精品解析：河南南阳华龙高级中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学试题

高一数学试题卷 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用诱导公式和两角差的正弦公式计算得到答案. 【详解】 . 故选：C. 2. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设向量与向量的夹角为，根据投影向量的定义求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】设向量与向量的夹角为，因为， 所以向量在向量上的投影向量为，则， 所以 . 故选：D. 3. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则可得相关线段长，将直观图复原为原图形，即可求得答案. 【详解】由题意知，, 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，故，且, 故,故， 故选：C 4. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，则． 5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 6. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 7. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以由， 得 因此， 从而的最大值为. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 则下列命题中正确的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若z为复数，则必成立 C. 若复数，则 D. 若复数，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由复数的运算性质对选项逐一判断 【详解】对于A，若，设，即，则，，故A正确， 对于B，若，则，故B错误， 对于C，若，，，故C正确， 对于D，设，则， 可得，故D正确． 故选：ACD 10. 已知的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由三角形内角范围，结合正弦函数性质即可判断，对于B，由余弦定理可判断角，无法判断，即可；对于C，由题意得到即可求解，对于D，由向量数量积的定义即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，则，A正确． 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断和是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，B错误． 对于C，由得到， 因为三角形有两解，即由可以得到两个的值，即需满足， 即，且， 故得，即， 即的取值范围为，C正确． 对于D，因为，所以，D错误． 11. 定义平面向量的“Rickie变换”，记作“”.对任意平面向量，规定变换后的向量，对向量连续进行次变换所得的向量记作.设，为平面内的非零向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定存在，使得 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若存在两素数，使得，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：设，利用平面向量共线定理及所给定义计算即可得；对B：举出反例即可得；对C：设，，利用三角函数性质及所给定义计算即可得；对D：找出对向量连续进行次变换所得的向量规律，再分与进行讨论即可得. 【详解】对A：设，， 由，则存在，使得， 则，又， 故，故A正确； 对B：取，，， 则，，，， 故，， 此时，故B错误； 对C：设，， 则，， 故， ， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，故C正确； 对D：设，当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 若，则有以下四种可能： 1.，，且， 则； 2. ，，且， 则； 3. ，，且， 则； 4.，，且， 则； 故时，不合题意； 若，则，有以下两种可能： 1.，则； 2.，则； 即时，符合题意； 综上：若存在两素数，使得，则，故D正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以  13. 已知单位向量，，若不存在实数，使得成立，则向量，的夹角的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积与模长的关系，结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可. 【详解】设向量，的夹角为，不存在实数，使得成立， 等价于对恒成立，所以， 则，即恒成立. 所以，解得， 因为，所以， 故，的夹角的取值范围是. 14. 记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出，再换元应用判别式法结合一元二次不等式计算求解最小值即可. 【详解】因为，而， 由正弦定理得， 所以. 又因为， 设，，所以. 又，所以， 所以，即， 设，所以，即有解， 所以，解得. 若，则与中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故. 即有，所以，故的最小值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，其中 （1）若，求k的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得的坐标，再根据求解； （2）先求得，的坐标，再由求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， ， 所以， 所以向量在向量的投影向量为. 16. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【小问1详解】 由整理得，又， 代入得，解得， 则； 【小问2详解】 因为， 又， 所以. 17. 如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． （1）请用表示向量； （2）若为的中点，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用向量的基本定理求解； （2）利用向量共线的推论求解； （3）利用向量的数量积求解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为为的中点，由（1）知， 所以． 因为三点共线， 所以， 所以，解得，所以. 【小问3详解】 ． 由（1）知，由（2）知，， 则， 所以， 所以，得， 所以． 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的外接圆的周长； （2）若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用二倍角的正弦求出，再利用正弦定理求解. （2）①由（1）的结论，结合锐角三角形条件求出的范围；②由正弦定理及三角形面积公式，结合正切函数的性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，，又， 于是，，因此，设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以的外接圆的周长为. 【小问2详解】 ①由为锐角三角形，得，又， 则，解得，所以角的取值范围是； ②的面积， 由正弦定理得． 由，得，则，因此， 所以面积的取值范围是. 19. 我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 【答案】（1）， （2）①1；② 【解析】 【分析】（1）由题意，根据复数的乘法运算即可求解； （2）（ⅰ）解法一：设，根据三角恒等变换化简和复数的乘法计算求出，进而表示的坐标，结合模长公式计算即可；解法二：连接，设，，求出，进而，利用换元法化简计算即可求解； （ⅱ）设，则D，利用向量的线性运算和三角恒等变换化简可得，进而求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 （ⅰ）解法一：设，， 所表示的复数为，所表示的复数为 有， ， 故， 得 ， 其中，故线段长度的最小值为1. 解法二：连接，设，， 由可得，则， 当时， 化简得，令，. 则 . 同理可得：当时， （ⅱ）设，则，即点坐标为， 此时，，. 由（，）得： ， 即，解得， 故， ，其中， 可得. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题卷 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 6. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 则下列命题中正确的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若z为复数，则必成立 C. 若复数，则 D. 若复数，，则 10. 已知的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若，则 11. 定义平面向量的“Rickie变换”，记作“”.对任意平面向量，规定变换后的向量，对向量连续进行次变换所得的向量记作.设，为平面内的非零向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定存在，使得 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若存在两素数，使得，则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 13. 已知单位向量，，若不存在实数，使得成立，则向量，的夹角的取值范围为_____. 14. 记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，其中 （1）若，求k的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 17. 如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． （1）请用表示向量； （2）若为的中点，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的外接圆的周长； （2）若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 19. 我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $