精品解析：上海市闵行中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中考试试卷

2025学年第二学期高二年级 数学学科 期中考试卷 时间：120分钟 满分150分 一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分. 1. 根据二项式定理，的二项展开式共有__________项. 2. 事件A与事件B是独立的，且，则________. 3. 若，则n的值是______． 4. 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为______. 5. 同时抛掷5枚均匀的硬币，恰有1枚反面朝上的概率为________． 6. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______． 7. 已知曲线在点处的瞬时变化率为，则点的坐标为__________． 8. ，则______. 9. 设为函数的定义域，若对于且，都有，我们称为“不减函数”.若定义域，值域为，且，则符合条件的不减函数有______个. 10. 已知集合，，从集合中任取2个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则______. 11. 甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 12. 对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分. 13. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 15. 已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 16. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） ①已知函数，则存在实数，使得恰有2026个极值点； ②已知函数的导函数为，，且在上为严格增函数，“”是“”的充分不必要条件. A. ①假命题；②真命题 B. ①真命题；②真命题 C. ①真命题；②假命题 D. ①假命题；②假命题 三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 现有10名学生，其中女生4名，男生6名. （1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （2）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 18. 在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. （1）求展开式中所有项的二项式系数的和. （2）求展开式中含项的系数. 19. 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球5个，白球2个. （1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； （2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望. 20. 已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率； （2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； （3）已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 21. 设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． （1）判断函数是否存在F点； （2）设函数，当存在F点，求k的值； （3）设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高二年级 数学学科 期中考试卷 时间：120分钟 满分150分 一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分. 1. 根据二项式定理，的二项展开式共有__________项. 【答案】11 【解析】 【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，即可得出答案. 【详解】根据二项式定理，可知的二项展开式的通项为 ，，共有11项. 故答案为：11. 2. 事件A与事件B是独立的，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式即可得出答案. 【详解】因为事件A与事件B是独立的，且， 所以. 故答案为： 3. 若，则n的值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据组合数的性质，结合条件，即可得答案. 【详解】根据组合数的性质，且， 所以. 故答案为：10 4. 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】用缩小样本空间的方法直接计算即可得解. 【详解】由题意可知，在第一次摸得红球后，袋中还有2红5黑共7个球， 所以在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为. 5. 同时抛掷5枚均匀的硬币，恰有1枚反面朝上的概率为________． 【答案】##0.15625 【解析】 【分析】求出抛掷5枚均匀硬币的试验的基本事件总数，再求出恰有1枚反面朝上的事件所含基本事件数，利用古典概率计算作答. 【详解】抛掷5枚均匀的硬币的试验，有个基本事件，它们等可能， 恰有1枚反面朝上的事件含有的基本事件数为5， 所以恰有1枚反面朝上的概率. 故答案为： 6. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______． 【答案】0.87## 【解析】 【分析】由全概率公式计算． 【详解】记灯光合格中事件，灯泡来自甲厂为事件，灯泡来自乙厂为事件C， 由已知，，，， 所以． 故答案为：． 7. 已知曲线在点处的瞬时变化率为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数，求导，再令求解即可. 【详解】解：由可得， 由得， ，所以点坐标为， 故答案为： 8. ，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】结合组合数的运算，即可得到结果. 【详解】展开式中，每个括号可选， 要得到项，需要满足四个括号中选的项的指数和为2， 故两次选，两次选1，对应的组合数为， 又， 因此. 9. 设为函数的定义域，若对于且，都有，我们称为“不减函数”.若定义域，值域为，且，则符合条件的不减函数有______个. 【答案】20 【解析】 【分析】根据“不减函数”的定义，值域中的元素个数可以为1个，2个，3个，分三种情况讨论，分别求出每种情况中不减函数的个数，再求和即可. 【详解】根据“不减函数”的定义，值域中的元素个数可以为1个，2个，3个， 所以分三种情况讨论： （1）若值域中的元素个数为1个，当分别取时，所对应的三个函数值都相同， 可以是中的任何一个，所以有种取法，即有4个“不减函数”； （2）若值域中的元素个数为2个，有两种情况： ①取时所对应的函数值相同，此时只需从这4个数字中任选2个， 其中较大者为所对应的函数值，较小者为1所对应的函数值，所以有种取法，即有6个“不减函数”； ②取时所对应的函数值相同，同理有种取法，即有6个“不减函数”； （3）若值域中的元素个数为3个，此时只需从这4个数字中任选3个， 其中较大者为3所对应的函数值，居中者为2所对应的函数值，较小者为1所对应的函数值， 所以有种取法，即有4个“不减函数”. 所以符合条件的不减函数有个. 10. 已知集合，，从集合中任取2个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则______. 【答案】##0.35 【解析】 【分析】根据给定条件，确定的事件，再利用组合计数问题及古典概率公式列式求解. 【详解】依题意，的事件是的事件与的事件的和， 所以. 11. 甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望，再结合方差计算公式即可求解 【详解】由题意可知：的所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 所以， 所以 12. 对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过因式分解得到的根与的根重合，得到，进而得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】原不等式移项整理： ， 因式分解得： 该式对恒成立， 若，则恒成立，要求对任意恒成立，显然不可能，故， 因为是增函数， 因此： 时， 时， 要乘积恒小于等于0，要求在时非负，在时非正， 故，且的根与的根重合， 即：  将代入得： ， 设，则 ， 当时， ，单调递增； 当 时， ，单调递减； 故在处取最大值： . 二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分. 13. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用是否推出关系，可判断必要不充分条件. 【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 所以，即是的必要不充分条件， 故选：B. 14. 已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，把点的横坐标代入导函数即可求解． 【详解】由， 可得， 故在点P处切线的斜率为 故选：B 15. 已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到与在方向上的数量投影相同，再结合图象即可求解. 【详解】因为，所以与在方向上的数量投影相同. 将，，…，，平移到同一起点， 以所在直线为轴，同一起点为坐标原点建系， 因为，所以，，…，的终点在半径为1或2的圆上， 如图，作与轴垂直的直线，并左右平移，与两个圆最多是4个交点， 此时在上的数量投影为相同值的向量，最多有4个. 故选：B. 16. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） ①已知函数，则存在实数，使得恰有2026个极值点； ②已知函数的导函数为，，且在上为严格增函数，“”是“”的充分不必要条件. A. ①假命题；②真命题 B. ①真命题；②真命题 C. ①真命题；②假命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】D 【解析】 【分析】由为奇函数，且，结合对称性可判断①，构造函数，求导确定单调性，即可判断②. 【详解】函数，极值点满足且导数变号， 求导得： ，定义域为R， ，故是奇函数， 当，，又是奇函数，图象关于原点对称，故在的两侧导数符号相反， 故是的一个极值点， 若存在非零根，由对称性可知， 若是根，则也一定是根，即非零根一定成对出现， 因此的总根个数为：（非负整数），必为奇数， 由于是奇函数，图象关于原点对称，每个根都对应导数变号，都是极值点， 因此的极值点个数一定是奇数，不可能等于偶数，故①是假命题。 命题②判断： 不等式移项整理： ，  构造函数，求导得：  ， 已知是R上的严格增函数， 因此对任意， ， 即是R上的严格增函数， 严格增函数满足：​， 因此"​"是不等式成立的充要条件，不是充分不必要条件，故②是假命题。 三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 现有10名学生，其中女生4名，男生6名. （1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （2）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 【答案】（1）90 （2）30 （3）140 【解析】 【分析】（1）由分步乘法计数原理结合组合数即可求解； （2）分1男1女和2名女讨论求解即可； （3）通过间接法求解即可. 【小问1详解】 根据题意，从4名女生中任选2人的选法有种， 从6名男生中任选2人的选法有种， 则从中选出男、女各2名的选法有种； 【小问2详解】 根据题意，分2种情况讨论： ①选出的2名代表为1男1女，有种选法； ②选出的2名代表都为女生，有种选法； 则必须有女生的选法有种； 【小问3详解】 从10人中任选4人， 要求男生甲与女生乙至少有1人在内， 利用排除法有种选法. 18. 在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. （1）求展开式中所有项的二项式系数的和. （2）求展开式中含项的系数. 【答案】（1）32 （2）40 【解析】 【分析】（1）由条件列出方程求出的值，再根据二项式系数和的性质计算即可得解； （2）先写出二项展开式的通项，令的幂指数等于2，求出对应的值，再代入通项的系数部分，即可得解. 【小问1详解】 由二项式定理可知，展开式中前3项的二项式系数 分别为，，，则由题意知， 即，整理可得，即， 因为，所以解得，或（舍去）， 所以展开式中所有项的二项式系数的和为； 【小问2详解】 由（1）可知二项式为， 其通项为， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为. 19. 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球5个，白球2个. （1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； （2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 4 【解析】 【分析】（1）分2个黑球，2个红球，2个白球结合互斥事件和事件计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解. 【小问1详解】 设事件表示“取出的3球中恰有2球同色”， 则； 取出的球中恰有2球同色的概率为 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为，，0，1，2，4， 则，， ，， ， 所以的概率分布列： 0 1 2 4 所以 20. 已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率； （2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； （3）已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 【答案】（1）； （2）； （3）易知，当直线斜率为0时， 为长轴端点，与右焦点重合，满足题意； 设直线的方程为，， 联立得：， 由得或， 则， 所以，则， 设，因为三点共线，则，， 所以，则， 所以，所以轴. 【解析】 【分析】（1）根据离心率定义直接计算可得； （2）设利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程即可得解； （3）利用韦达定理表示出点的纵坐标，利用向量共线表示出点的纵坐标，证明和的纵坐标相等即可得证. 【小问1详解】 记椭圆 的长轴长为，短轴长为，焦距为 ， 则，所以离心率. 【小问2详解】 由题知，，设，， 因为，， 所以，得， 代入椭圆方程得，解得（负根舍去） 【小问3详解】 略 21. 设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． （1）判断函数是否存在F点； （2）设函数，当存在F点，求k的值； （3）设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 【答案】（1）不存在F点 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数得函数无极值点，即可判断； （2）先求函数极值点，再根据题意，得，构造函数，利用单调性求解； （3）根据题意，是的两根，且，，由韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得. 【小问1详解】 恒成立，故函数单调递增， 函数无极值，所以不存在F点； 【小问2详解】 解设是函数的一个F点，； 当时，，函数无极值； 当时，令，得：． 由，得：． 设，则在单调递增， 且，得，所以． 当时，是极小值点，所以是函数的一个F点， 综上，． 【小问3详解】 ，则，是的两根． 所以：，，． 由，，则， 所以化简得：． 则：，得：． 所以，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $