精品解析：浙江杭州学军中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

杭州学军中学2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：叶燕忠 审题人：顾侠 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先根据组合数的性质求出的值，再代入排列数公式计算. 【详解】因为，所以根据组合数的性质可得： 或者，解方程得： 或者. 因为，所以. 那么. 故选：B. 2. 一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义判断A；利用条件概率公式，结合古典概率计算判断BCD. 【详解】对于A，，，A，B不独立，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D错误. 3. 等比数列前n项和为，则的值为（ ） A. 83 B. 108 C. 75 D. 63 【答案】D 【解析】 【详解】因为，由片段和性质得， 即解得，即. 4. 3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 364 C. 432 D. 468 【答案】C 【解析】 【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为． 5. 现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】根据回归直线过样本中心点，代入得： ，所以原个样本的值总和为：， 去掉后，剩余个样本的值总和为：，值总和为： 因此新的样本中心点为：， 因为新的经验回归方程为，回归直线必过新的样本中心点，代入得： ，解得：. 6. 随机变量的分布列如表：则的取值范围是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率和为求出参数的值，再根据概率非负得到的范围，然后写出期望，将方差表示为关于b的二次函数，结合的范围求出方差的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为解得， 所以， ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D. 7. 在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是.那么八进制数换算成十进制数m，则十进制数m的个位数字为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据八进制数换算十进制数的公式得到m的表达式，求出的个位数字，或结合等比数列的前n项和公式、二项式定理即可求解. 【详解】方法一：由题意知， 设，因为的个位数字分别为， 所以的个位数字之和为， 所以的个位数字为5， 所以的个位数字为5. 方法二：由题意知 ， 又由二项式定理知是7的倍数， 所以是10的倍数. 又由二项式定理知， 所以的个位数字与的个位数字相同， 同理，， 所以的个位数字与的个位数字相同， 可得的个位数字为5. ，且是10的倍数，其个位数字为0，所以的个位数字与的个位数字相同，即为5. 综上，十进制数m的个位数字为5. 8. 已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解． 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分． 9. 已知则（ ） A. B. 若越大，则越小 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性等知识求得正确答案. 【详解】依题意，，所以， 所以，A选项正确. 越大，正态分布的最高点越矮，远离的数据越多， 越小，B选项正确. 根据正态分布的对称性可知，C选项正确. ，D选项错误. 故选：ABC 10. 现有一半径为的圆纸片（为圆心为圆内的一定点)，且如图将圆折起一角，使圆周正好过点把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为如此往复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的离心率是 B. 的最小值为2 C. 外接圆半径的最小值是 D. 内切圆半径的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据折叠的对称性推得满足条件的点满足，结合椭圆定义确定的轨迹是以为焦点的椭圆，求出椭圆基本参数后，结合向量数量积、三角形外接圆与内切圆的相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，设点对应圆上折点为则，原圆半径为4，故，因此：  ， 由椭圆定义，曲线是以为焦点的椭圆，其中，， 得，，， 离心率，A正确； 对于B，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则，椭圆方程为， 设，则，   代入得：   ，，故最小值为，B正确； 对于C，由正弦定理，中，得， 根据椭圆性质，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形， ，，故，C错误； 对于D，内切圆半径满足，半周长， 面积，故， 最大值为，故，D正确. 11. 已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 动点的轨迹长度为 C. 过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 D. 若均在同一球面上，则该球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】先由正四棱台的侧面积求每个侧面梯形的面积，再求侧面梯形的高、侧棱长和棱台的高，利用棱台体积公式判断A项；对于B项，取的中点，的中点，在平面内作出点到平面的垂线，结合线面角的正切值得到点的轨迹是侧面梯形内某圆的一部分，再判断其轨迹长度；对于C项，利用和确定截面为等腰梯形，再计算其周长；对于D项，建立空间直角坐标系，设过，，，的球的球心为，半径为，列方程求，进而求球的表面积． 【详解】因为正四棱台的侧面积为，所以每个侧面梯形的面积为． 设该正四棱台的侧棱长为，则侧面梯形的高为，所以，解得． 设正四棱台的高为，由于上下底面对应顶点在底面上的水平距离为，所以． 对于A项，正四棱台上、下底面面积分别为和，所以体积，A项正确． 由上述分析可知，侧面的高为． 取的中点，连接，，，则．因为，所以，从而四点，，，共面．因此过，，三点的平面截该正四棱台所得截面为等腰梯形． 其中，，，所以该截面的周长为，不是，C项错误． 如下图，取的中点，连接，． 易知，，且，所以平面．又平面，所以平面平面． 过点作，垂足为，则平面.连接，则为直线与平面所成的角． 在中，，.过点作于点，则． 因为，所以． 由题意得．又，所以．因此动点在以为圆心、为半径的圆上． 又，而点在侧面的边界上，所以该圆不可能全部位于侧面内． 因此动点在侧面内的轨迹不是整个圆，轨迹长度小于，B项错误． 以正方形的中心为原点，过点且平行于的直线为轴， 过点且平行于的直线为轴，过点的高所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，． 设过，，，的球的球心为，半径为，则 由第三个方程与第四个方程相减，得；由第一个方程与第二个方程相减，得，所以． 再由第一个方程与第三个方程比较，得，解得． 所以，该球的表面积为，D项正确． 故选AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的斜截式、一般式进行求解即可. 【详解】由题意知，故切线的斜率，而切点为， 故切线方程为. 故答案为： 13. 圆上任意一点，若的值与，都无关，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆上点横纵坐标的取值范围知，据此由恒等式知恒成立， 分离参数后，令，利用直线与圆有公共点得出的范围得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由点在圆上知，，， 所以. 则， 由的值与，无关，可得恒成立， 即恒成立，从而得. 令，即， 易知直线与圆有公共点， 则，解得，故， ，故的取值范围是. 故答案为： 14. 已知数列的前项和，若实数满足对恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据之间的关系，结合数列奇数项和偶数项的单调性、任意性定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减，得， 当为偶数时，，显然适合， 当为奇数时， ， 所以， 所以当为偶数时，此时数列单调递增，， 而，所以； 当为奇数时，，显然此时数列单调递减， ，而，所以. 因为实数满足对恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 （1）根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； （2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与性别有关 （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）提出零假设，计算出的值并比较大小即可得出结论； （2）易知的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应概率即可求得分布列和期望. 【小问1详解】 零假设为：对活动的评价与性别无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ， 故的分布列为 0 1 2 . 16. 记数列的前项和为，已知． （1）证明是等差数列，并求； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）当时，， 则， 即， 由于，所以， ，解得，， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，得证， （2）由（1）知，， 所以， 则 即， 又因为，所以，故得证. 【解析】 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义即可求解； （2）使用等差数列前项和公式求得，再使用裂项相消结合的取值范围即可得证. 【小问1详解】 即. 【小问2详解】 略 17. 如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形中，于点，故翻折后，， 又因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过折叠性质，可得平面，再结合面面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据几何体体特征，可得四棱锥外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，建立空间直角坐标系，设，由，得，进而可求外接球的表面积； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出平面与平面的法向量，再结合二面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在梯形中，因为，，，，于点，于点， 所以四边形为矩形，且，，，. 取的中点，连接，则，且， 因为平面，平面，故，所以，，两两垂直. 所以以为原点，过点与平行的直线为轴，以直线为轴，以直线为轴，建立空间直角坐标系如下图所示， 所以，，，，， 因为四边形为矩形，所以与的交点到，，，的距离相等， 所以四棱锥外接球的球心在过且与平面垂直的直线上， 设，外接球的半径为，由，得，解得， 所以，所以四棱锥外接球的表面积. 【小问3详解】 由（2）得，，， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求的导函数的极值； （2）不等式对任意恒成立，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 【答案】（1）当时,有极小值 2，无极大值. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数研究函数单调性，得到极值； （2）参变分离后，转化为函数的最值问题即可； （3）有唯一解，构造函数参变分离，有唯一解，构造函数，借助导数研究函数的单调性即可. 【小问1详解】 因为函数，所以的定义域为 令，则，注意到为增函数，且， 所以当时,，单调递减； 当时,，单调递增； 所以当时,有极小值 2，无极大值. 【小问2详解】 由题意可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则 设，则 因为在区间上单调递增，所以 则在区间上单调递增，所以则 所以在区间上单调递增， 所以，所以. 【小问3详解】 由题意可知有唯一解， 设 注意到，当时,；当时, 所以至少有一个解. 因为有唯一解，所以有唯一解， 设，因为，所以为单调函数， 则恒成立， 设，则恒成立, 则 所以在区间上单调递增， 注意到所以当时,单调递减； 当时,单调递增； 故只需即可， 所以 19. 已知点在双曲线上，是的左､右顶点，是的右焦点，，且是整数. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线与的右支交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与直线交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）9 【解析】 【分析】（1）利用和两点间距离公式得到，再结合点在双曲线上和可得双曲线方程； （2）（i）设直线的方程，联立曲线方程，得到韦达定理，再表示出直线、的方程，解出交点坐标可得； （ii）利用与（i）同样的解法求出点坐标，得到，再利用三角形面积公式可解. 【小问1详解】 设的右顶点，右焦点， 由得， 又，又是整数，且， 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：由（1）知， 由题意可设直线的方程为，. 联立方程得， 则， 直线的方程为的方程为， 所以 ， ，即点坐标为， 所以点在定直线上. （ii）解：因为直线与直线交于点， 同样可求得直线与直线交于点. ， ， ， 所以，当且仅当时取等号， 又点到直线的距离为3， 所以面积的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：叶燕忠 审题人：顾侠 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 2. 一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 3. 等比数列前n项和为，则的值为（ ） A. 83 B. 108 C. 75 D. 63 4. 3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 364 C. 432 D. 468 5. 现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 随机变量的分布列如表：则的取值范围是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 7. 在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是.那么八进制数换算成十进制数m，则十进制数m的个位数字为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分． 9. 已知则（ ） A. B. 若越大，则越小 C. D. 10. 现有一半径为的圆纸片（为圆心为圆内的一定点)，且如图将圆折起一角，使圆周正好过点把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为如此往复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的离心率是 B. 的最小值为2 C. 外接圆半径的最小值是 D. 内切圆半径的最大值是 11. 已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 动点的轨迹长度为 C. 过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 D. 若均在同一球面上，则该球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程是__________. 13. 圆上任意一点，若的值与，都无关，则实数的取值范围为__________. 14. 已知数列的前项和，若实数满足对恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 （1）根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； （2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 记数列的前项和为，已知． （1）证明是等差数列，并求； （2）记数列的前项和为，证明：． 17. 如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求的导函数的极值； （2）不等式对任意恒成立，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 19. 已知点在双曲线上，是的左､右顶点，是的右焦点，，且是整数. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线与的右支交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与直线交于点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $