阶段专题培优：1-3单元应用题（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体正方体体积表面积计算，通过生活情境题系统训练空间观念与运算能力，提炼排水法、切割拼接等解题模型。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |体积计算|15题（如1、7、28题）|截正方体取最短棱，V=底面积×高|从棱长→体积公式→实际物体（水箱、石柱）应用| |表面积计算|10题（如2、13、16题）|拼接减接触面，无盖算5面|从表面积公式→切割/拼接变式→生活包装问题| |排水法应用|8题（如5、11、35题）|不规则体积=底面积×水面差|排水原理→完全/不完全浸没辨析→实验操作题| |综合实践|6题（如3、25、45题）|容器设计用图示法，最优方案需分类讨论|公式综合→空间想象→跨学科应用（如测量土豆体积）|

阶段专题培优：1-3单元应用题 1．将一个长8cm、宽5cm、高3cm的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是多少？结合下边的图想一想，再算一算。（单位cm） 2．如图：一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米。而原来长方体的长是宽的3倍，求新的长方体的表面积是多少平方厘米？ 3．一张长40cm，宽20cm的长方形铁皮，请你用它做一个深5cm的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计），你打算怎样设计方案？请画出示意图，并求出铁盒的容积。 4．在一个长9分米、宽6分米、高3分米的水槽中注满水后，放入两根长3分米、宽1.5分米、高4分米的小石柱，水槽溢出的水的体积是多少？ 5．下面是小东比较一个土豆和一个红薯的体积时做的实验，红薯的体积比土豆的体积大多少？（如图，单位：厘米） 6．红星小学要建一个长80米、宽60米的长方形足球场，先要铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？ 7．将64升水倒入一个长8分米，宽2.5分米，高4分米的长方体水箱内，这时水高多少分米？ 8．一块铁块的体积为500立方厘米，完全浸没在装有水的正方体容器中，该容器的棱长为10厘米（容器的厚度忽略不计）。如果原来水深4厘米，那么现在水深几厘米？ 9．有一根铁丝长150cm，用这根铁丝焊成了一个正方体的框架，还剩下铁丝6cm．这个正方体框架的棱长是多少？ 10．如下图，有一个长方体容器，其中一个侧面有一个边长3cm的正方形开口，往容器里放了一些水，然后将容器倒过来摆放，水会减少704cm3。这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器厚度不计） 11．在一个底面积为16平方分米的容器内，水深8厘米，向里面放入一个铁块，铁块被淹没，水面上升到13厘米处，这个铁块的体积是多少？ 12．一个花坛，高0.8米，底面是边长1.4米的正方形，四周都用木条围成。这个花坛占地是多少平方米？若用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米的泥土？（木条的厚度忽略不计） 13．一个长方体，如果高减少4厘米，就变成一个正方体，这时表面积减少96平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 14．10月18日是倩倩妈妈的生日，倩倩用平时积攒的零花钱给妈妈买了一个蛋糕。用彩带将蛋糕盒捆扎起来，打结处用去18厘米，共用彩带多少厘米？ 15．用9个棱长是的正方体拼成一个长方体（如图），这个长方体的表面积是多少平方厘米？请你用列表的方式探究一下：如果拿走一个正方体，剩下的几何体的表面积分别是多少？ 16．用一张长90厘米、宽80厘米的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长10厘米的小正方形（如图），焊接成一个无盖的铁皮箱，这个铁皮箱的表面积是多少平方厘米？它的容积是多少升？如果每升装机油0.8千克，可以装机油多少千克？ 17．一个长、宽、高分别是50厘米、40厘米、25厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？ 18．实验小学有一间长12米，宽6米、高3.5米的美术活动室。 （1）这间活动室的占地面积有多大？ （2）现在要在这间活动室四壁贴1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积6平方米。这间活动室贴瓷砖的面积是多少？ （3）这间活动室的空间有多大？ 19．在学过排水法测量体积之后，红红想测量家中一个土豆的体积。她拿出一个可封闭的长方体玻璃缸，并注入水，如下左图所示。可这时水面高度只有3厘米，放入土豆后无法淹没土豆。红红灵机一动，扣好盖子把玻璃缸立了起来，如下右图。请求出这个土豆的体积。    20．一个长方体如下图所示，如果高增加3厘米，就变成了正方体，且表面积比原来增加120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？    21．五（1）班45名同学到野外采集植物标本．如果每2人分一组，每组人数相等吗？如果每5人分一组，每组人数相等吗？ 22．一个长方形的周长是40厘米，长和宽中有一个是质数有一个是合数，这个长方形的面积最大是多少？最小是多少？ 23．一个正方体墨水盒，棱长为6厘米。制作这个墨水盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 24．一大桶矿泉水的容积是18升，一瓶矿泉水的容积是1500毫升，将一大桶矿泉水倒在矿泉水瓶中，可以倒满几瓶？ 25．腊八蒜是中国传统美食，妈妈用一个长方体容器泡腊八蒜，这个容器长9cm，宽7cm。妈妈向这个容器里倒了一些醋，出现左右两个液面是正方形的情况（如图1）。这时妈妈又将一些蒜瓣放入醋中，恰好又出现前后两个液面是正方形的情况（如图2）。这些蒜瓣的体积是多少立方厘米？（容器壁厚度忽略不计） 26．（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 27．长12米，宽5米，高3米的教室，抹上石灰，扣除门窗黑板面积9.8平方米，抹石灰的面积有多少平方米？ 28．一个长方体水槽长18cm，宽12cm，高10cm，里面水深6cm．将一块铁放入并完全被水浸没后，水面升到8cm处．这块铁的体积是多少？ 29．学校要砌一道长15m，厚24cm，高3.5m的砖墙。如果每立方米用砖525块，一共要用砖多少块？ 30．一个正方体钢坯棱长6分米，把它锻造成横截面是边长为3厘米的正方形的长方体钢材，钢材长多少米？ 31．一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，原来水深10厘米，放入一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，那么这时水面高几厘米？ 32．有一个长40厘米、宽30厘米、高20厘米的长方体容器，容器中的水深10厘米。在容器中放入一个底面积为200平方厘米、高15厘米的长方体铁块，求水面上升的高度。 33．有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 34．老师买回一些学习用品（数量相同）。老师付给营业员100元，找回28元，请问找回的钱对不对，你是怎么判断出来的？ 35．周星为了得到一块石头的体积，做了下面的实验：在一个长是16厘米，宽是15厘米，高是25厘米的长方体槽中注入一些水，测得水深是15厘米，然后把石块全部浸入水中，此时测得水的高度是18厘米。请你帮周星算一算，这块石头的体积是多少立方厘米？ 36．甲、乙两个容器，甲容器长64分米，宽3米，高3米，里面的水达到了2.9米高，乙容器长3.6米，宽和甲容器一样，高6米，里面的水达到了2.4米，要从甲容器中取出多少米深度的水放到乙容器中，才能使两个容器的水一样高？ 37．张军家有一个长方体无盖鱼缸，长6分米，宽5分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入2.5分米深的水，鱼缸里的水是多少立方分米？（玻璃的厚度忽略不计） 38．在一个棱长是2分米的正方体玻璃水槽中放入一块青铜，这时水面上升了10厘米。（水槽的厚度忽略不计） （1）求这块青铜的体积。 （2）如果每立方分米青铜重8.5千克，那么这块青铜重多少千克？ 39．一个长方体游泳池长50米，宽30米，深2米，游泳池的水位高1.5米。 （1）在游泳池的四周池壁上铺瓷砖，一共铺了多少平方米的瓷砖？ （2）现在游泳池内有水多少立方米？ 40．如图所示，一个透明的密封长方体容器，从里面量，长12cm，宽10cm，高15cm，容器中水深6cm。如果长方体容器向右侧倒（右侧面为底面）置桌子平面上，水的高度会是多少厘米？ 41．把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是180平方分米，原来每个正方体的表面积是多少平方分米？ 42．一根7.2m长的长方体木料，把它平均锯成3段，表面积正好增加48dm2，这根木料的体积是多少立方米？ 43．张叔叔在厨房的灶台上安装了一个长方体形状的防油烟玻璃罩，这个玻璃罩只有左面、右面和后面，示意图如下，做这个玻璃罩一共要用多少平方米的玻璃？ 44．将一个体积是360立方厘米的铁块放入一个长方体容器中，完全浸入水中后，水面上升4厘米水未溢出。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？ 45．商店用一种长方体纸箱装饼干，纸箱从里面测量长是48厘米，宽是24厘米，高是14厘米。饼干包装盒从外面测量是一个长8厘米，宽8厘米，高3厘米的小长方体。 （1）做这个纸箱需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）这个纸箱最多能装多少盒饼干？请简要说出怎样摆放？ 46．一个底面积是72平方厘米的长方体容器内装了一些水，在里面放入一个棱长是6厘米的正方体铁块，水刚好淹没这个正方体。容器内原有水多少立方厘米？ 47．在广场一侧建一个正方体的标志物（见图）。这个正方体的棱长是1.5米，体积是多少立方米？如果把这个正方体的4面镀上金色，2面刻上主题花纹，请问金色的面积是多少平方米？ 48．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？ 49．冰雪大世界每年用的冰大约能融化成6万立方米的水，这相当于多少个长50米、宽25米、深1.2米的水池的蓄水量？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．27cm3 【分析】从一个长8cm、宽5cm、高3cm的长方体中截出一个体积最大的正方体，这个正方体的体积的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答即可。 【详解】3×3×3＝27（cm3） 答：这个正方体的体积是27cm3。 【点睛】此题主要考查正方体的体积公式的灵活运用，应明确：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 2．270平方厘米 【分析】拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米，是指增加了正方体的4个面的面积；由此即可求出正方体的一个面的面积是60÷4＝15平方厘米，观察图形可知，原来的长方体的宽与高与正方体的棱长相等，原长方体的长是宽和高的3倍，所以原长方体的表面积是14个小正方体的面的面积之和，由此看求出原长方体的表面积是14×15＝210平方厘米，再加上增加的60平方厘米，就是新长方体的表面积。 【详解】60÷4×14＋60 ＝210＋60 ＝270（平方厘米） 答：新长方体的表面积是270平方厘米。 【点睛】解答此题要注意结合图形特点，得出原长方体的表面积是14个正方体面的面积之和是解答此题的关键。 3．见详解；1500毫升 【分析】在四个角各剪去一个边长为5厘米的正方形，则得到的长方体的长宽高分别为：40－5×2＝30厘米，20－5×2＝10厘米，5厘米，利用长方体的体积公式即可求解。 【详解】如图所示： （40－5×2）×（20－5×2）×5 ＝30×10×5 ＝1500（毫升） 答：铁盒的容积是1500毫升。 【点睛】此题主要考查长方体的体积的计算方法的灵活应用。 4．27立方分米 【分析】因为原来水槽中的水是满的，所以水槽中溢出水的体积就是两根小石柱的体积，又因为水槽的高度小于小石柱的高度，所以求得是高3dm的两根小石柱的体积，根据长方体体积公式计算即可。 【详解】3×1.5×3×2 ＝4.5×3×2 ＝27（立方分米） 答：水槽溢出的水的体积是27立方分米。 5．100立方厘米 【分析】土豆的体积等于排开水的体积，即上升部分水的体积，据此利用长方体的体积公式即可解答； 然后用容器的底面积×（加入红薯后水的高度－加入土豆后水的高度）即可计算出红薯的体积。最后用红薯的体积减土豆的体积即可解答。 【详解】土豆：10×10×（9.5－8） ＝100×1.5 ＝150（立方厘米） 红薯：10×10×（12－9.5） ＝100×2.5 ＝250（立方厘米） 250－150＝100（立方厘米） 答：红薯的体积比土豆的体积大100立方厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积的灵活应用和体积的等积变形，注意物体的体积等于上升水的体积。 6．240立方米；576立方米 【分析】根据1米＝100厘米，统一单位，煤渣和三合土的厚相当于长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出煤渣、三合土的体积即可。 【详解】5厘米＝0.05米、12厘米＝0.12米 80×60×0.05＝240（立方米） 80×60×0.12＝576（立方米） 答：需要煤渣240立方米、三合土576立方米。 7．3.2分米 【分析】先用长乘宽求出长方体的底面积，把水倒入后，根据长方体的体积公式：V＝Sh可知，用水的体积除以底面积，即可求出水面的高度。 【详解】64升＝64立方分米 64÷（8×2.5） ＝64÷20 ＝3.2（分米） 答：这时水高3.2分米。 【点睛】此题的解题关键是通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式求解。 8．9厘米 【分析】根据题意，把一块铁块完全浸没在装有水的正方体容器中，那么水上升部分的体积等于这块铁块的体积500立方厘米；又已知正方体容器的底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，则容器的底面积是（10×10）平方厘米；然后根据长方体的高h＝V÷S，求出水上升的高度，再加上原来的水深，即是现在的水深。 【详解】500÷（10×10）＋4 ＝500÷100＋4 ＝5＋4 ＝9（厘米） 答：现在水深9厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，明确铁块的体积等于水上升部分的体积。 9．12cm 【详解】（150-6）÷12=12（cm） 10．960立方厘米 【分析】正着放和倒着放，底面积相同，高减少了15－4厘米，用减少的体积÷减少的高＝长方体底面积，长方体底面积×原来的高＝最初水的体积。 【详解】704÷（15－4） ＝704÷11 ＝64（平方厘米） 64×15＝960（立方厘米） 答：这个容器最初放了960立方厘米的水 【点睛】关键是掌握长方体体积公式，长方体体积＝底面积×高。 11．8000立方厘米 【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【详解】16平方分米＝1600平方厘米 1600×（13－8） ＝1600×5 ＝8000（立方厘米） 答：这个铁块的体积是8000立方厘米。 【点睛】本题考查求不规则物体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键。 12．1.96平方米；1.568立方米 【分析】这个花坛占地面积，实际上是求长方体花坛的底面积，利用正方形的面积公式即可求出；求泥土的体积，实际上是求长方体花坛的容积，根据长方体的体积（容积）公式：V＝Sh，代入数据，即可得解。 【详解】1.4×1.4＝1.96（平方米） 0.8×1.96＝1.568（立方米） 答：这个花坛占地是1.96平方米，大约需要1.568立方米的泥土。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方形的面积和正方体的体积（容积）公式解决实际的问题。 13．360立方厘米 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。根据题意，高减少4厘米，这时表面积比原来减少了96平方厘米。表面积减少的是高为4厘米的长方体的4个侧面的面积。首先求出减少部分的1个侧面的面积，96÷4＝24平方厘米；由已知如果高减少4厘米，就成为一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；根据长方形的面积公式S＝ab，用24÷4＝6厘米，原来长方体的底面边长就是6厘米。原来的高是6＋4＝10厘米，再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】原来长方体的底面边长是： 96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（厘米） 高是：6＋4＝10（厘米） 原来长方体的体积是： 6×6×10＝360（立方厘米） 答：原来长方体的体积是360立方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高，再根据长方体的体积公式解答即可。 14．288cm 【分析】根据图可知，共用的彩带的长度＝2个长＋4个宽＋6个高＋打结处的长度。据此解答即可。 【详解】50×2＋20×4＋15×6＋18 ＝100＋80＋90＋18 ＝288（cm） 答：共用彩带288厘米。 15．；列表探究：见详解 【分析】求若干个小正方体拼成长方体的表面积时有两种不同的方法。第一种方法：找到新的长方体的长、宽、高，利用长方体表面积的计算方法求得；第二种方法：数出新的长方体一共有多少个小正方形的面，再用每一面的面积乘一共的面数； 如果拿走四个角上的任意一个正方体，表面积就会在原有表面积的基础上，减少2个正方形的面；如果拿走某边上中间的一个正方体，表面积不发生变化；如果拿走正中间的那一个正方体，表面积就会在原有表面积的基础上，增加2个正方形的面。 【详解】； ＝240×2 ＝480（平方厘米）； 答：这个长方体的表面积是； 如果拿走1号（或3号或7号或9号），剩下的几何体的表面积： ＝480－32 ＝448（平方厘米）； 如果拿走2号（或4号或6号或8号），剩下的几何体的表面积（利用第二种求表面积的方法）： 4×4×8×2＋4×4×6×2＋4×4×2 ＝256＋192＋32 ＝480（平方厘米）； 如果拿走5号，剩下的几何体的表面积： ＝480＋32 ＝512（平方厘米）； 拿走的正方体的号码 剩下的几何体的表面积 1号（或3号或7号或9号） 448平方厘米 2号（或4号或6号或8号） 480平方厘米 5号 512平方厘米 【点睛】本题第二问一定要分情况讨论，采用表格的方式探究第二问，会使得思考过程更为有序，在探究的过程中，既可以采用第二种方法来计算剩下的不规则几何体的表面积，也可以思考拿走一个正方体后，表面积有什么变化，从而求出新的几何体的表面积。 16．6800平方厘米；42升；33.6千克 【分析】铁皮箱的表面积＝长方形铁皮的面积－4个小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×4，代入数据计算即可求出这个铁皮箱的表面积；从图中可以看出，焊接成的铁皮箱是一个长为（90－10×2）厘米，宽为（80－10×2）厘米，高为10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出铁皮箱的体积；再根据进率：1升＝1000立方厘米，将体积换算成“升”，最后乘每升装机油的质量，求出这个铁皮箱可以装机油的质量。 【详解】 （平方厘米） （立方厘米） 42000立方厘米＝42升 （千克） 答：这个铁皮箱的表面积是6800平方厘米，它的容积是42升，可以装机油33.6千克。 【点睛】灵活运用长方体表面积、体积公式是解题的关键。 17．460厘米 【分析】长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此求出小纸箱的棱长和，即需要的胶带长度。 【详解】（50＋40＋25）×4 ＝115×4 ＝460（厘米） 答：至少需要460厘米的胶带。 【点睛】本题考查了长方体的棱长和，掌握棱长和公式是解题的关键。 18．（1）72平方米 （2）37.2平方米 （3）252立方米 【分析】（1）求这间活动室的占地面积，就是求长方体的底面积，用“长×宽”，代入数据计算即可； （2）在这间活动室四壁贴1.2米高的瓷砖，即贴瓷砖的是长方体的前后面、左右面共4个面，根据“（长×高＋宽×高）×2”求出这4个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是贴瓷砖的面积； （3）求这间活动室的空间有多大，就是求这间长方体教室的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】（1）12×6＝72（平方米） 答：这间活动室的占地面积有72平方米。 （2）（12×1.2＋6×1.2）×2 ＝（14.4＋7.2）×2 ＝21.6×2 ＝43.2（平方米） 43.2－6＝37.2（平方米） 答：这间活动室贴瓷砖的面积是37.2平方米。 （3）12×6×3.5 ＝72×3.5 ＝252（立方米） 答：这间活动室的空间有252立方米。 【点睛】掌握长方体的特征，以及灵活运用长方体的底面积、表面积、体积的计算公式是解题的关键。 19．600立方厘米 【分析】先分析左图情况：左图中玻璃缸长30厘米，宽10厘米，水面高度3厘米。根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，此时水的体积为30×10×3＝900（立方厘米）； 再分析右图情况：右图中玻璃缸长10厘米，宽10厘米，水面高度15厘米。此时水和土豆的总体积为10×10×15＝1500（立方厘米）； 最后求土豆体积：用右图中水和土豆的总体积减去左图中水的体积，即土豆的体积为1500－900＝600（立方厘米） 【详解】计算左图水的体积： V1＝30×10×3 ＝300×3 ＝900（立方厘米） 计算右图水和土豆总体积： V2＝10×10×15 ＝100×15 ＝1500（立方厘米） 土豆体积：V＝V2－V1＝1500－900＝600（立方厘米） 这个土豆的体积为600立方厘米。 20．700立方厘米 【分析】增加的是4个小长方形的面积和。因为高增加3厘米后变成了正方体，所以原长方体的长和宽相等，得出增加的4个面的面积相等。表面积增加了120平方厘米，用120÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷3求出小长方形的长、宽，即求长（或宽）列式为120÷4÷3，再根据原来的高比长少3厘米求出原来的高，最后运用长方体的体积计算公式求出原长方体的体积。 【详解】长（或宽）：120÷4÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 高：10－3＝7（厘米） 体积：10×10×7 ＝100×7 ＝700（立方厘米） 答：原来长方体的体积是700立方厘米。 【点睛】一个长方体高增加一段，表面积增加的部分是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 21．2人分一组，每组人数不相等；5人分一组，每组人数相等． 【详解】45个位不是0、2、4、6、8，它不是2的倍数，每组2人分一组，每组人数不相等；45个位上是5，它是5的倍数，每组5人分一组，每组人数相等． 22．99平方厘米；36平方厘米 【分析】根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”，先用周长除以2，求出长与宽的和；找出和为该数的所有长、宽组合，找到一个质数×一个合数这样的组合； 最后根据“长方形面积＝长×宽”分别计算面积，找出最大和最小面积。一般地，当长和宽长度最相近时，面积最大；长和宽差得最远时，面积最小。 【详解】长与宽的和为40÷2＝20（厘米）。 找出和是20，一个质数、一个合数的组合： 20＝2＋18 20＝5＋15 20＝9＋11 2×18＝36（平方厘米） 9×11＝99（平方厘米） 答：这个长方形的面积最大是99平方厘米，最小是36平方厘米。 23．216平方厘米 【分析】求制作这个正方体墨水盒至少需要硬纸板的面积，就是求正方体的表面积；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 答：制作这个墨水盒至少需要216平方厘米的硬纸板。 【点睛】掌握正方体表面积的计算方法是解题的关键。 24．12瓶 【分析】先根据“1升＝1000毫升”把高级单位转化为低级单位，再用大桶矿泉水的容积除以矿泉水瓶的容积，据此解答。 【详解】18升＝18000毫升 18000÷1500＝12（瓶） 答：可以倒满12瓶。 【点睛】掌握容积单位之间的进率和高低级单位之间转化的方法是解答题目的关键。 25．126立方厘米 【分析】长方体容器长9厘米、宽7厘米，图1中“左右两个液面是正方形”，说明液面高度＝容器的宽。图1中液面高度为7cm，此时醋的体积对应“长9厘米、宽7厘米、高7厘米”的长方体。利用长方体的计算公式：V＝a×b×h，计算出图1液体的体积。图2中“前后两个液面是正方形”，说明液面高度＝容器的长，所以高＝长＝9厘米。图2中液面高度为9厘米，此时醋和蒜瓣的总体积对应“长9厘米、宽7厘米、高9厘米”的长方体。同样根据V＝a×b×h，计算出图2的体积。最后用图2的体积减图1的体积即可得出蒜瓣的体积。 【详解】图1的体积：9×7×7＝441（立方厘米） 图2的体积：9×7×9＝567（立方厘米） 蒜瓣的体积：567－441＝126（立方厘米） 答：这些蒜瓣的体积是126立方厘米。 26．（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【分析】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【详解】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【点睛】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 27．152.2平方米 【分析】教室可以看作是一个长方体，长方体表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，需要抹石灰的面积是教室的表面积减去地板面积，再减去门窗黑板面积，据此求解。 【详解】（12×5＋5×3＋12×3）×2－12×5－9.8 ＝222－60－9.8 ＝152.2（平方米） 答：抹石灰的面积有152.2平方米。 【点睛】解答此题的关键是明白：需要抹石灰的面积是教室的表面积减去地板面积，再减去门窗黑板面积。 28．解：8-6=2(cm) 18×12×2=432(cm3) 答：铁块的体积是432cm3．   【详解】因为铁块完全浸没水中，所以铁块的体积就是水面上升部分水的体积，由此计算出水面上升部分水的体积即可． 29．6615块 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，求出砖墙的体积，然后再乘525即可解答。 【详解】24cm＝0.24m 15×0.24×3.5×525 ＝3.6×3.5×525 ＝12.6×525 ＝6615（块） 答：一共要用砖6615块。 【点睛】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 30．240米 【详解】6分米＝60厘米 60×60×60÷(3×3)＝24000(厘米)    24000厘米＝240米 31．15厘米 【分析】根据长方体的体积公式可以求出水箱内水的体积;放进去棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，说明这时候水的体积没变，但是水箱的底面积变小了，利用h=V +S,从而可以求出水此时的高度，由此解决问题. 【详解】水箱的底面积是40×30 = 1200（平方厘米), 水的体积是1200×10 = 12000（立方厘米) , 铁块的底面积是20×20= 400(平方厘米) , 放入铁块后，水箱的底面积变成了1200-400= 800(平方厘米)， 这时水面高12000÷800=15(厘米)， 答:这时水面高为15厘米． 32．2厘米 【分析】题干中没有注明是否完全浸没，首先假设完全浸没，长方体铁块完全浸没在水中会使与之体积相同的水上升，已知上升的水（铁块）的体积和容器底面积，即可求出上升的高度。根据长方体的体积V＝Sh，求出长方体铁块的体积，再用长方体铁块的体积÷长方体容器底面积＝水面上升高度。通过判断水面上升的高度，来判断是否完全浸没，如果完全浸没，则计算结束； 如果没有完全浸没，则根据放入前后水的体积不变，但是放入长方体铁块之后，长方体容器的底面积变小了，由此用水的体积÷（长方体容器底面积－长方体铁块的底面积）得出此时水面的高度，再减去原水面高度即可得出水面上升的高度。 【详解】假设铁块完全浸没： 200×15÷（40×30） ＝3000÷1200 ＝2.5（厘米） 10＋2.5＝12.5（厘米） 12.5厘米＜15厘米 所以，说明铁块没有完全浸没。 40×30×10÷（40×30－200） ＝12000÷（1200－200） ＝12000÷1000 ＝12（厘米） 12－10＝2（厘米） 答：水面上升的高度是2厘米。 【点睛】本题中没有注明铁块是否完全浸没，因此应该先假设其完全浸没，然后通过计算结果来判断其是否完全浸没。铁块完全浸没与否，需要使用两种不同的计算方法，所以判断其是否完全浸没至关重要。 33．厘米 【分析】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积就等于所沉入的碎石的体积。因此，沉入在中水池中的碎石的体积是：3×3×0.06＝0.54（立方米），而沉入小水池中的碎石的体积是：2×2×0.04＝0.16（立方米），这两堆碎石的体积一共是：0.54＋0.16＝0.7（立方米）。把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7立方米。而大水池的底面积是：6×6＝36（平方米），所以大水池的水面升高了（0.7÷36）米，再换算成厘米即可。 【详解】6厘米＝0.06米，4厘米＝0.04米 3×3×0.06＝0.54（立方米） 2×2×0.04＝0.16（立方米） 0.54＋0.16＝0.7（立方米） 0.7÷（6×6） ＝0.7÷36 ＝（米） ＝（厘米） ＝ （厘米） 答：大水池的水面升高了厘米。 【点睛】本题关键是明确水面升高所增加的体积就等于所沉入的碎石的体积。 34．对 【分析】根据题意可知，花了100﹣28＝72元，因为学习用品的数量都相同，所以花的钱数应是10＋5＋3＝18的倍数，所以判断72是否是18的倍数即可。本题主要考查求一个数的倍数是方法。找出花的钱数是否是18的倍数是解答本题的关键。 【详解】花了：100﹣28＝72（元）， 因为学习用品的数量都相同，所以花的钱数应是10＋5＋3＝18的倍数， 72是18的4倍，即买回的一些学习用品的数量都是4， 所以，找回的钱对。 答：找回的钱对。 【点睛】本题主要考查了对倍数的应用，能正确判断72是18的倍数是本题的关键。 35．720立方厘米 【分析】石头的体积等于水面上升部分的体积，先用放入石块后水的高度减去放入前水的高度求出水面上升的高度，再根据长方体体积＝长×宽×上升高度，求出上升水的体积，也就是石头的体积。 【详解】16×15×（18－15） ＝16×15×3 ＝240×3 ＝720（立方厘米） 答：这块石头的体积是720立方厘米。 36．0.18米 【分析】已知甲、乙容器的长、宽和水的高度，根据长方体的体积公式即可求出甲容器中水的体积和乙容器中水的体积，要使甲容器中的水高度和乙容器中水高度一样，根据（甲的底面积＋乙的底面积）×水一样的高度＝总的水的体积和，则用甲、乙容器水的体积和除以它们的底面积和，即可得水一样高时的高度，然后用甲容器水原来的高度减去水一样高时的高度，即可得从甲容器中取出多少米深度的水放到乙容器中，才能使两个容器的水一样高。 【详解】64分米＝6.4米 6.4×3×2.9＋3.6×3×2.4 ＝55.68＋25.92 ＝81.6（立方米） 81.6÷（6.4×3＋3.6×3） ＝81.6÷（19.2＋10.8） ＝81.6÷30 ＝2.72（米） 2.9－2.72＝0.18（米） 答：从甲容器中取出0.18米深度的水放到乙容器中，才能使两个容器的水一样高。 【点睛】本题考查了长方体体积公式的灵活应用以及体积的等积变形，注意（甲的底面积＋乙的底面积）×水一样的高度＝总的水的体积和。 37．（1）118平方分米 （2）75立方分米 【分析】（1）求做这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求这个长方体无盖鱼缸的表面积，根据长方表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）求鱼缸里注入2.5分米深的水，求鱼缸里的水的体积，就是求长是6分米，宽是5分米，高是2.5分米的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（1）6×5＋（6×4＋5×4）×2 ＝30＋（24＋20）×2 ＝30＋44×2 ＝30＋88 ＝118（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃118平方分米。 （2）6×5×2.5 ＝30×2.5 ＝75（立方分米） 答：鱼缸里的水是75立方分米。 38．（1）4立方分米 （2）34千克 【分析】（1）青铜的体积就是水面上升10厘米的水的体积，由此利用长方体的体积公式即可解答。 （2）用这块青铜的体积乘每立方分米青铜的重量，即可得解。 【详解】（1）10厘米＝1分米 2×2×1＝4（立方分米） 答：这块青铜的体积是4立方分米。 （2）4×8.5＝34（千克） 答：这块青铜重34千克。 【点睛】此题考查长方体的体积公式的计算应用，根据题干得出上升部分水的体积就等于青铜的体积是解决本题的关键。 39．（1）320平方米；（2）2250立方米 【分析】（1）在游泳池的四周池壁上铺瓷砖，铺瓷砖的面积实际上是求4个侧面的面积之和，根据长方体的表面积公式变换可得：S＝2ah＋2bh，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答即可。 【详解】（1）50×2×2＋30×2×2 ＝200＋120 ＝320（平方米） 答：一共铺了320平方米的瓷砖。 （2）50×30×1.5 ＝1500×1.5 ＝2250（立方米） 答：现在游泳池内有水2250立方米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 40．4.8厘米 【分析】先根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体内水的体积，由于水的体积不变，把长方体的右面作为底面，所以用水的体积除以右面那个面的底面积就是水面的高度，据此解答。 【详解】12×10×6÷（10×15） ＝720÷150 ＝4.8（厘米） 答：水的高度会是4.8厘米。 【点睛】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（右面的面积），就是水面的高度。 41．108平方分米 【分析】把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，则长方体的表面积相对于两个正方体减少了2个面的面积，即有10个面组成。已知长方体表面积，可得出每个正方体面的面积，据此可得出每个正方体的表面积。 【详解】把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，则减少了两个面的面积，即有10个面的面积。故： （平方分米）。 答：原来每个正方体的表面积是108平方分米。 【点睛】本题主要考查的是长方体、正方体的表面积及拼接，解题的关键是理解题干中拼接为长方体后，表面积减少了2个面的面积，进而得出答案。 42．0.864立方米 【分析】首先要统一单位，把48平方分米化成与问题相对应的单位：平方米。然后发现这0.48平方米是锯成3段后增加的表面积，我们知道，1锯会增加2个面的面积，而锯成3段，只需2锯，即一共增加了4个面的面积。故可先求出1个面的面积是多少，再与长度相乘，就是长方体木料的体积。 【详解】48平方分米＝0.48平方米 0.48÷[（3－1）×2]×7.2 ＝0.48÷4×7.2 ＝0.12×7.2 ＝0.864（立方米） 答：这根木料的体积是0.864立方米。 【点睛】易错点：①忽视4.8平方分米的单位与问题单位立方米不对应；②误以为锯成3段，需要锯3下，其实只要锯2下就行。不要小看这些细节，很容易出错。 43．1.33平方米 【分析】观察这个长方体玻璃罩，只有左面、右面和后面三个面的面积，左面和右面的面积利用（0.7×0.5）可求出，后面的面积可利用（0.9×0.7）求出，再把三个面的面积加起来，即可求出做这个玻璃罩一共要用多少平方米的玻璃。 【详解】0.7×0.5×2＋0.9×0.7 ＝0.7＋0.63 ＝1.33（平方米） 答：做这个玻璃罩一共要用1.33平方米的玻璃。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式解决实际的问题。 44．90平方厘米 【分析】因为铁块完全浸入水中后，上升的水的体积等于铁块的体积，用上升的水的体积除以上升的水的高度就是长方体容器的底面积。 【详解】360÷4＝90（平方厘米） 答：这个长方体容器的底面积是90平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是明确上升的水的体积等于铁块的体积。 45．（1）4320平方厘米； （2）84盒；先把饼干横着摆2层，再竖着摆1层 【分析】（1）根据长方体表面积公式：S长方体＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，代入数据计算即可； （2）结合题目里的数据，可试着先把饼干盒平放，长8厘米对应纸箱的长48厘米、宽8厘米对应纸箱的宽24厘米、高3厘米对应纸箱的高14厘米；14－3×2＝8（厘米），这样一来，在摆完两层后，能发现纸箱剩下的高恰好能对应饼干盒的长和宽，所以就可以把饼干盒竖起来摆放，就是把饼干盒的宽8厘米对应纸箱的高8厘米；①可以把饼干盒的长8厘米对应纸箱的长48厘米、高3厘米对应纸箱的宽24厘米，②也可以把饼干盒的高3厘米对应纸箱的长48厘米、长8厘米对应纸箱的宽24厘米；这样能充分利用空间。 【详解】（1）（24×48＋48×14＋24×14）×2 ＝（1152＋672＋336）×2 ＝2160×2 ＝4320（平方厘米） 答：做这个纸箱需要4320平方厘米的硬纸板。 （2）先横着摆两层 （48÷8）×（24÷8）×2 ＝6×3×2 ＝36（盒） 14－3×2 ＝14－6 ＝8（厘米） 再竖着摆一层 （48÷3）×（24÷8）×（8÷8） ＝16×3×1 ＝48（盒） 36＋48＝84（盒） 答：这个纸箱最多能装84盒饼干。先把饼干横着摆2层，再竖着摆1层，正好摆满。 【点睛】最后一问充分考查了空间想象能力，可结合画图法，在纸上分析、推理、计算得出结论；能够体会到要结合实际数据来灵活处理问题的方法。 46．216立方厘米 【分析】根据长方体的体积公式：，求出放入一个棱长是6厘米的正方体铁块，水和正方体铁块一共的体积，根据正方体的体积公式：，求出正方体铁块的体积，两者相减即可得到容器里原来有多少水，据此解答。 【详解】72×6－6×6×6 ＝432－216 ＝216（立方厘米） 答：容器里原来有216立方厘米水。 【点睛】此题考查的目的是掌握长方体、正方体的体积计算公式，并且能够利用它们的体积计算方法，解决有关的实际问题。 47．3.375立方米；9平方米 【分析】根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”，求出体积即可；用“棱长×棱长”求出一个正方形面的面积，再乘4即可求出镀上金色的面积。 【详解】1.5×1.5×1.5 ＝2.25×1.5 ＝3.375（立方米）； 答：体积是3.375立方米； 1.5×1.5×4 ＝2.25×4 ＝9（平方米）； 答：金色的面积是9平方米。 【点睛】本题较易，熟练掌握正方体体积计算公式以及正方形面积计算公式是解答本题的关键。 48．立方厘米 【分析】根据题意，前面和上面两个面面积和为209，就是长×高＋长×宽＝209，长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，据此确定这个长方形的长、宽、高各是多少厘米，然后根据长方体体积的计算方法进行计算即可。 【详解】由分析可知，长×高＋长×宽＝209， 长×（高＋宽）＝209， 209＝19×11， 要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19 11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不管怎么组合都有合数， 所以，宽＋高＝19符合要求， 19＝2＋17＝3＋16＝4＋15＝5＋14＝6＋13＝7＋12＝8＋11＝9＋10，只有2＋17的组合都是质数， 宽、高分别为2厘米、17厘米， 209÷19＝11（厘米） 所以，这个长方体的长是11厘米。 体积：11×17×2 ＝187×2 ＝374（立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 【点睛】本题的关键是求出这个长方体的宽和高是多少，再根据长方体体积的计算方法进行计算。 49．40个 【分析】6万立方米＝60000立方米，根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，代入数据求出水池的容积，再用60000除以水池的容积，即可得解。 【详解】6万立方米＝60000立方米 60000÷（50×25×1.2） ＝60000÷1500 ＝40（个） 答：这相当于40个长50米、宽25米、深1.2米的水池的蓄水量。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积（容积）公式求解。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $