专题 4.4 利用三角形全等测距离（知识梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦“利用三角形全等测距离”与“特殊化策略”核心知识点，系统梳理倍长边长、垂直构造等全等构造方法，结合正方形旋转面积不变等特殊化策略，搭建从基础方法到实际应用的学习支架，衔接三角形全等性质与现实问题解决。 资料以生活实例（如测量池塘距离、路灯高度）培养学生数学眼光，通过题型精析（例题+变式）发展推理意识，同步检测分层练习助力查漏补缺，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，体现数学思维与应用意识的融合。

专题 4.4 利用三角形全等测距离与特殊策略（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】利用三角形全等测距离 1 【知识点二】全等的应用——特殊化策略 2 二、考点与题型精析 2 【考点一】利用三角形全等测距离 2 【题型 1】倍长边长法测距离 3 【题型 2】垂直构造法测距离 4 【题型 3】视线转身法测距离 6 【题型 4】其他构造方法测距离 7 【考点二】特殊化策略 —— 定值问题 9 【题型 5】正方形旋转中面积不变模型 10 三.同步检测 12 （一）选择题（共八题，每小题4分，合计32分） 12 （二）填空题（共八题，每小题4分，合计32分） 15 （三）解答题（共四题，每小题9分，合计36分） 17 一.知识梳理 【知识点一】利用三角形全等测距离 1、方法：把不能直接测量的距离，通过构造全等三角形，转化为可以直接测量的距离； 2、依据：全等三角形的对应边相等； 3、常用的构造方法 倍长边长法 延长至使，延长至使，连接，则，从而得到。 垂直构造法 延长到点，过点作交和延长线于点。则，得到 视线转身法 保持视角不变（），转身测量（），利用身高不变（），则 【知识点二】全等的应用——特殊化策略 1、 数学思想：特殊到一般思想，遇到动态、旋转、一般情形难题时，先看特殊位置，得出结论，再推广到一般。 2、 特殊图形推广到一般图形 条件 正方形的顶点经过正方形中心 特殊图形 结论 重叠部分面积等于正方形ABCD面积的四分之一 一般图形 重叠部分面积 连接、，可得得到同样可得出 重叠部分面积等于正方形ABCD面积的四分之一 二、考点与题型精析 【考点一】利用三角形全等测距离 【题型 1】倍长边长法测距离 【例题1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面点E处同时施工，点E在AC的延长线上，工人师傅在线段AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长至点F，使得，连接ED并延长至点M，使得，连接MF，那么测量FM的长就是BE的长，请你用数学知识说明其中的道理． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，要测量的长，因为无法过河接近点A，可以在所在直线外任取一点D，在的延长线上任取一点E，连接和，并且延长到G，使，延长到F，使，连接，并延长到H，使H、D、A在一条直线上，则，试说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·广东茂名·期末）如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为______ 【变式3】（24-25七年级下·广东佛山·期末）某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 【题型 2】垂直构造法测距离 【例题2】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）为了测量平地上一个水池两边相对的两点间的距离，某数学兴趣活动小组开展了综合与实践活动． 【活动准备】 1．考察水池周围地理环境； 2．准备好皮尺、测角仪等测量工具． 【设计方案】 1．如图，在水池两边分别放置标识物，标识点A和点B； 2．在水池边的空地上作的垂线，在上取两点C，D，通过测量使； 3．过点D画出的垂线，并且使点E与点A，C在一条直线上． 【数据采集】经测量得出DE的长度为52米． 请根据以上信息，求A，B两点的距离． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，要测量河两岸的两点，之间的距离，在AB的垂线BM上取两点，，使得，再过点作BM的垂线DN，并在DN上找出点，使，，在同一条直线上，这时测得，则河两岸的两点，之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，小迪站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺、量角器等 测量方案 示意图 测量步骤 ①小迪沿堤岸走到电线杆旁； ②再往前走相同的距离，到达点； ③然后他向左直行，当他看到电线杆与游艇在一条直线上处时停下来． 测量数据 米，米，米，， 那么凉亭与游艇之间的距离是_____________米． 【变式3】（24-25七年级下·全国·周测）“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”如下图，杜甫草堂的工作人员打算在A，B两点间建立一座观景桥，由于A，B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），项目活动报告如下： 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走15 m有一棵树C，继续前行15 m到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为5 m 任务 求河流的宽度 【题型 3】视线转身法测距离 【例题3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）泾河以洪水猛烈、输沙量大著称（居全国江河支流之冠），是渭河和黄河主要洪水、泥沙来源之一．李刚和王烨两位同学想测量泾河某段的宽度，如图李刚在河岸边的点C处用测角仪测得视线与河岸之间的夹角的度数，王烨沿方向向前走，直到到达点D处时，李刚测得视线与河岸的夹角与相等，此时测得米，已知，，在一条直线上，请你求出泾河此段的宽度． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（        ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下： ①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直； ②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上； ③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上； ④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度． 请用你学过的一个数学定理解释通过以上步骤能测得河流宽度的道理：________． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·月考）小明、小亮为得到河流两岸，两处之间的距离（不可直接测量）进行了如下操作．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子的帽檐，使视线通过帽檐恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上）． （1）对于小明的做法，小亮思考如下，请将过程补充完整（括号内填依据）； 由题意得______________，且． 又因为小明直立在河岸边， 所以______________度， 所以______________（_____）． （2）已知小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步，求点，之间的距离． 【题型 4】其他构造方法测距离 【例题4】（25-26八年级上·山东日照·期末）项目背景，在学习了全等三角形后，综合实践小组的同学围绕“路灯高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 路灯高度的测量与计算 驱动问题 如何测量路灯的高度 活动内容 通过实地操作，运用全等三角形的知识计算路灯的高度 活动过程 操作过程及测量数据 1．在路灯前选定一点P，使，并测量出． 2．将竖直的竿子在的延长线上左右移动，调整位置使，此时测量．（图中所有点都在同一平面内） 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算路灯的高度， 【变式1】（25-26九年级下·山西太原·月考）如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期中）小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． （1）请补全方案中的空白①_____；②____； （2）请分别说明小刚这两种方案测量的理由； （3）你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 【考点二】特殊化策略 —— 定值问题 【题型 5】正方形旋转中面积不变模型 【例题5】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点E与正方形的中心重合．在正方形绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 【初步思考】如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为________ 【深入探究】当正方形旋转到如图1所示位置后，请你求出此时两个正方形重叠部分的面积； 【拓展应用】将n个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，分别是正方形的中心，请你直接写出n个这样的正方形重叠部分的面积之和． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）将个面积都是的正方形按如图所示的方法摆放，点、……分别是各正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，边长为的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边，分别相交于点M，N，图中阴影部分的面积记为，两条线段，的长度之和记为，将正方形绕点E逆时针转动适当角度，则有______． 【变式3】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 三.同步检测 （一）选择题（共八题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·云南文山·期末）如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（    ） A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m 3．（24-25七年级下·广东佛山·期末）某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．与全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 7．（25-26八年级上·湖南·期末）如图所示，小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了步．如果小刚一步大约，估计小刚在点处时他与电线塔的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北张家口·期末）要测量池塘两端点A，B间的距离，现有如下两种测量方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案Ⅰ：如图1． ①在平地上取一点O； ②连接，并延长到C，D两点，使，； ③连接，测量的长即可． 方案Ⅱ：如图2． ①在平地上取一点O； ②连接，在的延长线上取一点C，使； ③测量的长即可． A． Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 （2） 填空题（共八题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 10．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 11．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________． 12．（25-26八年级上·湖南永州·期末）同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 13．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为______米． 14．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 15．（24-25七年级下·辽宁铁岭·月考）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 16．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）如图①是一款折叠凳，图②是该折叠凳撑开后的侧面示意图（凳腿材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是凳腿的中点．为了使该折叠凳撑开后高度舒适，厂家将点到地面的距离设计为，则由以上信息可得撑开后凳面到地面的距离为___________． （3） 解答题（共四题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·广西贵港·期末）岳阳楼位于湖南省岳阳市岳阳楼区，地处岳阳古城西门城墙之上，因范仲淹作《岳阳楼记》著称于世，是古代四大名楼之一，设，两点分别为岳阳楼底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长； 乙：如图②，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，测出的长即可得线段的长； 问：甲、乙两位同学的方案都合理吗？请用所学知识分别论证． 18．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，某公园有两个直角三角形花园（和），其中，两花园之间有一个水潭，园区工作人员计划在水潭上方修建一座小桥，现需测量水潭两侧D、E两点间的距离．已知围栏，且，．小明设计了如下测量方案：延长DC到点F，使得，连接．小明通过测量米，由此推断D、E两点间的距离为18米，请你说明该方案的原理． 19．（25-26八年级上·河北衡水·期末）为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉和淇淇分别设计出如下两种方案． 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图    步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量，两点间的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量，两点间的距离即可． （1）以上两位同学方案可行的是________的方案，并仅对此方案的可行性说明理由； （2）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 20．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图①是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小仁从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如下表所示： 测量 长度/m 15.0 15.0 17.5 17.5 6.0 24.0 小仁将示意图抽象成图②所示的图形．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.4 利用三角形全等测距离与特殊化策略（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】利用三角形全等测距离 1 【知识点二】全等的应用——特殊化策略 2 二、考点与题型精析 2 【考点一】利用三角形全等测距离 2 【题型 1】倍长边长法测距离 3 【题型 2】垂直构造法测距离 6 【题型 3】视线转身法测距离 9 【题型 4】其他构造方法测距离 13 【考点二】特殊化策略 —— 定值问题 16 【题型 5】正方形旋转中面积不变模型 17 三.同步检测 24 （一）选择题（共八题，每小题4分，合计32分） 24 （二）填空题（共八题，每小题4分，合计32分） 30 （三）解答题（共四题，每小题9分，合计36分） 36 一.知识梳理 【知识点一】利用三角形全等测距离 1、方法：把不能直接测量的距离，通过构造全等三角形，转化为可以直接测量的距离； 2、依据：全等三角形的对应边相等； 3、常用的构造方法 倍长边长法 延长至使，延长至使，连接，则，从而得到。 垂直构造法 延长到点，过点作交和延长线于点。则，得到 视线转身法 保持视角不变（），转身测量（），利用身高不变（），则 【知识点二】全等的应用——特殊化策略 1、 数学思想：特殊到一般思想，遇到动态、旋转、一般情形难题时，先看特殊位置，得出结论，再推广到一般。 2、 特殊图形推广到一般图形 条件 正方形的顶点经过正方形中心 特殊图形 结论 重叠部分面积等于正方形ABCD面积的四分之一 一般图形 重叠部分面积 连接、，可得得到同样可得出 重叠部分面积等于正方形ABCD面积的四分之一 二、考点与题型精析 【考点一】利用三角形全等测距离 【题型 1】倍长边长法测距离 【例题1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面点E处同时施工，点E在AC的延长线上，工人师傅在线段AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长至点F，使得，连接ED并延长至点M，使得，连接MF，那么测量FM的长就是BE的长，请你用数学知识说明其中的道理． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，证明是解题的关键． 由题意可得、，再结合对顶角相等可得，然后利用“”证明可得． 解：由题意可得、， 由对顶角相等可得， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，要测量的长，因为无法过河接近点A，可以在所在直线外任取一点D，在的延长线上任取一点E，连接和，并且延长到G，使，延长到F，使，连接，并延长到H，使H、D、A在一条直线上，则，试说明理由． 【答案】理由见分析 【分析】根据边角边定理易得，即可得到，从而得到，得到，易得，即可得到答案； 解：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查三角形全等判定与性质，解题的关键是根据两次全等得到相应条件． 【变式2】（24-25七年级下·广东茂名·期末）如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为______ 【答案】40 【分析】证明，得到，由的周长为，可得，即，计算求出的长，进而可得结果． 本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 解：，， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， 即 故答案为： 【变式3】（24-25七年级下·广东佛山·期末）某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理证得，利用该全等三角形的对应边相等推知，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点， ∴，， 在与中 ， ， ∴ ∴， 故选：． 【题型 2】垂直构造法测距离 【例题2】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）为了测量平地上一个水池两边相对的两点间的距离，某数学兴趣活动小组开展了综合与实践活动． 【活动准备】 1．考察水池周围地理环境； 2．准备好皮尺、测角仪等测量工具． 【设计方案】 1．如图，在水池两边分别放置标识物，标识点A和点B； 2．在水池边的空地上作的垂线，在上取两点C，D，通过测量使； 3．过点D画出的垂线，并且使点E与点A，C在一条直线上． 【数据采集】经测量得出DE的长度为52米． 请根据以上信息，求A，B两点的距离． 【答案】A，B两点的距离为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，即可得出答案，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ∴，即A，B两点的距离为． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，要测量河两岸的两点，之间的距离，在AB的垂线BM上取两点，，使得，再过点作BM的垂线DN，并在DN上找出点，使，，在同一条直线上，这时测得，则河两岸的两点，之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质，将无法直接测量的长度转化为可测量的长度来求解． 解：因为，，所以． 又因为与是对顶角，根据对顶角相等，可得． 已知． 根据角边角（）全等判定定理，可推出． 由于全等三角形的对应边相等，且，因此． 已知，所以，故选B． 【点拨】本题核心是利用全等三角形的判定与性质，通过构造全等三角形将不可直接测量的距离（）转化为可测量的距离（），体现了“转化思想”在几何测量中的应用． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，小迪站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺、量角器等 测量方案 示意图 测量步骤 ①小迪沿堤岸走到电线杆旁； ②再往前走相同的距离，到达点； ③然后他向左直行，当他看到电线杆与游艇在一条直线上处时停下来． 测量数据 米，米，米，， 那么凉亭与游艇之间的距离是_____________米． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意画出图形是解答此题的关键．根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 解：米，米， ， ，， ， 在与中， ， ， （米）． 凉亭与游艇之间的距离是6米， 故答案为：6 【变式3】（24-25七年级下·全国·周测）“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”如下图，杜甫草堂的工作人员打算在A，B两点间建立一座观景桥，由于A，B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），项目活动报告如下： 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走15 m有一棵树C，继续前行15 m到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为5 m 任务 求河流的宽度 【答案】5 m 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等． 根据点，，在同一条直线上，，得，根据对顶角相等得，据此可依据“”判定，最后通过全等三角形的对应边相等求出河流的宽度． 解：依题意，得点，，在同一条直线上，，，， ∴． 在和中， ∴， ， 答：河流的宽度为． 【题型 3】视线转身法测距离 【例题3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）泾河以洪水猛烈、输沙量大著称（居全国江河支流之冠），是渭河和黄河主要洪水、泥沙来源之一．李刚和王烨两位同学想测量泾河某段的宽度，如图李刚在河岸边的点C处用测角仪测得视线与河岸之间的夹角的度数，王烨沿方向向前走，直到到达点D处时，李刚测得视线与河岸的夹角与相等，此时测得米，已知，，在一条直线上，请你求出泾河此段的宽度． 【答案】米 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等的性质和（）综合（或者）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又米， ∴米． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论． 解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴判定的理由是． 故选C． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下： ①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直； ②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上； ③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上； ④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度． 请用你学过的一个数学定理解释通过以上步骤能测得河流宽度的道理：________． 【答案】全等三角形的对应边相等． 【分析】本题考查了全等三角形的应用：构建全等三角形是解决问题的关键； 根据“”可判断人看对面的河岸边上一点所构成的直角三角形与人看自己所在岸的某一点上所构成的直角三角形全等，所以人看自己所在岸的某一点上的距离等于河流的宽度； 解：人保持姿势，转过一个角度说明看观察点的视线与人的夹角不变，而人的眼睛到地面的距离不变， 人看对面的河岸边上一点所构成的直角三角形与人看自己所在岸的某一点上所构成的直角三角形全等， 人看自己所在岸的某一点上的距离等于河流的宽度； 故答案为：全等三角形对应边相等 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·月考）小明、小亮为得到河流两岸，两处之间的距离（不可直接测量）进行了如下操作．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子的帽檐，使视线通过帽檐恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上）． （1）对于小明的做法，小亮思考如下，请将过程补充完整（括号内填依据）； 由题意得______________，且． 又因为小明直立在河岸边， 所以______________度， 所以______________（_____）． （2）已知小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步，求点，之间的距离． 【答案】（1）；；；；（2）米 【分析】本题考查全等三角形的应用， （1）根据垂直的定义和全等三角形的判定即可得到结论； （2）先确定的长，再根据全等三角形的性质可得结论； 熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 解：（1）解：由题意得，且． 又因为小明直立在河岸边， 所以度， 所以． 故答案为：；；；； （2）∵小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步， ∴， ∵， ∴（米）， ∴点，之间的距离为米． 【题型 4】其他构造方法测距离 【例题4】（25-26八年级上·山东日照·期末）项目背景，在学习了全等三角形后，综合实践小组的同学围绕“路灯高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 路灯高度的测量与计算 驱动问题 如何测量路灯的高度 活动内容 通过实地操作，运用全等三角形的知识计算路灯的高度 活动过程 操作过程及测量数据 1．在路灯前选定一点P，使，并测量出． 2．将竖直的竿子在的延长线上左右移动，调整位置使，此时测量．（图中所有点都在同一平面内） 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算路灯的高度， 【答案】路灯的高度是． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定．根据三角形的内角和定理易得，进而得到，再利用全等三角形的性质求解． 解：， ． 在和中， ， ， ． ， ，即． 答：路灯的高度是． 【变式1】（25-26九年级下·山西太原·月考）如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先理解题意，结合，，，证明，即可作答． 解：依题意，∵，，， ∴， ∴图中与全等的依据是． 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 【答案】6 【分析】根据入射角等于反射角得到，再证明三角形全等，即可解答． 解：由题意，得 ，     ，     在和中， ，     ， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期中）小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． （1）请补全方案中的空白①_____；②____； （2）请分别说明小刚这两种方案测量的理由； （3）你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 【答案】（1）①；②；（2）见分析；（3）方案二 【分析】本题考查了全等三角形的应用，读懂题意，找出全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到答案． （2）证明和全等，即可完成证明． （3）长度测量比角度测量更容易，故方案二更容易操作、测量的结果更准确． 解：（1）解：①；②． （2）解：理由如下， 方案一，在和中， ， ∴， ∴． 方案二，在和中， ， ∴， ∴． （3）解：方案二更容易操作、测量的结果更准确． 【考点二】特殊化策略 —— 定值问题 【题型 5】正方形旋转中面积不变模型 【例题5】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点E与正方形的中心重合．在正方形绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 【初步思考】如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为________ 【深入探究】当正方形旋转到如图1所示位置后，请你求出此时两个正方形重叠部分的面积； 【拓展应用】将n个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，分别是正方形的中心，请你直接写出n个这样的正方形重叠部分的面积之和． 【答案】初步思考：；深入探究：；拓展应用： 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，与图形有关的规律探究． 初步思考：连接，设交点为，证明，得到，由，即可解答； 深入探究：过点分别作，垂足分别为，设交点，证明，得到，由，同理初步思考得； 拓展应用：根据初步思考和深入探究得：重叠部分面积为，重叠部分面积为，重叠部分面积为，；重叠部分面积为，即可得出结果． 解：初步思考：如图，连接，设交点为， ∵正方形的顶点E与正方形的中心重合， ∴点为的交点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， 故答案为：； 深入探究：过点分别作，垂足分别为，设交点， ∵正方形的顶点E与正方形的中心重合， ∴点到的距离相等，即， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ， ， ∴， 同理初步思考得：， 故答案为：； 拓展应用：由初步思考和深入探究得： 重叠部分面积为， 重叠部分面积为， 重叠部分面积为， ； 重叠部分面积为， 则n个这样的正方形重叠部分的面积之和为． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）将个面积都是的正方形按如图所示的方法摆放，点、……分别是各正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形中的规律，根据每个阴影面积是正方形面积的即，根据规律一共有n个，计算即可． 解：如图，设第一个正方形的一个顶点为Ｆ，两个正方形的边的交点分别为点Ｄ和点Ｅ，过点作于点Ｂ，作于点Ｃ， ∵是正方形的中心，且每个大正方形的面积都是2， ∴，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵两个正方形构成一个1阴影，3个正方形构成2个阴影，4个正方形构成3个阴影， ∴个正方形构成n个阴影， ∴它们的和为， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，边长为的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边，分别相交于点M，N，图中阴影部分的面积记为，两条线段，的长度之和记为，将正方形绕点E逆时针转动适当角度，则有______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可． 解：如答图，连接． 边长为的正方形的中心与正方形的顶点重合，即点是正方形的中心， ， ∴． 又， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据题意补全证明过程即可； （2）根据（1）的结论即可求解； （3）如图4，构造正方形，点B为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据（1）的结论求解． 解：（1）证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又， ， 又， 且， ∴， ∴， ∴， 即正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一； （2）解：由（1）的结论可得，， 故答案为：9； （3）解：如图④，构造正方形，点B为正方形对角线的交点， 则， ， ∵， ∴， 由（1）可得，． 三.同步检测 （一）选择题（共八题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·云南文山·期末）如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由边角边证明可得答案． 解：∵，，， ∴． ∴. 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（    ） A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握 全等判定定理及全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据已知条件，寻找能证明三角形全等的要素，通过证明与全等，利用全等三角形的对应边相等，得出的长度． 解：在和中： ∴ ∴ ∵， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期末）某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理证得，利用该全等三角形的对应边相等推知，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点， ∴，， 在与中 ， ， ∴ ∴， 故选：． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，将题目中的实际问题转化为数学问题，是本题求解的关键． 首先根据已知条件，证明和全等，得到，进而得到答案． 解：由题意知，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河的宽度是米． 故选：B． 6．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．与全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法即可判断； 解：由题意可知：，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等， 故选：D． 7．（25-26八年级上·湖南·期末）如图所示，小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了步．如果小刚一步大约，估计小刚在点处时他与电线塔的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意先求得，证明），根据全等三角形的性质即可求解． 解：由题意可得，步， 步， ∵一步大约， ， 在与中， ，，， ）， ，即小刚在点处时他与电线塔的距离为． 故选：A． 8．（25-26八年级上·河北张家口·期末）要测量池塘两端点A，B间的距离，现有如下两种测量方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案Ⅰ：如图1． ①在平地上取一点O； ②连接，并延长到C，D两点，使，； ③连接，测量的长即可． 方案Ⅱ：如图2． ①在平地上取一点O； ②连接，在的延长线上取一点C，使； ③测量的长即可． A． Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． 对于方案Ⅰ：通过构造，，结合对顶角相等的条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，实现通过测量长度来间接得到长度的目的．对于方案Ⅱ：原始条件仅和，无法证明三角形全等． 解：方案Ⅰ：理由：在和中， ， ， ，故Ⅰ可行； 方案Ⅱ：仅和，无法证明三角形全等． 故选：A． （2） 填空题（共八题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，对顶角相等，连接，设与交于点，由为，中点，则，，然后证明，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴底部内径的长度为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的应用，根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 解：∵，，， ∴， ∴判定的理由是． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________． 【答案】12 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，证明即可解答． 解：由题意可知，，， ∴， ∴， 故答案为12． 12．（25-26八年级上·湖南永州·期末）同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键．利用可证，进而得到，即可求解． 解：∵由图可知，和为对顶角， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为______米． 【答案】1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据平面镜反射原理得到，可证，得到，即可得到答案． 解：根据题意得法线垂直镜面，且， ， ，， （米） 故答案为： ． 14．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 解：∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·辽宁铁岭·月考）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】/24厘米 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 16．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）如图①是一款折叠凳，图②是该折叠凳撑开后的侧面示意图（凳腿材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是凳腿的中点．为了使该折叠凳撑开后高度舒适，厂家将点到地面的距离设计为，则由以上信息可得撑开后凳面到地面的距离为___________． 【答案】40 【分析】本题考查了全等三角形的应用，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据中点定义求出，然后利用证明，根据全等三角形对应角相等得，则，再根据，，可得点M、O、N在同一条直线上，则，进而可得出答案． 解：如图，作于点M，于点N， 由题意得，，， ∵是凳腿的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴点M、O、N在同一条直线上， ∴， ∴凳面到地面的距离为． 故答案为：40． （3） 解答题（共四题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·广西贵港·期末）岳阳楼位于湖南省岳阳市岳阳楼区，地处岳阳古城西门城墙之上，因范仲淹作《岳阳楼记》著称于世，是古代四大名楼之一，设，两点分别为岳阳楼底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长； 乙：如图②，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，测出的长即可得线段的长； 问：甲、乙两位同学的方案都合理吗？请用所学知识分别论证． 【答案】合理，见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量可得结论，乙方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量可得结论． 解：答：①甲同学的方案合理． 证明：在与中， ， ， 测出的长即可得线段的长． ②乙同学的方案合理： ， ， 在与中， ， ， ． 测量的长即可得线段的长． 18．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，某公园有两个直角三角形花园（和），其中，两花园之间有一个水潭，园区工作人员计划在水潭上方修建一座小桥，现需测量水潭两侧D、E两点间的距离．已知围栏，且，．小明设计了如下测量方案：延长DC到点F，使得，连接．小明通过测量米，由此推断D、E两点间的距离为18米，请你说明该方案的原理． 【答案】说明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，得出，．再证明，即可说明米． 解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴米． 19．（25-26八年级上·河北衡水·期末）为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉和淇淇分别设计出如下两种方案． 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图    步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量，两点间的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量，两点间的距离即可． （1）以上两位同学方案可行的是________的方案，并仅对此方案的可行性说明理由； （2）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 【答案】（1）嘉嘉；见分析；（2）对淇淇方案增加“使”；见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、等），并能通过构造全等三角形将不可直接测量的线段转化为可测量线段是解题的关键． （1）对于嘉嘉的方案，通过构造、，结合对顶角相等的条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，实现通过测量长度来间接得到长度的目的． （2）对于淇淇的方案，原始条件仅和，无法证明三角形全等；通过增加的条件，构造出直角相等，结合已有条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，使方案可行． 解：（1）解：嘉嘉，理由：在和中， ， ， ，故嘉嘉的方案可行． （2）解：对淇淇方案增加“使”； 理由：， ， 在和中， ， ， ． 20．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图①是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小仁从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如下表所示： 测量 长度/m 15.0 15.0 17.5 17.5 6.0 24.0 小仁将示意图抽象成图②所示的图形．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 【答案】该广角灯的位置符合要求 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，连接，证明，得出，即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴该广角灯的位置符合要求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $