河南周口市商水县第一高中2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

商水一高2025-2026学年高二下期期中考试心1 数学试题 好的(1)门微阳永，乙一并 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）单内y其古（八( 1.天计算C号+2A的值是（其）示。1克零个特.)\=以货且，2>>香( A.41 B.61 C.62 D.82贩通 2.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的 两个随机变量的样本相关系数分别为5=0.68,5=0.96,5=0.94，：=0.87，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.若8名党员中有3名优秀党员，从这8名党员中选出4名党员做报告总结，记选出的党员 中优秀党员的人数为Y,则P(Y=2)=() A.方 c D. 2-5 4.设随机变量X~N(2,o2),且P(X<0)=0.2,则P(2<X<4)=() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 5. 已知直线：(a-2)x+3ay=0,l2:(4-2a)x+(a+2)y+2=0,则“a=2”是“l∥1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图，圆锥PO的底面圆周上有A,B,C三点，AB为底面圆O的直径，点C是底面直径AB 所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若AB=PO=2,则直线 CD和平面PBC所成角的正弦值为() 强米直 ,“烈的国 1 B. 比备更 代 D ,回时婆3应州以 出》州游周秘言出 C. V65 D. 2W2 国 9 3 7.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康 领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著 提升了科研效率.假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M' 事件B是“AI模型筛选出候选分子N'.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(B|A=0.2,则 P(AB)=() 13 9 3 33 A. B. D. 20 10 C.4 40 8.已知函数/)=f0e-f0x+,若f)2号+a-lx+b恒成立.则b的最大 值为() A.1 B C.2 D.E 高二数学试题 第1页共4页 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）女恩小2题本：答雅，四 9.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有A,B,C,D,E,F,G共7 个节目，则下列结论正确的是() 味风阳民进庆 A.若节目A与节目B相邻，则共有1440种不同的安排方法 B.若节目E与节目F不相邻，则共有3600种不同的安排方法公血}枣( C.若节目C在节目D之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D.若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336 种不同的安排方法 10.已知点R、5分别为双曲线C:亡-上=1的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则 94 下列说法正确的是() A双曲线C与双曲线号号-1有相同的渐近线 B.若PE=2PF,则△PFE的周长为18+2W13 C.若PE⊥PF,则△PFF的面积为4 D.若M为圆E:(x+√13)2+y2=1上一点，则|PM-PF的最大值为85（代21）ò 11.已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球方案 一：有放回地摸球，记取得红球个数为X:方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y.下 列说法中，正确的有() 拉职在的中大H拥来( A.P(X=k)=C ，k=0,12,3 B.E(X)=E(Y)） C.P(X=k)<P(Y=k),其中k=0,1,2,3 D.D(X)>D(Y) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 (021)下 4031 0.3d 工侧林低写 若Y=2X+1,则E(Y)= 书大的圆( 13.若直线√5x-y=0被圆x2+y+4my+2m=0(m∈R)截得的弦长为2，则mFC 14.如图，我们在第一行填写整数0到n(n≥1)，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在 Pasoal三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是 0123…n-1n 135.2n-1 48… 高二数学试题：的 第2页共4页 四、解答题：本题5小题，共77分.1共)心辩普什共然本尊其煎3 ￥好中子艺可的风半 15.(13分) 已知数列{a,}前n项和为Sn,且S。=n2, 海州日 (1)求{an}的通项公式： 爸单，布：许出的水用下可口百已3日各A 2没6，，之，求数列色，}的前m项和工。)节 付1的议d 率路安的个国 ,油心惊月，月庆当0 (圣的雨山师 的诗=子巴路曲x心指项 v0.为9A19a91门9-闪9 +4@.9.9末) 16.(15分)已知3x2+1 的二项展开式有7项.=】3洋国 :生个个？下为苏个一除妇1 (1)求n,并求出所有二项式系数之和： :A-灶5，数国所计 (2)求展开式中含x项的系数： 部，去 (3)求展开式中的有理项 (:共，化丽每，四水本)零空地 》第X令民与C 17.(15分) 图知椭圆。+16≥b>0的焦距为2B,其左顶点为A,上顶点为B,且4川=V小 妇3批，1天= (1)求椭圆的方程： (2)直线I:y=x+m与椭圆相交于M,N两点，O为坐标原点.求△MON的面积的最大 值，并求此时直线1的方程， 性送容已第珍江世 绳太于.计限‘米科食2 c 高二数学试题 第3页共4页 18(17分)腹联1高S-25福本商 已知函数f(x)=x2-mx+2nx(meR) )若m=5,求函数f()的极值点： (2)若f(x)在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；“本)科煎单 (3)若4<m<5,且设g(x)=f'(x),g(x)有两个零点x,2,其中x<x2,求f(x)-f(x2)】 的取值范围 货深关国生均尿变财限个酒 体县通个两园 r ，《武在人说款中 02 19.(17分) 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱.某学校高三年级将要 举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局 甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同， 每局的结果相互独立 (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率： (2)求第n局为乙、丙对打的概率： (3)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习 局数为X,求X的分布列与期望 高二数学试题 第4页，共4页 商水县一高2025-2026学年下学期高二年级期中考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B A B A B ABC ABC 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可. 【详解】C+2A= 7×6 +2×5×4=21+40=61. 2×1 故选：B. 2.B 【详解】因为=0.96>>>， 所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 3.C 【分析】根据组合数的意义及古典概型的概率公式直接计算. 【详解】从8名党员中选出4名党员做报告总结，共有C种情况， 其中满足选出的党员中有2名优秀党员的共有CC种情况， 所以P(Y=2)= C.C3 故选：C 4.B 【分析】利用正态分布的对称性直接求解即可. 【详解】易知正态分布X~N(2,o2)关于u=2对称，因此P(X<2)=0.5, 又P(X<0)=0.2,所以P(0<X<2)=P(X<2)-P(X<0)=0.3, 所以P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.3. 5.A 【分析】先验证充分性，即代入α=2判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平行的系数关系求出所有 满足ll2的a值，验证a=2是否为唯一解，从而判断条件关系. 【详解】当a=2时，直线1：6y=0,即y=0;直线l2:4y+2=0, 即y=分两直线斜率均为0且不重合，教46。 若1l2,则(a-2)(a+2)-3a(4-2a)=0,展开得a2-4-12a+6a2=0, 整理得7a-12a-4=0,解得a=2或a=-2 7 当a=号时，6：99=0即-=0：6 .32.12 y+2=0, x+ 7 即8x+3y+20,两直线平行且不重合，满足条件. 因此，a=2可推出‖42，但1川l2不能仅推出a=2, 故“a=2"是“ll2"的充分不必要条件. 6.B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】点C是底面直径AB所对弧的中点，所以OC⊥AB,建立空间直角坐标系如图所示： D 则oo.00.PQ.o,2,40.-10.BaL0,cLa0,n0-月 可得历=01-2，元=10-2引，灭-(1分小 设平面PBC的法向量为i=(x,y,),则 PB.ii=y-2z=0 PC.i=x-2z=0 令z=1,则x=y=2,可得i=(2,2,1), 设直线CD和平面PBC所成角为O, 可得血0=ko(Dc.外 2+1-14 7.A 【分析】根据对立事件的概率关系求出P(A),由条件概率公式求得P(AB),根据全概率公式求得P(AB),再由条 6 件概率公式求得P(AB): 【详解】因为P(A4)=0.3,所以P(A=1-0.3=0.7. 所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.2=0.14」 由P(B)=P(AB)+PAB),得P(AB)=P(B)-P(AB)=0.4-0.14=0.26. 所以PAB)=PMB）_Q.262613 P(B)0.44020 8.B 【分析】求导并利用赋值法求出函数f(x),再等价变形给定不等式并构造函数，按a<0,a=0,a>0分类，利用导 数求出最小值，进而求得ab≤a1-lna),然后构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】函数f)=fe-0x+号的定义域为R,求导得f()=f@)e-f0+x, 则了0-f0e-j@+1,解得fo-1,于是f=f@e-x+号， 又0=f0e,则f0=e,)=e-x+5, 2 不等式o)+a+0ee-+ab台e2b, 令g(x)=e-m,依题意，b≤g(x)恒成立，g(x)=e-a 当a<0时，g'(x)>0,函数g(x)在R上单调递增， 而x→-时，g(x)→-0，b≤g(x)不恒成立： 当a=0时，8(x)=e>0恒成立，则b≤0，ab=0; 当a>0时，由g'()<0,得x<na;由g'(x)>0,得x>lna, 函数g(x)在(-n,lna)上单调递减，在(a,+o)上单调递增，g(x)mm=g(na=a-alha, 因此b≤a-alna,ab≤a2(1-ha),令函数h(a=a1-lna), 求导得i(a=a1-2ha,当0<a<Ve时，(a)>0;当x>Ve时，h'(a)<0, 函数M@在@V同上单调递增，在VE+o)上单调遥减，M@=h-号 因此ab的最大值是，此时a=VC.b=Vc-cnc_ 21 而氵0，故ab的最大值是号 2 9.ABC 【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性. 【详解】若节目A与节目B相邻，共有AA。=1440种不同的安排方法，故A正确： 若节目E与节目F不相邻，共有AA:=3600种不同的安排方法，故B正确： 因为节目C在节目D之前表演与节目D在节目C之前表演的情况是一样的， 所以共有A=2520种不同的安排方法，故C正确： 添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况， 共有8×9×10=720种不同的安排方法，故D错误. 故选：ABC. 10.ABC 【分析】求出两条双曲线的渐近线后可判断A的正误，根据双曲线的定义可求△P耳F的周长，从而可判断B的正误， 根据余弦定理和双曲线定义可求焦点三角形的面积，从而可判断C的正误，根据双曲线的定义结合圆的性质可求 PM-PF的最大值，从而可判断D的正误 【详解】对于A选项，双曲线C:y =1,a=3,b=2, 94 故渐近线方程为y=士2x,即y=±子x,双曲线二共=1，a=2,b=3, b ,2 a 3 49 故渐近线方程)=，即y=士子，放A正确 2 对于B选项，由题意可得c=√a2+b=√3，F=213, 由双曲线的定义可得P-Pr=2a=6, 因为P=12,PF=6,故△P耳E2的周长为18+213，故B正确： 对于C选项，点P为C右支上一动点，设PF=t, 则P=6+t,R=213, 因为P耳⊥PE,所以(t+6)2+=52,解得t=√17-3（负值舍去）， 所以aPRR的面积为时PgPg6+加=+3厅-)=4，故c正确： 对于D选项，圆E:(x+√3)2+y2=1的圆心E的坐标为-V13,0),半径为1， 易知E(-V13,0)为双曲线的左焦点F,故PE-PP=P-PF=6, 则PM-PF=PM-PE+6≤PE+1-PE+6=7, 当M为线段PE的延长线与圆(x+V13)2+y2=1的交点时等号成立， 8 所以PM-PE的最大值为7，故D错误. 11.ABD 【分析】分别分析方案一、二，根据服从二项分布、超几何分布的概率公式、期望、方差公式计算，逐项分析得解. 选项A,方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为P=3接 则取得红球个数X~B爱，Px-)-C 5 3- 88 k=0,1,2,3,选项A正确； 选项c,方案一中P(x=)=C ,k=0,1,2,3, 防溪中，不放回地拨球，取得球个数眼起超儿阿分布，则P心=肉SCS,女=0,123.当k= ∴.P(X=0)= PY=0)三C29-,P(X=0>PY=0),故选项C错误： 选项，由二项分布及超儿有分布的随公式心0=3名名0)-兴-答台微选项B正确， 00-3g0--祭m-兴0}器 5 得D(X)>D(),故选项D正确. 故选：ABD 12.5 【分析】利用期望公式求解即可. 【详解】由题可得：=0.4，E(X)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2, 所以E()=E(2X+1)=2E(X)+1=2x2+1=5, 故答案为：5 13号或1政号 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距 离，最后根据勾股定理列方程求解并检验. 9 【详解】圆x2+y2+4y+2=0(∈R)即x2+(y+2)2=4m2-2, 则该圆的圆心为C(0,-2m),半径r=√42-2(4m2-2>0）: 设弦心距为CB,如图， B 则圆心C(0-2m到直线V5x-y=0的距离c= 2叫一=叫， 3+1 因为弦长为2，所以4子1， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB+CB=AC,即12+m2=4m2-2m, 1 解得m=-或m=1. 2 当时-(}- 3 >0，符合题意： 当m=1时，42-2=4×12-2×1=2>0，符合题意。 综上，m=-或m=1. 3 14.2-2-1 【分析】将数阵倒置，记第m行第k(1≤k≤m≤n+l)个数为T,由此可得出所求的数为T,且有性质T=T+T 并且T=k-1,通过T=T+T结合规律T=T1+T1逐项推导得出=CT+CT++CT,利用组合数 公式以及二项式定理可得出结果 【详解】将数阵倒置，计第m行第k(1≤k≤m≤n+l)个数为T,则倒置后的数阵为： T TT TTT … Tti TT Tt 则有T=T+T州，且有T=k-1. 10 T=T+T2=COT+CT2, T=T+T=(T+T+(T+T)=CT:+CT+C2T, T=T:+2T+T3=(T+T)+2(T+T)+(T+T)=CT+CT+C2T+CT. 依此类推T=CT+CT1++CT-∑Ck, =0 .kCt=k. n! n! (n-1)4 )(-1)t()(-1)() CH 因此，T=∑Ck=n2C=n:(+1)=n:2. 故答案为n.2-1. 【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键在于找出一般规律并借助二项式定理进行计算，考查逻辑推理能力与计算 能力，属于难题 15.(1)a=2n-1 2n (2) 2n+1 【详解】(1)因为S,=n,所以当n≥2时，S1=(n-1), 两式作差得a.=S.-Sn-1=2n-1, 又a=S1=1符合上式，故{an}的通项公式为a.=21-1. (2)由(1)知，6= 2 11 aa+1(2-1)(2n+1)2n-12n+1' 则=日G引 上，12n 2n+12n+1 16.(1)=6;64 (2)1215 (3)T=729x2,T3=1215x7,T=135x2,T,=x3 【分析】(1)由二项展开式有7项，可得n=6,所有二项式系数之和为2=64： (2)先求出二项展开式的通项为1，C3gx“兰，再令12-头7，解得太=2，代入通项计算即可： 2 (3)分析得出要得到有理项，必须让12-为整数，从而得到k=0,24,6,再代入通项计算即可. 2 【详解】①因为0+》 的二项展开式有7项，所以n=6, 所以所有二项式系数之和为2=64； 11 2)由(1)知n=6,所以3x+1 的二项展开式的通项为 =cc3, 令12兰=7，解得k=2 所以展开式中含x7项的系数为C·34=1215: 因+ 6 的二项展开式的通项为TC3x”皆， 因为0≤k≤6，且keN,所以能使12-5亚为整数的k=0,246, 2 所以展开式中的有理项分别为 T=C83.x2=729x2,T3=C234x7=1215x7, T=C432.x2=135x2,T,=C3°.x3=x3 17.1)S+2=1 4 2)最大值为1，直线方程为y=x士0 2 【分析】(1)利用焦距及顶项点定义计算即可得； (2)联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公式与弦长公式表示出面积后 计算即可得. 2c=2W3 a2=4 【详解】(1)由题意可得{a2+b2=5,解得{b2=1 a2=b2+c2 c2=3 散椭圆的方程为+y护=1日 (2)设M(,)、N(,y2), 联立4+y=1,消去y可得5x+8心+4r-4=0, y=x+m △=64m2-20(4m2-4)=16(5-m2）>0,即m2<5, 4 5 点O到直线l:y=x+n距离d=- 岛9 12 则古aa分9小正6广 2 81m 4x4-4小5-m-子r+5m 5 当且仅当2= 即m=±时，等号成立， 2 故△MON的面积的最大值为1，此时直线的方程为y=x士而 2 y B 18.a极大值点为x=分极小值点为x=2 (2)(-∞，4] )5-h2 【分析】(1)对函数进行求导，分析函数单调性即可得到极值点： (2)由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为m≤2x+2在(0，+)上恒成立，利用基本不等式求得2x+ 2 1 的最小值即可得解： (3)结合函数零点的概念和韦达定理得到两个根的关系，将∫(：)-∫(x,)表示为关于，的函数，令 )3+4,利用导数求得函数的值域即可得解 【详解】(1)当m=5时，f(x)=x2-5x+2lnx,定义域为(0，+o), f)=2x-5+2.22-5x+22-19-26>0）, f田=0，得2=2， 当x<2时，f(<0,fy在2上单调递减： 当0<<或>2时，f)>0,f()在0和(2+0)上单调递增 因此，极大值点为x分极小值点为x-2。 13 (2)函数f(x)=x2-x+2hx的定义域为(0，+o). 对f(9求导得(y)=2-m+2 因为f(x)在其定义域内单调递增，所以∫'(x)≥0在(0，+o)上恒成立， 即2x-m+2≥0在(0，+)上恒成立 移项可得m≤2x+2在(0，+)上恒成立. 根据基本不等式a+b≥2Wab(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)， 对于2x+2,其中a=2x,b=2,则2x42≥22x2=4, x x 当且仅当2x=2,即x=1时等号成立. 所以m≤4，即实数m的取值范围是(-o,4]. (3)由(2)知f)=2-m+2,因为fm)有两个零点x,5, 所以x,x2是方程2x2-x+2=0的两个不相等的正实数根. 根据韦达定理，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)， 两根，西有5十5=6， a 5C a 则在方程2x2-x+2=0中，名，+3，= 2,51 s为06：所以01e,且现=2(+)=5》 已如4长mc5,即4可3+5，解不香式45》 两边同时除以2，得2<+二，移项得x-2x+1>0,即(x-1)>0, 因为0<x,<1,所以该不等式恒成立. 1 解不等式2x1+ <5，两边同时乘以x(x>0)得2x2-5.x+2<0, 因式分解得(2--2小0，解得}<2，结合0<<山，可得分￥<1， f(x)-f(x2)=(x-x+2hx)-(x2-x2+2nx2) =(x-x)-m(x-x2)+2(lnx-nx2) 14 =(-x)2+x)-x2+2血 =(g-x2)+2n当 r+4n 设刻是+4恤，<1， =是红2刊.0所以0在上两戏 x3 x3 则a))4分40+41=0， 4 所以0<n)<5-4n2,即f(5)-f(飞)的取值范围是0,5-4h2】 4 4 19.116 时 3)分布列见解析， 2767 256 【分析】(1)前五局中甲恰好参与了四局的情况列出来求解即可： （2)第以局有甲参与的假率为卫，列=+1-P),通过配淡山2一号是等比数列，代入公式求解即可： (3)写出X的取值并求出它所对应的概率，再列表格代入期望公式即可. 【详解】(1)记“前五局中甲恰好参与了四局”为事件A,记某选手获胜为“”，失利为“×”，轮空为“○，则前四局 甲有以下四类情况为恰好参与了四局： ①×○W√，第五局一定参与，概率为 71)3 21=8 ②V×○，第五局一定参与，概率为 2 ③√√x○，第五局一定参与，概率为 1 ×1= 8 ④√√√×，第五局一定轮空，概率为 15 放所求概率为0=日3+6石 2,17 (2)记第n局有甲参与的概率为P,则第n+1局有甲参与的概率为1， 若第必局有甲参与，则第0+1局有甲参与的概率为兮2： 若第加局没有甲参与，则第+1局一定有甲参与，所以2+1-P）, 即P子引 因为=1，所以月-含分所以2引是以为首项号为公比份等比数列， 所以号，即-（》+号 所以瑞2、两对打。即没有印参与蜜为-}式厂 (3)依题意，记X为总共练习局数，则X可取6,7,8,9,10,11,12， 因为除第一局之外，任何选手轮空之前必为失利，获胜之后必不轮空，即“×○”在一名选手对局结果中会相邻出现 (除第一局为“○”和最后一局为“×”之外)， 则丙不会在第6,8,10局结束之后刚好胜满6局（因为丙第一局为“○”，最后一局需要丙自己获胜，则前面的对 局过程必会有数对的相邻“×○”)， 同理甲、乙不会在第7,9,11局结束之后刚好胜满6局，且前11局至多只会有1人胜满6局. 故X=6,8,10时是以甲或乙获胜结束（甲、乙情况相同）， 多（最后一局甲陆，前7局甲有连续两局为○，且0当局概 率为1，其余均为V"), 同理Px=10)=2×C X=7,9,11时是以丙获胜结束， 所以P(X=12）)=1-∑P(K=)=1-3 37145 256256’ 故X的分布列如下： i=6 6 9 10 11 12 1 3 21 21 145 32 64 32 64 128 256 256 期望为(X)=6× 30+7x+8x3+9x3410x2+i18 1 2112×145-2767 64 32 64 128 256 256256 16