函数的单调性 课件-2027届高三数学一轮复习

函数的单调性 课 前 基 础 巩 固 1.单调函数#1 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 ， 当 时，都有__________ _____，那么就称函数 在区 间 上单调递增.特别地，当函 数 在它的定义域上单调递 增时，我们就称它是增函数 当 时，都有__________ _____，那么就称函数 在区 间 上单调递减.特别地，当函 数 在它的定义域上单调递 减时，我们就称它是减函数 课 前 基 础 巩 固 2 增函数 减函数 图 象 描 述 ________________________________________ 自左向右看图象是________ __________________________________________ 自左向右看图象是________ 上升的 下降的 续表 课 前 基 础 巩 固 3 2.单调区间 如果函数在区间 上单调递增或单调递减,那么就说函数 在这一区间具有（严格的）________,区间叫作 的 ___________. 单调性 单调区间 课 前 基 础 巩 固 4 3.函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足 条件 ，都有__________； ，使得___________ ，都有__________； ，使得___________ 结论 为最大值 为最小值 几何 意义 图象上最高点的 ________ 图象上最低点的 ________ 纵坐标 纵坐标 课 前 基 础 巩 固 5 常用结论 1.函数单调性的常用结论： （1）若，均在区间上单调递增（减），则 也 在区间 上单调递增（减）. （2）若，则与的单调性相同；若，则 与 的单调性相反. （3）若在区间上单调递增（减），且，则 在 区间 上单调递减（增）； （4）复合函数单调性的判断方法：“同增异减”. 课 前 基 础 巩 固 6 2.单调性定义的等价形式：设，， . （1）若有或，则 在 区间 上单调递增； （2）若有或，则 在 区间 上单调递减. 课 前 基 础 巩 固 7 3.函数最值存在的两个结论 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间 上单调时，最值一定在端点处取到； （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值. （3）函数存在唯一的极值点就是它的唯一的最值点. 课 前 基 础 巩 固 8 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的单调递增区间 是______，单调递减区间是_______. [解析] 由函数的图象可得 的单 调递增区间是，单调递减区间是 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］设函数满足对任意的, ，都有 ，比较大小：___.（填“ ”或“ ”） [解析] 因为对任意的，，都有 ， 所以函数在上单调递增，又 ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］函数在 上单调递增，则实 数 的取值范围是________. [解析] 函数的单调递增区间是， 当 在上单调递增时，，所以, 故实数 的取值范围是 . 课 前 基 础 巩 固 11 4.［教材改编］已知函数，则函数 的最大 值为___，最小值为__. 2 [解析] 函数在上单调递减，所以在 处取到 最大值2，在处取到最小值 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：求单调区间时忘记定义域致误;讨论分段函数的单调性时 忘记整体考虑致误;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念致误. 5.函数 的单调递增区间为________. [解析] 由得或， 故 的定义域为. 由函数在 上单调递减，在上单调递增， 结合复合函数的单调性得 的单调递增区间为 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.已知函数是定义在上的减函数，则实数 的取值范围为_ ________. [解析] 由题知解得，即实数 的取值 范围为 . 课 前 基 础 巩 固 14 7.（1）若函数在区间 上单调递减， 则实数 的取值范围是__________. [解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，由题意得 ，解得，故实数的取值范围是 . （2）若函数的单调递减区间为 ，则 的值为____. [解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，由题意得 ，解得 . 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 确定函数的单调性 角度1 函数单调性的判断 例1 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］通过图象法、函数单调性的性质、复合函数的单调性 以及导数等判断函数的单调性. √ √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 对于A，画出函数 的图象，如 图所示，易知函数 在其定义域内不 是增函数，故A错误； 对于B，因为函数 是上的增函数，是 上的减函数，所以 是上的增函数，故B正确； 对于C，函数 在其定义域上是减函数，而 在其 定义域上为增函数，所以函数在定义域 上 为减函数，故C错误； 对于D，的定义域为，在 上恒成立， 故是上的增函数，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 17 角度2 利用定义证明函数的单调性 例2 讨论函数在 上的单调性. ［思路点拨］思路一：利用定义证明函数的单调性即可； 思路二：利用导数判断. 解：方法一：任取,,且 ,易知 , 则 , 又,,,故当时, , 即,所以函数在 上单调递减; 课 堂 考 点 探 究 18 当时,,即,所以函数 在 上单调递增. 方法二：因为，所以当时，在 上 恒成立，所以函数在上单调递减， 当时， 在上恒成立， 所以函数在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符 号、得出结论. 2.函数单调性的判断方法：（1）定义法;（2）图象法；（3）直接利 用已知函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增 增”为 增,“增-减”为增,“减 减”为减,“减-增”为减；（4）导数法；（5）利 用“同增异减”的规则判断复合函数 的单调性. 课 堂 考 点 探 究 20 探究点二 求函数的单调区间 例3（1）函数 的单调递减区间是( ) A. B.和 C. D.和 ［思路点拨］作出函数 的图象,根据图象即可得解； √ [解析] 函数 作 出函数 的图象如图所示，由图可知，函数 的单调递减区间为和 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 21 （2）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］对函数求导,利用导数的符号确定函数的单调区间. [解析] 由题得,令,解得, 当 时, ,当时,, 故在 上单调递减,在上单调递增, 所以的单调递减区间是 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] （1）求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图 象法. （2）单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单 调区间应分开写,不能用并集符号“ ”连接. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题（1）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. [解析] 由，解得或 ，所以函数 的定义域为. 令 ，则函数在上单调递减， 在 上单调递增，而函数在 上为增函数， 故由复合函数的单调性可得的单调递减区间为 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 24 （2）函数 的单调递减区间为_______. [解析] 由 , 得, 令,得 ,所以函数的 单调递减区间为 . 课 堂 考 点 探 究 25 （3）已知函数,则函数 的 单调递减区间是______. [解析] 由题意知 作出 函数的图象，如图所示.由图可知, 的单调递减 区间是 . 课 堂 考 点 探 究 26 探究点三 由单调性求参数的取值范围 例4（1）已知函数在区间 上单调递减，则实 数 的取值范围是_______. ［思路点拨］利用换元法和复合函数的单调性进行判断，由内层函 数单调递减并且在区间 上大于零恒成立联立求解即可； [解析] 令，则，因为函数 在区 间上单调递减，且 在定义域内单调递增，所以 解得 . 课 堂 考 点 探 究 27 （2）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知函数在 上单调递增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据分段函数在 上的单调性求解即可. [解析] 因为在上单调递增，所以,且 , 解得 ,故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] 利用函数的单调性求参数的取值范围（或值）的注意点:（1）视参 数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与 已知单调区间比较求参数;（2）若分段函数是单调函数,则不仅要保 证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的. 课 堂 考 点 探 究 29 变式题（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]设函数在区间 单 调递减，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为在 上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得 在上单调递减,故,解得 , 故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 30 （2）已知函数满足对任意实数, ，且 ，都有成立，则 的取值范围是______. [解析] 因为函数满足对任意实数,，且 ，都有 成立，所以函数在上单调递减，则 解得，所以的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 31 探究点四 函数单调性的应用 微点1 比较大小 例5 [2025· 襄阳三模]函数, , ,，则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小. √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 易知函数的定义域为 ，可得 ， 所以函数在上单调递减. 又 ，所以， 即 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 33 [总结反思] 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用 其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题 能用数形结合的尽量用图象法求解. 课 堂 考 点 探 究 34 微点2 解不等式 例6（1）已知函数 则不等式 的解集是___________________. ［思路点拨］先判断函数 的单调性，再根据单调性解不等式即可. 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 由函数可得当时， 单调递 增，当时，单调递增，且 ，故函 数在上单调递增， 故不等式 等价于， 即，解得或 ， 故原不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 36 （2）定义在上的减函数满足：对任意， ， 总有，则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用已知等式结合赋值法可得 ，再利用函数 的单调性求解. √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 在中，令 ， 得，可得， 所以 即为. 因为函数是定义在 上的减函数，所 以解得 ，故选D. 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 利用函数单调性解不等式的具体步骤:（1）将不等式转化成 或的形式;（2）确定函数 的单调性; （3）根据函数的单调性去掉符号“”,转化为形如“ ”或“ ”的常规不等式,从而得解. 课 堂 考 点 探 究 39 应用演练 1.已知函数，则关于的不等式 的解集 为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知，故在 上单调递增. 由，得，解得 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 40 2.[2025·大连一模]若是定义在上的增函数，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 因为是定义在上的增函数，所以若 ，则 ，即充分性成立； 若，假设存在 满足，则， 这与 相矛盾，所以假设不成立，所以 ， 即必要性成立. 综上所述，“”是“ ”的充要条件.故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 41 3.若 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 构造函数，易知为 上的增函数. 由得， , ,， ，故A正确，B错误. 与1的大小关系不确定， 的符号不确定， 故C,D均错误.故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 42 4.[2025·山东烟台三模] 已知函数，若 ，则 实数 的取值范围是______. [解析] 的定义域为，因为和 在上均单调递增，所以在 上单调递增， 又，所以等价于 ， 可得，解得 . 课 堂 考 点 探 究 43 例1 ［配例1使用］（多选题）已知，都是定义在 上的增 函数，则( ) A.函数 一定是增函数 B.函数 有可能是减函数 C.函数 一定是增函数 D.函数 有可能是减函数 √ √ √ 【备选理由】例1考查利用已知函数的单调性直接判断组合函数的单 调性; 教 师 备 用 习 题 44 [解析] 对于A，令，设 ，则 ，因为,都是定义在 上的增函数，所以 ，，所以 ， 故函数 一定是增函数，故A正确； 对于B，当, 时，函数 为减函数， 故B正确； 对于C，当,时，函数 在上单调递减，故C错误； 对于D，当, 时，函数为减函数， 故D正确.故选 . 教 师 备 用 习 题 45 例2 ［补充使用］[2025·山东威海模拟]已知函数 的值域为，则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】例2是已知分段函数的值域求参问题，涉及分类讨论思想; 教 师 备 用 习 题 46 [解析] 当时，易知，当 时， 设在上的取值范围为 ，由题意可得 . 当时，，即 ，不符合题意； 当时，可得解得 . 综上可得，的取值范围为 .故选C. 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例6使用］[2025·广东广州执信中学4月月考] 已知函数 ， 恒 成立，则 的取值范围是______. [解析] 因为，所以，显然. 当 , 时， 恒成立，所以要使， 恒成立，只需在 上恒成立， 【备选理由】例3以分段函数为载体,考查利用函数的单调性解不等式问题; 教 师 备 用 习 题 48 函数在上单调递减， 根据 与的图象一定存在交点可知存在零点 ， 所以当时，，当时， ， 不合题意，舍去. 当，时，设直线为 图象的一条切线， 切点为，则，所以 ， 那么，. ①当，时， 存在两个零点，令 ，那么， 教 师 备 用 习 题 所以当时， ，单调递减， 当时，， 单调递增， 故，当 时， ，此时无法满足题意，舍去； ②当,时，，，所以 ； ③当,时，恒成立，要使得 恒成立， 只需恒成立，由①得，所以，即 . 综上，的取值范围是 . 教 师 备 用 习 题 例4 ［补充使用］已知函数 ，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 由 ，得， 由 解得或 画出, 的图象如图所示， 由图可知，不等式的解集是 .故选A. √ 【备选理由】例4考查利用函数图象解不等式. 教 师 备 用 习 题 51 $