交点，不符合题意： 当a≤0时，直线y=a与y=g(x)的图象无交点，不符合题意， 所以当a≥12 时()有唯一极值点， 综上，实数a的取值范围是 14.1820 【详解】题目要求只考虑点数、不考虑花色，点数共13种(1~13)， 我们需要计算从13种点数中选取4张的不同组合数，按点数重复情况分类计算： 4张点数全不同：从13种点数选4种，共C=715组： 恰好1对点数相同，其余2个点数不同：先选相同的点数(13种选1)， 再从剩余12种选2个不同点数，共C1C213?66858组： 恰好两个不同点数各出现2次（两对）：从13种选2个点数，共C=78组； 恰好3张点数相同，剩余1张不同： 答案第5页，共11页 先选3张相同的点数，再选1个不同点数，共CC2=13×12=156组； 4张点数全相同：共C=13组. 将所有情况相加得715+858+78+156+13=1820. 15.解：(1)因为[1+(x+1)]=C8(x+1)°+C(x+1'+Cg(x+1)++C(x+1), 所以a。+ax+a,x2+…+agx8=(x+2)8-1, 令x=-1,得4-4+a2-4+4-4+4-4,+4=0, 所以4-4+4-42+4-a4+4-6-s =-(a-4+a42-4+44-4+a6-a,+a)=0, （2)由(1)可得(a。+1)+ax+a2x2+…+agx8=(x+2), 令x=0得a,+1=2,即4=28-1=255， 因为(x+2)=Cx8-*2*,k∈[0,8]且k∈Z, 令8-k=5,即k=3,得4=C23=448, 所以4-4=255-448=-193】 16解1)由已知得品-丑4=1，可得负}是首项为1，公若为的特差数列 n+1n3 所以号=1十m-)-”生之.故a的通项公式足2 3 (2)由(1)得 设34+4++，则S=4,S=4+311 aa, 22 当，8=6H任)G(品1H日】 =9-6.6 n+1n+2 则Sn单调递增且极限为9，所以S<9. 面89-}。8，可知符合题设条件的m的最小值为卫 答案第6页，共11页 17.解：(1)根据题意，先从3个标号不同的红球中选出2个排在两端，方法数为A=3×2=6 种， 剩下的3个球排在中间的3个位置，由于这3个球各不相同，因此方法数为A=3×2×1=6种， 根据分步乘法计数原理，所有的排法数为A×A=6×6=36种. (2)根据题意，这5个球的全排列为A=5×4×3×2×1=120种，并且X的可能取值为0,1,2,3， 当X=0时，即2个白球相邻，先对这2个白球全排列，再把这2个白球看成一个整体，和 剩余的3个红球全排列， 因此排法数为A×A=2×24=48种，则P(X=0)=AA-48_2 A1205' 当x=1时，即2个白球之间恰有1个红球，先对这2个白球全排列，再从3个红球中选1个 红球放在白球中间， 再把这3个球看成一个整体，和剩余的2个红球全排列，因此排法数为 C×A×A=3x2x6=36种，则P(x=)=CSAA=36-3 A12010' 当X=2时，即2个白球之间恰有2个红球，先对这2个白球全排列，再从3个红球中选2个 红球放在白球中间， 且这2个红球有顺序，再把这4个球看成一个整体，和剩余的1个红球全排列， 因此排法数为AxC×A×A=2x3×2x2=24种，则P(X=2)）=ACAA_241 A 12051 当X=3时，即2个白球之间恰有3个红球，先对这2个白球全排列，再对中间3个红球全排 列，因此排法数为A2×A=2×6=12种， 则P(X=3)= AA-12=1 A12010 因此X的分布列为： X 0 1 2 3 2-5 3 10 1-5 1 10 答案第7页，共11页 2*3 (3)由(2)中X的分布列可知，X的期望E(X)=0×2+1×3 110=1, 5 5 1010 X的方鉴为D(0=0-号0-e-号6明0-+0+号1 18.解：(1)依题意AB=2a=4, 所以a=2, 由直线y=1交c于P,Q两点，P04y6 3 2W6 可知点 在椭圆上， 3 26 2 所以 3 12 解得b2=3, 6 =1 4 所以椭圆方程为+号-1： 43 (2) (i)设M(xo,1), 3 D(x,),E(2,y2), 设直线AM:x=(x+2)y-2,BM:x=(x。-2)+2, 由x6+2y-2 可得： 3x2+4y2-12=0 3(x+2)}°+4y2-12(+2)y=0, 12(x。+2) 解得y 3(x。+2)+41 12(x。-2 同理联立BM和椭圆方程，可得y,= 3(x。-2)+4 答案第8页，共11页 12(x。+2) 所以直线BD的斜率为Y， 3(x。+2)2+4 ￥2+2)4-4x+2)12(。+2)4 4,+2), 3(x。+2)+4 所以直线D0y-k+20x-2, 同理可得AB的斜率为上，。为 3/ x+2G-2,-446,-2), 3 所以直线4B:y=-4-2x+2, =+2-习 由 可得N代-到又M化)。 20+2 所以MN⊥AB: (ii)假设存在点T(0,t),使得|T|+|☑M|为定值m, 所以三(-3m-+-3-(m-2=0恒成立， [3t-3-1=0 则 c-列-(m-2}2-0'解得1=8m 7 31 所以存在点》，位得T1+M为定值写 19.解：(1)f(x)=-xr+(na+1)x, 由f'(x)=-lnx+hha, 当x∈(0，a)时，f'(x)>0,即f(x)在(0，a)为增函数： 当x∈(a,+o)时，f'(x)<0,即f(x)在(a,+o)为减函数. 所以∫(x)的递增区间为(0，a),递减区间为(a,+o): (2)由f(x)=-xhx+(lna+1)x=0,解得x。=e, 又因为f'(x)=-lnx+na,则f'(ae)=-hae+lna=-1, 所以切线方程为y=-x+ae, 答案第9页，共11页 (x)=-xInx+(Ina+2)x-ae,(x)=-Inx +Ina+1, 令p'(x)=-lhx+na+1=0,解得x=ae, 当0<x<ae时，p(x)>0,当x>ae时，p'(x)<0, 可知p(x)在(0，a)为增函数，p(x)在(ae,+o)为减函数， 故p(x)≤p(a)=0,所以f(x)≤kx+m: (3)由(1)可知f(x)ms=f(a=a≤1， ①若x2∈(0，a,则f(x2)=x2(ha+1-nx2)>x2>0, f(x)-f(x2)<f()≤f(a)=-aa+ha+a≤1不符合题意： 所以x2≥a, ②若0<x1<a,则X<x2, ③若x1≥a,x2≥a,又因为f(x)在(a,+o)为减函数， 所以f(x)=f(x2)+1>f(x2),所以x<x2, 综上所述x<x2, 又因为f(:)-f(x)=1,由e-e>1 a 所以e-e>r(s)f》. 即a(e-e)>f(x)-f(x2),即f(x)+ae<f(xz)+ae, 设g(x)=f(x)+ae, 所以g'(x)=f"(x)+ae=ae-hx+lna, 方法一：设h()=ae-nr+lna,所以化(x)=ae, 因为(x)在(O,+o)为单调递增， 当x→0时，1(x)→-0，x→+∞，H(x)+o, 所以存在te(0,+),使得(0)=0，即ae-}=0, 答案第10页，共11页 又因为x∈(0，t),H(x)<0,即(x)在(0，t)为减函数； 又因为x∈(t,+o),h(x)>0,即h(x)在(t,+o)为增函数； 所以h()≥h=ae-+ha=r+hna, 又因为ae=,则有ma+t=-ht, 又因为sa≤1， e ha0-+2ha≥2+2ha≥0. 所以h(x)20,即8(x)在(0，+o)为增函数， 又因为x,>,所以8(，)>86)，即e-e> a 方法二：h(x)=ae-nx+lna=e+ha+x+lna-(nr+x) 设F(x)=lnx+x,因为F(x)在(0，+o)单调递增， 又因为e+Ha≥e1≥x所以F(e+a）≥F(x) 所以h(x)≥0，即g(x)在(0，+o)为增函数， 又因为x,>x,所以8(3)>g(k),即e-e>1 a 答案第11页，共11页