精品解析：山西太原市山西省实验中学2025—2026学年第二学期期中质量监测（卷）八年级 数学

山西省实验中学 2025—2026学年第二学期期中质量监测（卷） 八年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 设“”“”“”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，通过图一知道，图二知道，进而求出三种物体质量的大小关系． 【详解】解：由第一个图可知，， 即， 由第二个图可知，， 即， ， 故选：A． 3. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 4. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角小于或等于 D. 每一个内角都小于 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．至少有一个内角大于或等于的反面是每一个内角都小于，据此即可假设． 【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设：每一个内角都小于． 故选：D． 5. 某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列出不等式，先找出气温与海拔高度的关系，再结合杜鹃花适宜生长的气温条件列出不等式即可． 【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，那么海拔上升了， 则气温下降的度数为，此时的气温为， 由于杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡， 因此，可列出的不等式为：． 6. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在正比例函数的图象的上方，由此得到不等式的解集． 【详解】解：直线交直线于点， 所以，不等式的解集为． 故选：A． 7. 将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高线上 C. 边的中线上 D. 边的垂直平分线上 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明出，得到，即可得到点一定在的平分线上． 【详解】解：如图，连接 根据题意得，， 又∵ ∴ ∴ ∴点一定在的平分线上． 8. 已知（_______），则横线上应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 9. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据旋转角相等可知，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转可知，，，， ， ， ， ， ， ． 10. 如图，在中，，将边绕点A逆时针旋转得，交于点D，点M是边上一点，且，则的长度为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，设，根据勾股定理得出，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 根据旋转可得：， ∴， ∴， ∴， 设， ∵在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 12. 如图，在中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，，，则的周长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及垂直平分线的性质，根据，，得到，根据作图得到，即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可得，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中放置一块直角三角尺，且，顶点的坐标为，现将三角尺向左平移，使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，坐标平移等知识，利用勾股定理解直角三角形求出的长即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 平移后，，， ∴， 故答案为：． 14. 王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折． 【答案】八## 【解析】 【分析】设该卫衣打折销售，根据利润率的计算公式列出不等式求解． 【详解】解：设该卫衣打折销售， 根据题意，得， 整理得， 解得， 因此该卫衣至多可以打折． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 解不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示． 【答案】 解集是，不等式组的解集在数轴上表示如下： 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是． 17. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可； 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）将平移得到对应的，点A的对应点的坐标是，请画出平移后的，若点是内一点，则点P平移后的对应点的坐标是___________． （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的． （3）观察图形可知，与关于点__________中心对称． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标，据此作图，再根据平移方式求出点的坐标即可； （2）根据题意可得和关于原点对称，据此作图即可； （3）连接，三条线段交于一点，该点即为对称中心． 【小问1详解】 解：∵将平移得到对应的，点的对应点的坐标是， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴，即， ∵点是内一点， ∴点P平移后的对应点的坐标是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，由图可知，与关于点中心对称． 19. 如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【答案】 证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明； 【详解】略 20. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 （3）根据图2：若，则的值=_____． 【答案】（1） （2）21 （3）12 【解析】 【分析】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【小问1详解】 解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． 【小问2详解】 解：∵长为、宽为的长方形面积为：，  A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． 【小问3详解】 由完全平方公式可得： ， ∴，：  ∴， ∵为正数， 故． 21. 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解山西文化，某山西省实验中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆x瓶（）． （1）若该客户按方案一购买，需付款元与x的函数关系式是_________；若该客户按方案二购买，需付款元与x的函数关系式是__________． （2）选择哪种方案更优惠？ 【答案】（1）； （2）当购买香菇脆大于60瓶时，选择方案二更优惠；当购买香菇脆等于60瓶时，选择方案一、二一样优惠；当购买香菇脆大于30瓶且小于60瓶时，选择方案一更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）结合（1）所得式子，列方程和不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 【小问2详解】 解：当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 答：当购买香菇脆大于60瓶时，选择方案二更优惠；当购买香菇脆等于60瓶时，选择方案一、二一样优惠；当购买香菇脆大于30瓶且小于60瓶时，选择方案一更优惠． 22. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规作符合要求的等边三角形 数学课上，老师出示了下面一个问题： 如图1，已知点A是直线l外一点，用直尺和圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形． 同学们围绕这个问题展开讨论． 勤学小组展示了他们的作法：如图，过点A作于点H，再分别以点A，H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，作的平分线交直线l于点B，在l上截取．则为等边三角形． 勤学小组进行了证明： 由作法可知：．是等边三角 形．． ∵AP平分． ，∴垂直平分．．（依据1） 是等边三角形．（依据2） 雄鹰小组展示了他们的作法： 如图，在l上取两点D，E，作等边，连接；分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧，交点为点G；连接，，交直线l于点B；以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点C，连接．则为等边三角形． 雄鹰小组进行了证明： 如图，由作法可知， 连接，…… 任务： （1）填空：请补充上面证明过程中的“依据1”“依据2”；依据1：__________；依据2：__________； （2）请将雄鹰小组的证明过程补充完整； 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，有一个角为的等腰三角形是等边三角形 （2） 由作法可知，， 四边形是平行四边形． ，即． ． 由作法可知， 是等腰三角形． 是等边三角形； 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定和性质，垂直平分线的定义和性质、等边三角形的判定进行证明即可； （2）证明四边形AFDG是平行四边形．得到．再证明是等腰三角形即可完成证明； 【小问1详解】 解：由作法可知：． 是等边三角形． ． 平分， ． ， ． ，， 垂直平分． ．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 是等边三角形．（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． 【小问2详解】 略． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在四边形ABCD中，，，点E是边BC上一点，且，连接AE，将四边形ABCD沿直线AE折叠，点B落在点F处，延长EF交AD于点G． 数学思考： （1）猜想AG与EG的数量关系，并说明理由． 初步探究： （2）勤思小组在图1的基础上，将绕点A逆时针旋转得到点F，G的对应点分别是，，连接． ①如图2，若点恰好落在边AD边上，连接并延长，交于点H，求证：； ②在旋转的过程中，当直线经过点D时，请直接写出线段的值． 【答案】（1） ， 理由如下： 由折叠可知 ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2） ①证明：四边形是矩形， ， 由折叠可知 ， 由旋转可知， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，由矩形的性质可知，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可得； （2）①由旋转的性质可知，，，根据三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证，根据等角的余角相等，可证，根据等角对等边可证，等量代换可证结论成立； ②过点作，利用旋转的性质和勾股定理可以求出的长度，再根据和的位置关系，分情况求出的长度． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 ①略； ②解：如下图所示，过点作， 四边形是矩形， ，， ， ， 设， ， ， ， 整理可得：， 解得：， ， 由折叠可知，，， ，， ， ； 如下图所示， ，，， ， ， ； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学 2025—2026学年第二学期期中质量监测（卷） 八年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设“”“”“”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 4. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角小于或等于 D. 每一个内角都小于 5. 某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 7. 将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高线上 C. 边的中线上 D. 边的垂直平分线上 8. 已知（_______），则横线上应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将边绕点A逆时针旋转得，交于点D，点M是边上一点，且，则的长度为（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 12. 如图，在中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，，，则的周长为_______cm． 13. 如图，在平面直角坐标系中放置一块直角三角尺，且，顶点的坐标为，现将三角尺向左平移，使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为________． 14. 王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 解不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示． 17. 分解因式 （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）将平移得到对应的，点A的对应点的坐标是，请画出平移后的，若点是内一点，则点P平移后的对应点的坐标是___________． （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的． （3）观察图形可知，与关于点__________中心对称． 19. 如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 20. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 （3）根据图2：若，则的值=_____． 21. 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解山西文化，某山西省实验中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆x瓶（）． （1）若该客户按方案一购买，需付款元与x的函数关系式是_________；若该客户按方案二购买，需付款元与x的函数关系式是__________． （2）选择哪种方案更优惠？ 22. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规作符合要求的等边三角形 数学课上，老师出示了下面一个问题： 如图1，已知点A是直线l外一点，用直尺和圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形． 同学们围绕这个问题展开讨论． 勤学小组展示了他们的作法：如图，过点A作于点H，再分别以点A，H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，作的平分线交直线l于点B，在l上截取．则为等边三角形． 勤学小组进行了证明： 由作法可知：．是等边三角 形．． ∵AP平分． ，∴垂直平分．．（依据1） 是等边三角形．（依据2） 雄鹰小组展示了他们的作法： 如图，在l上取两点D，E，作等边，连接；分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧，交点为点G；连接，，交直线l于点B；以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点C，连接．则为等边三角形． 雄鹰小组进行了证明： 如图，由作法可知， 连接，…… 任务： （1）填空：请补充上面证明过程中的“依据1”“依据2”；依据1：__________；依据2：__________； （2）请将雄鹰小组的证明过程补充完整； 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在四边形ABCD中，，，点E是边BC上一点，且，连接AE，将四边形ABCD沿直线AE折叠，点B落在点F处，延长EF交AD于点G． 数学思考： （1）猜想AG与EG的数量关系，并说明理由． 初步探究： （2）勤思小组在图1的基础上，将绕点A逆时针旋转得到点F，G的对应点分别是，，连接． ①如图2，若点恰好落在边AD边上，连接并延长，交于点H，求证：； ②在旋转的过程中，当直线经过点D时，请直接写出线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $