广东佛山市顺德区郑裕彤中学等新质高中联盟学校2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学学科试卷

2025学年第二学期新质高中联盟高一年级期中联考试卷 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知角a的终边经过点P(-3,2),则sima=() A.23 B.-2V3 c.3v3 D. 3v13 13 13 13 13 2.己知向量a=(3,2),b=(-6,x),若a/16,则实数x=( A.-9 B.-4 C.4 D.9 3. 已知复数：=2-4i ,复数：的虚部为() 1+i A.-3i B.3i C.3 D.-3 4.己知平面向量a=(1,0),b=(2,2),则向量a在6上的投影向量为() A书 B.16 cs D.√25 4 5. 已知“为锐角，且sma= 3 ,则tan2a的值为() A.2√5 B.-22 C② D.、2 4 4 6.如图所示，△ABC中G为重心，P0过G点，F=mAB,AQ=nAC,则上+1() m n A.1 B.2 C.2 D.3 D 7.设△ABC的面积为S,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b2=a2+c2-ac,若AC,AB=2√5S,则此三 角形的形状为() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形 8已知ae（经)，且4osu-m么。 2av5,则u=( ) A.Sr B暗 C.2n 5 D. 18 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 已知向量a=(-1,2),6=(2,1),则() A.a-8=a+8 B.与向量云平行的一个单位向量为5，了) 52w5 C.若a+b与a+x5所成角为锐角，则x∈(-l,+∞) D.a+b与a的夹角为 4 10.下列各式中，计算结果为√的是() A.si15°+c0s150 B.sin40°+sin80° cosl5°-siml5° C0s20° C.cos85cos25-sin85sin250 D.tam25°+tam35°+V3tan25tam35° 业设两数)=m(+p0>00<p<孕，若)在区间？1上具有单调性，且/孕3=爱， 21 则() A.(x)的最小正周期为π B.fx)图象关于直线x=文对称 12 C.fx)图象关于点（巴，0）中心对称 6 D.存在u∈(0，)，使得fx+a)=f(+3四)成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数==(3-4i)1+i),则日= 13.已知单位向量云，6满足(+)6-2)=手，则+F一 14.如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A,B,C, 则ABAC的最大值与最小值的和为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知复数z1=am+2(a∈R),复数22在复平面内对应的向量为OA=(-1,2). (1)若2122为纯虚数，求a的值； (2)若21-22在复平面内对应的点在第四象限，求☑的取值范围. 16如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°，B,F分别为AC,BC上的点，且AE=AC,BF=BC (1)求a: (2)用向量方法证明：AF⊥BE; (3)若线段BE上一动点P满足2PB+PA+PC=0,试确定点P的位置. 1已知函数/（国=n2+》血2哥引2os-1,cR. (1)求函数f(x)的最小正周期： 回省侣引9康引 18已知函数)=2si血(o+0>0回k习，其图象相邻两条对称轴之间的距离为5，且经过点(0,1). (1)求函数f(x)的解析式： （②)当[阁方程-司=0有解，求实数m的取位范同： (3)若方程f()-a=0在区间0,7四 261 上恰有三个实数根x,x2,x,且x1<x2<x,,求sn(:+x2+x)的取值范围. l9.在△ABC中，角A,B,C对应边为a,b,c,满足sin(B-A)+√2sinA=sinC (1)求B的大小： (2)若b=4,若D在AC上，且BD⊥AC,求BD的最大值： (3)延长BC至点M,使得2C=0丽.若∠CM-求∠AC的大小 2025学年第二学期新质高中联盟高一年级期中联考参考答案 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】A 【详解】由题意有r=p川=3}+2=，所以si血w=上=2-2国 r1313 2.【答案】B 【详解】由乾设及后，则子可得x=4 3.【答案】D 【详解】：=2i-241-26+=2,6-1-1所以复数：的虚部为-3. 1+i(1+i01-i)1-i 2 4.【答案】B 【详1日。.5=28风=2，肉最在6上的投向量为骨高高石五 5.【答案】B 6.【答案】D 【解】设石8=5，根据题盒石-而-沿西+号片+， 因为AP=mAB,AQ=nAC,P,G,O三点共线，则存在，使得PO=PG, 即G-,即5-=A传+克-子m+5 -m=2-m 3 所以 ，整理得3mn=m+2,所以上+1=3. m n 7. 【答案】C 8. 【答案】A 【详解】a∈(（作）→2a∈(6，a+∈（倍） V3-4cosa coa2s-2sin( sina sina 所以2a=a+名2x或2aa+会t2kez, 印a名政是如e7自Fa(任引收g 18 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.【答案】ABD 【详解】对于A:a-b=(←3，)，a-=√-3)2+1=10，a+6=1,3),a+i=2+32=0 故|a-b曰a+b1,A正确； 对于B:1a上V-12+22=5, 与a平行的单位向量为±8=(5,25 al 。)或（√5，-25），选项给出的是其中一个，B正 对于C:a+b=(L,3),a+xb=(2x-1,x+2),因为两向量夹角为锐角， 所以(a+b)(a+xb)>0且a+b与a+xb不共线， 由(a+b)(a+xb)>0得1·(2x-1)+3·(x+2)=5.x+5>0,得x>-1: 由a+b与a+xb不共线，得1(x+2)≠3(2x-1),解得x≠1，所以x∈(-1,1)U(1,+o),C错误； 对于D:cos<a+b,axa+-2,所以a+5与a的夹角为，D正确 10.【答案】ABD 【详解】对于A, sin15°+cos15°_tam15°+1_tam15°+tam45° tan(15°+45°)=tam60°=V5,故A正确： cos15°-sim15°1-tam15°1-tam15tan45° 对于B,$m40°+sin80°_sim(60°-20)+sim(60°+20°) c0s20° c0s20° 5 2 0s20°- 2sim20°+5 2 >coS20°+S1n20o y5c0s20°-V5,故B正确， c0s20° c0s20° 对于C,cos85cos25°-sim85sin25°=cos(85°+25)=cos110°<1，故C错误： 对于D,tam60°=t知(35°+25°）=am35+tam250 1tm25an3539-6, 所以tamn25°+tam35°=-√5tan25tam35°+√3，tam25°+tan35°+V5tam25°tam35°=√5，故D正确； 11.【答案】AB 【详解】若在区间周上具有单调性，则好号则号又下二，则0wS3, 因为目月-佾.所以一条对称辅为兰吾一个对称中心横坐标为 2121 对称中心为(0)则晋音子所以。普2， 所以对称轴为x=登+机∈乙，对称中心为（低+0）∈乙， 对于A,T=π，故A正确： 对于B,当1时，对称轴为x=受故B正确： 对于C,假设x)图象关于点（怎，0）中心对称，则+c此时争不符合题意，故C错误： 对于D,a∈(o,),x)-sin(2x+p）,则fx+a-sin(2x+2ato),x+3d-sin(2x+6a+), Ax+a)-Ax+3a),sin(2x+2a+o)=sin(2x+6a+o) 则2ato+2ka=6ato,k∈z,则uak∈Z, 故在a∈(0，)，不存在a使得x+a)+3a)成立，故D错误。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】5√2 【详解】5=(3-4i1+i7-i,==V72+1=V50=5V2 13.【答案】26 3 【详解】因为6+列6-)=专所以2-2云+反6--子所以1-a5-2= 3 ,所以a6= 3 所以6+=V日+2a:6+6=,h+2x+1= 2W6 3 3 14【答案】号 【详解】由4B-AC-4BLACcos(AB,AC,得取AC最大同时AB在AC上投影最大，则AB:AC取得最大值， 如图，当A,C分别是最大的正三角形底边的端点， B点是C点上方且紧靠C的一点时，AC最大， 且AB在向量AC上的投影也达到最大值， 则此时正.4C诹得最大值，最大值为3×(2+： 由ABAC-4BAClcos(AB,AC，取AC最大同时AB在AC上投影最小， 则AB·AC取得最小值， 当B,C分别是最大的正三角形的底边的端点，且A点是B,C之间的一点时， (AB,AC=元，此时AB·AC-2×1×(-1)=-2达到最小值， 所以亚C的最大值与最小值的和为2号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.【解析】（1)因为复数22在复平面内对应的向量为OA=(-1,2),则22=-1+2i, …1分 又名=a2+2i,则22=(a2+2i)(1+2i)=-ad2-4a+(2a2-2a1, …3分 -2-41=0 由题有 …4分 2a2-2a≠0 解得a=-4,所以a的值为-4. …6分 (2)因为i-2=(a2+2aii-(-1+2i)=1-2a+(a2-21, …8分 1-2a>0 由题意有{d-2<0 …10分 解得2<a<立 1 …12分 所以a的取值范围为 …13分 16.【小问1详解】 依题意，记AB=a,AC=b, 因为时-c,所以乐丽+亚西}-丽-c-都+都子+， 3 3 …1分 因为AB=2,AC=4,∠BAC=60°，所以=2，=4，a.6=2x4c0s60°=4， …2分 则网-层+6+5g46 …4分 9 9 9 9 故网 …5分 【小问2详解】 因为A亚=4C,所以远=8頭+}AC=-丽+AC=-a+方 …6分 所以示丽= 2-2 12= 二×4+ ×16=0 …8分 则AF⊥BE,即AF⊥BE …10分 【小问3详解】 因为正C,所以8是AC的中点，放A+元-2西， …11分 因为2PB+PA+PC=0,所以2PB+2PE=0, …13分 即PB=-PE, …14分 所以P是线段BE的中点 …15分 1n【答案】@r&因-号 【详解】1）由愿意得f代)=m2x+到}m2x》2ox1 3 3 -sin 2x cosconsim 2x coscos2x sincos2x m2x+o2x=62x+到， …5分 所以T=π …6分 (2)由题意得f …8分 所以ma周 …9分 …11分 …12分 -m2+周11号 …14分 所以2a-- …15分 18.【小问1详解】 设心的最小正周期为7，由腿意得号-子，得周期=，所以哥=元，得4-2 ，…1分 22 因为a>0,所以@=2，所以间如2+o4到引 因为f国的图象过点Q.,所以2如p=L,得血0-片因为4号所以 …3分 6 故)=2如2+ …4分 【小问2详解】 …5分 即-引-m=0台-2xo2x=m有解， …6分 得2x36 π7π …7分 由函数图像可得-1三cos2x≤分所以-1≤-26o2x≤2， …9分 所以-1≤m≤2，即me[-1,2] …10分 【小问3详解】 06,设t=2x+e5 「。7π] x∈0， …11分 6L62」1 7π 由方程f(x)-a=0在区间0 上恰有三个实数根x,x2,x3”, 得“方程sint= 在区间 π5π 2 上恰有三个实数根t,t2,”, …12分 则y=sint的图象如下：目 5元 6 =sint π π 由图得，t+t,=π→+x,= 6+ …14分 2 2 3 「7π x,e,6 …15分 即x+x2+x∈ 4π3π】 3’29 …16分 综上sim(x,+x2+x)e …17分 2 19.【小问1详解】 在△ABC中，A+B+C=π，所以sinC=sin(A+B), 因为sin(B-A)+V2simA=simC,所以sim(B-A)+V2simA=sin(A+B), Esin BcosA-cos Bsin A+2sin A=sin BcosA+cos B sin A …2分 化简得√2sinA=2 cos B sin A· …3分 因为Ae(0川，所以sin4≠0，c0s日=5 …4分 因为0<B<元，所以B=. …5分 【小问2详解】 (2)由三角形面积公式可得S=1a csm8-8D,即BD= 2 -ac, …6分 8 在△ABC中由余弦定理可得b2=a2+c2-2 ac cosB,即16=a2+c2-V2ac, …7分 所以16=a2+c2-V2ac≥(2-2ac, 、所以ac的最大值为25， …8分 此时8D=2e=互16 -ac= X- =2W2+2, …9分 8 82-V2 当且仅当a=c=16+8√2=2W4+2V5时取等号： …10分 (3)设BC=x,∠BAC=0,则CM=2x. 由(1)知8三4，又∠CAM:所以在AABM中，∠Auc元-日 …11分 在△ABC中，由正弦定理得 BC AC ,即sm6 .元① sin∠BAC sin B Sin …12分 4 2x AC 在△ACM中，由正弦定理得，CM一- AC sim∠CAMM'即n 元-0 ② …13分 sin 2 √2 ①②，得2 ,=C0s2 2m+1√2 ，即2sim0cos日=1，所以sin20= …l5分 2 2 2 因为6∈0， 0,,28e0,2 月，所以20欧g故9=B或铅 …17分 61 1212