精品解析：安徽合肥市第六中学2025-2026学年第二学期高一期中教学质量检测数学试题

合肥六中2025-2026学年第二学期高一期中教学质量检测 数学（学科）试题卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题．每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数（为虚数单位）．则复数的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由. 所以复数的虚部为4. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是．则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】因为复数对应的点的坐标是．所以， 所以，所以对应的点的坐标为，位于第三象限. 4. 设非零向量和的夹角为，则“是“为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，利用数量积公式化简为，再与等价转化即可. 【详解】因为均为非零向量，所以等价于. 又，， 所以等价于，即. 因为，且， 所以等价于，即为钝角或平角, 所以，若为钝角可以推出，反之则不一定，有可能为平角. 因此“”是“为钝角”的必要不充分条件. 5. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的表面积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到原四边形的形状及长度，进而得到以边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，代入圆台的表面积计算公式求解即可. 【详解】过作，则为矩形，所以. 又，所以. 在中，，所以. 则原四边形为以为直角边的直角梯形， 则以边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，其中，，. 则. 所以 . 6. 在中，内角的对边分别为，且，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，再结合和角公式化简，推出，从而判断三角形形状. 【详解】由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. 7. 在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解 【详解】 如图，设设，，则由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式联立可得，则，则， 对，由余弦定理可得， 则 ， 当时，有最大值，，所以， 故选：C 【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题， 本题中的角平分线性质可当结论进行识记：为的角平分线，则 8. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以. .所以 ，即. .当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 二、多选题（本题共3题，每小题6分，共18分．在每一题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分） 9. 如图，在直三棱柱中，，，，点是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是（ ） A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱外接球的体积为 C. 存在点，使得为钝角 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出棱柱侧面积判断A；求出棱柱外接球体积判断B；判断以为直径的圆的位置关系判断C；利用对称方法求出的最小值判断D作答. 【详解】在直三棱柱中，，，， ，的周长为，此三棱柱侧面积是，A正确； 依题意，线段AC是直三棱柱外接球被平面ABC所截得的小圆直径，， 则球心到平行平面ABC与的距离相等，即球心到截面小圆ABC的距离为， 因此，球半径，球的体积为，B正确； 如图，在矩形内，以为直径作半圆，其半径，圆心到直线的距离为1，即直线与 以为直径的半圆相切，则上的点除切点外均在此半圆弧外，即不存在点，使得为钝角，C不正确； 在矩形所在平面内，延长至F，使，连AF交于，对上任意点E，连接，如图， 因，则，， 当且仅当点与重合时取“=”，所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 10. 在等腰中，，记，点分别是线段的中点，且点是线段（包括端点）上的一个动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 点运动到点处时， B. 点运动到线段中点处时， C. 的最小值为 D. 的最大值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质，逐项进行判断即可. 【详解】在等腰中，，， 则， 设（）， 以为原点，以、分别为轴、轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，， 由点是线段的中点，可得到， 又，所以. 对于A：当运动到点处时，由点是线段的中点， 可得，，故A正确； 对于B：点运动到线段中点处时， ， ，此时，，故B错误； 对于C：由，可得 ， 当时，取到最小值，故C正确； 对于D：由，，， 可得， ， 所以 ，在上单调递增， 所以当时，取到最大值8，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，记的三个内角分别为，其对边分别为，的面积为．点为内一点，满足，则（ ） A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，可判断，结合相似三角形的性质，可判断A；根据条件，先判断的形状为等腰直角三角形，在利用正弦定理和同角三角函数的基本关系，可判断B；利用三角形的面积公式结合余弦定理可判断C；先证明，再利用正弦定理得，进而可判断D. 【详解】对A：由， 又，所以，即， 所以，故A正确； 对B：当时，由A可知，. 设，由，可得，. 因为，所以，即， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以. 在中，， 由正弦定理， ， 所以，又为锐角，， 所以，故B错误； 对C：当时， . 所以. 在中，由余弦定理可得， ； 同理在中，可得； 在中，可得，. 所以 ，故C正确； 对D：在中，，，， 由正弦定理： 同理，在中，. 由，， 由， 由 . 当时， 由， 同理,, 所以 ，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的除法及复数的模计算即可. 【详解】由， 得， 所以. 13. 已知向量的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式，把向量在向量方向上的投影向量表示为，再由数量积公式求出系数即可. 【详解】因为的夹角为，且，，所以. 所以. 故向量在向量方向上的投影向量为. 14. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理的边角变换求得，进而由锐角得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换得到，从而得解. 【详解】因为， 由正弦定理可得，则， 在中，可得或，所以或（舍去）， 则， 在锐角中，，解得， 由正弦定理可得 ， 因为，则，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换得到，从而得解. 四、解答题（本题共6分，共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱 （1）求剩下几何体的表面积； （2）求剩下几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积和体积公式求解. 【小问1详解】 由三角形中位线定理，得圆柱的底面半径，圆柱母线长为2， 圆锥的母线长为， 所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 即. 故剩下几何体的表面积为. 【小问2详解】 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即． 故剩下几何体的体积为. 16. 如图，是直角斜边上一点，． （1）若，求的大小； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）求出，利用正弦定理求出，进而求出，即可求出. （2）设，表示出，，求出，在中利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 在中，，所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 又，所以. 所以. 【小问2详解】 设，则，， 在中，，即，解得或（舍去）. 所以，，，则. 在中，由余弦定理得， ， 所以. 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理可得，再利用正弦定理可求角. （2）根据余弦定理和三角形的面积公式列式求值. 【小问1详解】 由余弦定理得：， 所以，所以. 由正弦定理可得：， 因为为三角形内角，所以，所以. 又为三角形内角，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，， 又， 所以，所以. 18. 如图，在中，，，．设，. （1）用，表示： （2）求证：，，三点共线； （3）若，，，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 因为，所以是中点，所以. 由（1）知，， 又与有公共点，所以，，三点共线. （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则进行运算即可； （2）计算可得，从而得证； （3）根据公式及向量数量积的运算律，计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， ， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知，，，则，， 所以. ， . ， ， . 又 . 所以. 19. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设截面与下底面的距离为． （1）探究：平面所截得的两个截面（阴影部分）面积的关系，并说明理由；问：半球的体积和新几何体的体积的关系． （2）如图，平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积． 【答案】（1）两个截面面积相等；半球的体积与新几何体的体积相等，均为. （2） 【解析】 【分析】（1）分别求平面截半球所得圆面积，以及截圆柱挖去圆锥后的环形面积，比较两者即可，再由祖暅原理得到两个几何体体积相等. （2）把球冠看作半球中位于平面上方的部分，根据祖暅原理转化为新几何体中对应部分的体积，再用柱体体积减去圆台部分体积求解. 【小问1详解】 设平面与下底面的距离为，其中. 平面截半球所得圆的半径为，所以截面面积为. 圆锥的顶点在下底面圆心处，平面截圆锥所得圆的半径为， 所以新几何体被平面所截得的阴影部分面积为. 故两个截面的面积相等.由祖暅原理可知，半球的体积与新几何体的体积相等. 又新几何体的体积为，所以半球的体积为. 【小问2详解】 因为，所以平面到球心的距离为，球冠的高为. 由祖暅原理，球冠体积等于新几何体中距下底面高度从到之间的部分的体积. 这部分体积等于高为、底面半径为的圆柱体积减去圆锥中对应的圆台体积. 而圆锥中高度从到的部分是高为、底面半径为的小圆锥， 所以圆锥中高度从到的部分体积为. 因此球冠体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥六中2025-2026学年第二学期高一期中教学质量检测 数学（学科）试题卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题．每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数（为虚数单位）．则复数的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是．则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设非零向量和的夹角为，则“是“为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的表面积（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，且，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 7. 在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题（本题共3题，每小题6分，共18分．在每一题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分） 9. 如图，在直三棱柱中，，，，点是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是（ ） A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱外接球的体积为 C. 存在点，使得为钝角 D. 的最小值为 10. 在等腰中，，记，点分别是线段的中点，且点是线段（包括端点）上的一个动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 点运动到点处时， B. 点运动到线段中点处时， C. 的最小值为 D. 的最大值为8 11. 如图，记的三个内角分别为，其对边分别为，的面积为．点为内一点，满足，则（ ） A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则___________． 13. 已知向量的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量是___________． 14. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是________ 四、解答题（本题共6分，共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱 （1）求剩下几何体的表面积； （2）求剩下几何体的体积． 16. 如图，是直角斜边上一点，． （1）若，求的大小； （2）若，且，求的长． 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 18. 如图，在中，，，．设，. （1）用，表示： （2）求证：，，三点共线； （3）若，，，求的余弦值． 19. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设截面与下底面的距离为． （1）探究：平面所截得的两个截面（阴影部分）面积的关系，并说明理由；问：半球的体积和新几何体的体积的关系． （2）如图，平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $