精品解析：河南鹤壁市淇滨区湘江中学2025-2026学年八年级下学期期中数学练习题

2025—2026学年八下数学练习题 一． 选择题（共10小题，共30分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 2. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的9倍 B. 缩小9倍 C. 是原来的 D. 不变 4. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则的周长是（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 8. 已知反比例函数与的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点．若点A是x轴上的任意一点，连接．则等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图①，在矩形中，点N为的中点，点M以的速度沿从点A运动到点B，设A、M两点间的距离为，点M运动时y随x变化的关系图像如图②所示，则点M从点A运动到点B所需的时间为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 若分式的值为0，则的值为_____． 12. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 13. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 14. 如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 15. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，上有一点M，其横坐标为．y轴上有一动点Q，连接，，当点Q的坐标为________时，的周长最小，此时周长最小值为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 19. 我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的最高次数低于分母的最高次数，那么称这样的分式为真分式．例如：分式，是真分式．如果分子的最高次数不低于分母的最高次数，那么称这样的分式为假分式．例如：分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：；．请按照以上方法，解决下列问题． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 20. 2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 21. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 22. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． （1）求和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式． （2）直接写出时，x的取值范围． （3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八下数学练习题 一． 选择题（共10小题，共30分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式是解题的关键； 根据分母不等于0列式进行计算即可求解． 【详解】由题意可得: , 解得： 故选：D． 2. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的9倍 B. 缩小9倍 C. 是原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【详解】解：把原分式中的、都扩大到原来的9倍后的分式为， ∴现在的分式与原分式相比扩大到原来分式的9倍． 4. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可判断反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标可判断三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第二象限，点C在第四象限， ∴． 5. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每分钟进站旅客的人数是人，根据300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人． 根据题意，得， 故选：A． 6. 如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再由平行四边形对角线互相平分得，接着在中利用勾股定理求得，最后由即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中 ， ∴． 7. 如图，在中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则的周长是（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】证明，利用勾股定理求得的长，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：由作图得， ， ，，， ，， ， ， ， ， 如图，作于点， ， ， ，即， ， ， 的周长． 8. 已知反比例函数与的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点．若点A是x轴上的任意一点，连接．则等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设点，且，根据轴得，，进而可求得，，进而可求得，根据点在轴上，得底边上的高为，再利用三角形的面积公式即可求解，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设点，且， 轴， ， 令，则，即：， ， 令，则，即：， ， ， 点在轴上， 底边上的高为， ， 故选C． 9. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 10. 如图①，在矩形中，点N为的中点，点M以的速度沿从点A运动到点B，设A、M两点间的距离为，点M运动时y随x变化的关系图像如图②所示，则点M从点A运动到点B所需的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像的数据可得，，再代入消元解出，进而得到即可． 【详解】解：由图可知，当在点处时，， 即，则， 由图像可知：当点在点处时，， ，即， 把代入得， 整理得，解得或（舍去）， 点N为的中点， ， 则点M从点A运动到点B所需的时间为． 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 13. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 14. 如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，然后利用平行四边形对边平行的性质求出，从而求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 15. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，上有一点M，其横坐标为．y轴上有一动点Q，连接，，当点Q的坐标为________时，的周长最小，此时周长最小值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．令，得；令，得，可得点、的坐标，再根据点的横坐标为，得出点的坐标；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，因为A和M坐标知道，所以长度为定值，要求周长的最小值，实则是求的最小值，即的长． 【详解】解：对于， 令，得； 令，得， 解得：， ∴， ∵点的横坐标为，且为上有一点， ∴将，即， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图， 则， ∴, ∵, ∴， ∵点是固定点， ∴， ∴周长的最小值为, 又, ∴ ∴, ∴周长的最小值为； 设直线的解析式为， 把代入，得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2）无解 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂、算术平方根的意义进行计算，然后再加减； （2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，据此求出方程的解是多少即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程两边同时乘得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ． ∵， ∴原式． 18. 如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到、，结合对顶角相等，证明与全等，进而证得； （2）由平行四边形对边相等得，结合可知为直角三角形，用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形面积公式计算面积。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是直角三角形． 根据勾股定理，． ∴． 19. 我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的最高次数低于分母的最高次数，那么称这样的分式为真分式．例如：分式，是真分式．如果分子的最高次数不低于分母的最高次数，那么称这样的分式为假分式．例如：分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：；．请按照以上方法，解决下列问题． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】（1） （2）或0 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，将原式进行正确地变形是解题的关键． （1）将原式变形为，然后将其化简即可； （2）将原式变形为，将其化简后根据题意确定整数的值即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 分式的值为整数，且x为整数， ， 或0． 20. 2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】（1）小丽，小明 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：小丽的速度： 小明的速度：，， 【小问2详解】 解：（h），（h）， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， 【小问3详解】 解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ， 离山庄的路程为． 21. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 （2）购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． 【小问2详解】 解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 22. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． （1）求和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 【答案】（1）， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元 （2） （3）当健身6次时，选择方案一和方案二一样；当健身6次以上，选择方案一合算；当健身6次以下，选择方案二合算，理由： 由题意可知， ，， ∴， 解得 当健身6次时，选择方案一和方案二一样， 当健身6次以上，选择方案一合算， 当健身6次以下，选择方案二合算． 【解析】 【分析】（1）把点，代入，得到关于和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值； （3）根据的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再分情况讨论． 【小问1详解】 解：∵的图象过点，， ∴， 解得， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； 【小问2详解】 解：由题意可得，打折前的每次健身费用为（元）， ∴ ； 【小问3详解】 略 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式． （2）直接写出时，x的取值范围． （3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出，得到，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图象结合，即可解答； （3）先求出．设，根据，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入中，得， ∴， ∵A，B在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式； 【小问2详解】 解：由题意，观察函数图象可得，当时，x的取值范围是或； 【小问3详解】 解：存在． 对于，当时，；当时，， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $