专题4.4 利用三角形全等测距离讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

利用三角形全等测距离 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 判定两个三角形全等的常用思路 考点梳理 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL”（八年级学习） 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL”（八年级学习） 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL”（八年级学习） 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 典例引领 考向01 添加条件使三角形全等 【例1】如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 考向02 全等三角形综合问题 【例2】小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 综上，①正确，②错误，答案选C． 对点提升 【对点1】傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【对点2】如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 考点02 全等三角形的辅助线问题 考点梳理 1、 连接两点构造全等三角形 （1）适用场景： 图形中存在明显的公共边、公共角、对顶角，但缺少一组边或角来证明全等；或者图形是分散的四边形、多边形，需要拆分成三角形来解决。 （2）操作方法： 连接两个关键点，形成新的三角形，让新三角形与已知三角形满足SSS、SAS、ASA、AAS、HL等判定条件。 2、 倍长中线模型 （1）适用场景： 题目给出三角形的中线、中点，需要证明线段倍分关系、线段不等关系（比如证明AB+AC>2AD），或者求中线的取值范围。 （2）口诀：遇中点，倍中线，8字全等自出现。 3、 旋转模型 （1）适用场景： 题目中有等边三角形、等腰直角三角形、正方形，或者有“共顶点的两条相等线段”，需要证明线段相等、角相等，或转移边角关系。 （2）操作方法： 把一个三角形绕着公共顶点旋转一定角度（等边三角形转60°，等腰直角三角形转90°），使两条相等的边重合，构造出全等三角形。 （3）常见结论： 旋转后，对应边相等、对应角相等，还会出现新的等腰三角形或等边三角形，方便后续计算和证明。 4、 垂线模型 （1）适用场景： 题目给出角平分线，需要证明线段相等、角相等，或求距离、面积。 （2）操作方法： 过角平分线上的点，向角的两边分别作垂线。 （3）核心结论： 根据角平分线的性质，两条垂线段相等，即“角平分线上的点到角两边的距离相等”，从而构造出两个直角三角形全等（HL或AAS）。 （4）拓展用法： 当角平分线上的点向一边作垂线后，延长垂线与角的另一边相交，还能构造等腰三角形，实现“三线合一”。 5、 其他模型 （1）平行线模型：过端点作平行线，构造内错角/同位角相等，得到A字或X字全等三角形。 （2）截长补短模型（单独拆出来更常用）：用于解决线段和差问题。 （3）一线三等角模型：有三个相等的角在同一条直线上，构造出一组全等三角形，常出现在等腰直角三角形、等边三角形中。 6、 证一条线段等于两条线段和差 这是专门解决“AB=CD+EF”这类线段和差关系的方法，分为「截长」和「补短」两种思路。 （1）截长法 操作：在长线段AB上截取一段AG，使AG=CD，再证明剩下的GB=EF。 核心：把长线段拆成两段，分别证明和两条短线段相等。 （2）补短法 操作：延长短线段CD到点H，使DH=EF，再证明CH=AB。 核心：把两条短线段拼成一条，证明它和长线段相等。 （3）适用场景： 题目直接给出“一条线段等于另外两条线段的和或差”，或隐含这种关系，比如角平分线+线段和差、等腰三角形+线段和差。 典例引领 考向01 连接两点构造全等三角形 【例1】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 考向02 倍长中线模型 【例2】如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 考向03 旋转模型 【例3】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 考向04 垂线模型 【例4】已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 考向05 其他模型 【例5】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 考向06 证一条线段等于两条线段和差 【例6】（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 对点提升 【对点1】若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【对点2】和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【对点3】如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【对点4】如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【对点5】“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，，交于点O，补充下列（     ）条件，无法得到． A． B． C． D． 6．如图所示，已知，要使，补充下列条件不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点，在上，，，要添加的一个条件应不能使的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 2、 填空题 11．如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 12．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 13．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 14．如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 15．如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是中点，连接，设与相交于点G，与相交于点N．则4个结论：①；②；③；④若，则；正确的结论有_____个． 3、 解答题 16．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 17．某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 18．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 19．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 20．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用三角形全等测距离 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 判定两个三角形全等的常用思路 考点梳理 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL”（八年级学习） 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL”（八年级学习） 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL”（八年级学习） 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 典例引领 考向01 添加条件使三角形全等 【例1】如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：∵，∴，即， A：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意； B：当时，可得，且，，满足，可以判定，故不符合题意； C：当，且，，满足，无法判定，故符合题意； D：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意． 考向02 全等三角形综合问题 【例2】小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，，且两个三角形周长相等， ∴， ∴ ，故①正确． 对于结论②： 已知条件为 ，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误. 综上，①正确，②错误，答案选C． 对点提升 【对点1】傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 【对点2】如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 且， ， 在和中，， ， ， 故②正确； 由②可知， ， 由②可知， ， ， ， ， ， 故③不成立； 如下图所示，过点作， 则四边形是矩形， 由②可知， ， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ， 由②可知， ， ， ； 综上所述，结论正确的有①②④． 考点02 全等三角形的辅助线问题 考点梳理 1、 连接两点构造全等三角形 （1）适用场景： 图形中存在明显的公共边、公共角、对顶角，但缺少一组边或角来证明全等；或者图形是分散的四边形、多边形，需要拆分成三角形来解决。 （2）操作方法： 连接两个关键点，形成新的三角形，让新三角形与已知三角形满足SSS、SAS、ASA、AAS、HL等判定条件。 2、 倍长中线模型 （1）适用场景： 题目给出三角形的中线、中点，需要证明线段倍分关系、线段不等关系（比如证明AB+AC>2AD），或者求中线的取值范围。 （2）口诀：遇中点，倍中线，8字全等自出现。 3、 旋转模型 （1）适用场景： 题目中有等边三角形、等腰直角三角形、正方形，或者有“共顶点的两条相等线段”，需要证明线段相等、角相等，或转移边角关系。 （2）操作方法： 把一个三角形绕着公共顶点旋转一定角度（等边三角形转60°，等腰直角三角形转90°），使两条相等的边重合，构造出全等三角形。 （3）常见结论： 旋转后，对应边相等、对应角相等，还会出现新的等腰三角形或等边三角形，方便后续计算和证明。 4、 垂线模型 （1）适用场景： 题目给出角平分线，需要证明线段相等、角相等，或求距离、面积。 （2）操作方法： 过角平分线上的点，向角的两边分别作垂线。 （3）核心结论： 根据角平分线的性质，两条垂线段相等，即“角平分线上的点到角两边的距离相等”，从而构造出两个直角三角形全等（HL或AAS）。 （4）拓展用法： 当角平分线上的点向一边作垂线后，延长垂线与角的另一边相交，还能构造等腰三角形，实现“三线合一”。 5、 其他模型 （1）平行线模型：过端点作平行线，构造内错角/同位角相等，得到A字或X字全等三角形。 （2）截长补短模型（单独拆出来更常用）：用于解决线段和差问题。 （3）一线三等角模型：有三个相等的角在同一条直线上，构造出一组全等三角形，常出现在等腰直角三角形、等边三角形中。 6、 证一条线段等于两条线段和差 这是专门解决“AB=CD+EF”这类线段和差关系的方法，分为「截长」和「补短」两种思路。 （1）截长法 操作：在长线段AB上截取一段AG，使AG=CD，再证明剩下的GB=EF。 核心：把长线段拆成两段，分别证明和两条短线段相等。 （2）补短法 操作：延长短线段CD到点H，使DH=EF，再证明CH=AB。 核心：把两条短线段拼成一条，证明它和长线段相等。 （3）适用场景： 题目直接给出“一条线段等于另外两条线段的和或差”，或隐含这种关系，比如角平分线+线段和差、等腰三角形+线段和差。 典例引领 考向01 连接两点构造全等三角形 【例1】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 考向02 倍长中线模型 【例2】如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 考向03 旋转模型 【例3】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 考向04 垂线模型 【例4】已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 考向05 其他模型 【例5】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 考向06 证一条线段等于两条线段和差 【例6】（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 对点提升 【对点1】若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【对点2】和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 【对点3】如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 【对点4】如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【对点5】“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，利用可以证明； 当，即时，不能证明； 当时，利用可以证明； 当时，则，可以证明. 2．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，可以判定； 当时，则，可以判定； 当时，可以判定； 当时，无法判定. 3．如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．据此逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， A．添加条件，可根据证明，故不符合题意； B．添加条件，可根据证明，故不符合题意； C．添加条件，可根据证明，故不符合题意； D．添加条件，不能判定，故符合题意， 故选：D． 4．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，结合全等三角形的判定定理（）逐个分析选项： A、添加，满足（两角及其中一角的对边相等），可以判定； B、添加，满足（两角及其夹边相等），可以判定； C、添加，不能判定； D、添加，满足（两边及其夹角相等），可以判定． 5．如图，，，，交于点O，补充下列（     ）条件，无法得到． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，结合已知条件和公共边 ，逐一分析各选项即可得出结论． 【详解】解：，， 、， 在和中，， 选项A、若，利用可证，不符合题意； 选项B、若，利用可证，不符合题意； 选项C、若，， ， ，即， 利用可证，不符合题意； 选项D、若，只能得到，无法得到边或角的相等关系，不能判定，符合题意， 故选：D． 6．如图所示，已知，要使，补充下列条件不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵，， A．可以根据证明，不符合题意； B． 不能判定三角形全等，符合题意； C．可以根据证明，不符合题意； D．可以根据证明，不符合题意； 7．如图，点，在上，，，要添加的一个条件应不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平行线的性质可得，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答． 【详解】解：， ， A、，， ， ， 故A选项不符合题意； B、，，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 满足，则和不一定全等， 故C选项符合题意； D、，，， ， 故D选项不符合题意． 8．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 9．如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 10．如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质，并根据不同的全等情况进行分类讨论是解题的关键．已知，要使与全等，需分两种情况讨论：，；，；根据这两种全等情况，结合已知边长和点的运动速度，计算出运动时间，进而求出点的运动速度． 【详解】解：∵，为中点， ∴， 设运动时间为秒，则，， 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 综上，点的运动速度为或 故选：D． 2、 填空题 11．如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一 、 ） 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵点在同一直线上，， ∴， ∴； 又∵， 根据平行线的性质，得 此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可： 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等，以上均正确 综上， 答案不唯一，，、 都正确． 12．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 13．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 14．如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 【答案】或 【分析】分类讨论：①当点在上，点在上，②当在上，在上，③当在上重合时，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】解：当在上，在上时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点运动秒； 当在上，在上时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当在上重合时，如图， 则 ∴， 即 解得：， 综上可知：或． 15．如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是中点，连接，设与相交于点G，与相交于点N．则4个结论：①；②；③；④若，则；正确的结论有_____个． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及三角形外角的性质． ①根据正方形的性质可证明，则可判断①正误； ②先利用和直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余即可判断； ③先证明，则有，即可判断③正误； ④先利用平行线分线段成比例求出的长度，然后解直角三角形即可求出的长度，由此可判断④的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 过点M作交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故答案为：4． 3、 解答题 16．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)证明见解析 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】（1）解：选①或③； （2）解：选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 17．某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【答案】小明的证明不正确，正确的证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，利用已知条件，发掘隐含条件，通过添加辅助线创造条件来判定三角形全等，切记一定要规避 “” 陷阱．因为, 不属于某个三角形的一条边，所以不能直接运用这个条件．连接，先利用证明，得到，再通过证出． 【详解】解：小明的证明不正确． 正确方法如下：如图，连接， 在和中， , ∴, ∴, 在和中， , ∴． 18．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 19．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)存在，，或，． 【分析】（1）判定，推出，，由直角三角形的性质得到，因此，求出，即可证明； （2）当，时，，求出，；当，时，，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，，，理由如下； ∵点和的运动速度是，运动的时间是， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等， ∵， 当，时，， ∴，， ∴，； 当，时，， ∴，， ∴，． 综上，或，． 20．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $