精品解析：浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高二下学期4月期中练习数学学科试题

高二数学学科练习 注意事项： 1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4.结束后，只需上交答题卡. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知随机变量，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量， 所以， 则. 3. 在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 14种 D. 28种 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】4位志愿者分到两个服务站，每个站至少1人，分组情况有三种： 1人去，3人去：种 2人去，2人去：种 3人去，1人去：种 总方案数：种 4. 在的展开式中，常数项为（    ） A. B. C. 120 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】先求出通项，然后令的指数为零求出，再代入计算可得． 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令解得，故常数项为. 故选：A 5. 一批产品共有8件，其中有3件次品.随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】至少一件是次品，包含一件次品，一件正品和两件次品两种情况， 故概率为. 6. 已知有2名男生和3名女生站成一排，其中女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】先不考虑女生甲是否站两端，2名男生不相邻的所有情况，再减去女生甲站两端，且2名男生不相邻的情况，即可解决问题. 【详解】解：先排3名女生，共有种； 3名女生排好后，有4个空，2名男生不相邻，可以从4个空中任选2个进行排列， 共有种，所以2名男生不相邻的情况，共有种. 女生甲站在最左端，且2名男生不相邻的情况：先排2名女生，有种； 排好后，有3个空，2名男生不相邻的站法有种， 所以女生甲站在最左端，且2名男生不相邻，共有种， 同理，女生甲站在最右端，且2名男生不相邻，也共有， 因此，女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法为种. 7. 若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先用辅助角公式化简可得，根据对称轴和零点结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由于的一条对称轴是， 则，解得， 当时，，要使在有唯一零点， 所以，解得：， 结合且，可得的最大值为10. 8. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换得到，结合三角形为锐角三角形，得到角A的范围，化简得到关于的关系式，从而得到答案. 【详解】，由正弦定理得， 即， 其中 ， 所以， 其中，所以， 因为为锐角三角形，所以， ，故，， 故， 由于，解得， 故， ， 由于，故，， ，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校组织“传统文化”竞赛，有X，Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为，答对Y类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 甲同学在第一轮答对试题的概率为 B. 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为 C. 甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为 D. 甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用全概率公式求答对试题概率，再用贝叶斯公式求答错时选类问题概率，接着用二项分布概率公式求三轮答对两道题概率，最后用二项分布期望公式求二十四轮答对个数期望. 【详解】设选X类问题为A事件，选Y类问题为，甲同学答对题目为B事件， 根据题意得： ，，，， 在A选项中，根据全概率公式可得： ，A选项正确； 在B选项中，由条件概率公式可得： ，其中， ， 因此，B选项错误； 在C选项中，每轮答题独立，每轮答对概率为，服从二项分布， 答对2道的概率：，C选项正确； 在D选项中，答对个数服从二项分布， 期望，D选项正确. 10. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中的系数为-192 C. 展开式中的二项式系数最大项为第3项 D. 当时，除以8的余数为1 【答案】BD 【解析】 【分析】赋值计算判断A；求出指定项的系数判断B；利用二项式系数的性质判断C；利用二项式定理，结合整除思想判断D. 【详解】对于A，取，得，取，得， 因此，A错误； 对于B，展开式中的系数，B正确； 对于C，展开式共7项，则展开式中的二项式系数最大项为第4项，C错误； 对于D，当时，展开式的前6项都是整数，且都含有因数8， 展开式的最后一项是1，因此除以8的余数为1，D正确. 11. 关于函数，以下结论正确的有（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的最小值为 C. 是以为一个周期的周期函数 D. 在上有4个零点 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A：因为， 所以是偶函数，即的图象是轴对称图形； 选项B：，令，则， 所以当时，取最小值，即的最小值为； 选项C：， 因此是以为一个周期的周期函数； 选项D：令，即，解得或， 当时，在上有一个解， 当时，在上有三个解，，， 因此在上有3个零点. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得，根据正态分布的对称性得 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解. 【详解】由题意可知， 因为为奇函数，所以， 则，而时，；时，， 则的最小值为． 14. 甲、乙、丙、丁4名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.则第3次传球之后球在乙手中的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对立事件、相互独立事件的概率公式列出递推公式，再逐项判断作答. 【详解】第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中，其概率为， 第次传球有三分之一的可能传给乙，因此， 于是，而， 则是公比为的等比数列， 即，当时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数的图象如图所示， （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求函数在的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由图象求即可求解； （2）利用图像变换先求，由的范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质计算即可. 【小问1详解】 由图象可知，，周期， ，， 将代入的解析式得，，，， ，，又：，， 【小问2详解】 当时，， 当即时，， 当即时， 16. 已知展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为. （1）求； （2）求该展开式中的有理项. 【答案】（1） （2），，， 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求解； （2）利用通项公式即可求解. 【小问1详解】 二项式系数之和为，令，得的所有项的系数之和为， 由题意得，得，解得. 【小问2详解】 展开式通项为，， 当为整数时，即，展开式中的项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 即展开式中的有理项为，，，. 17. 2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. （1）若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； （2）若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1） （2）该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【解析】 【分析】（1）先根据古典概型的概率公式求出甲顾客享受免单优惠、乙顾客消费金额打八折的概率，再根据独立事件的概率公式求解； （2）方案一，根据古典概型的概率公式列出分布列即可求出期望；方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，，利用二项分布的期望公式和期望的性质求解. 【小问1详解】 选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 选择方案一若消费金额打八折，则需摸出1个红球和2个黑球， 设甲顾客享受到免单优惠为事件，则， 设乙顾客消费金额打八折为事件，则， 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为 【小问2详解】 若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，400，640，800. ，， ，， 所以（元） 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 18. 在中，角所对的边分别为,且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）由正弦定理知:,为外接圆半径, 原式可化为：， 又因为在中， ， ，， ，又，. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理得，， . 19. 某电竞俱乐部研发的两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出.假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局. （1）当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）当时，若两款机器人共进行局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”.事件表示“星锐最终获胜”.求，，，值； （3）若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为.证明：当时，. 【答案】（1）的分布列为 1 3 5 （2） ，，， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式和加法公式列出分布列，再根据期望公式求解； （2）根据条件概率的定义写出概率； （3）结合（2）以及概率的乘法公式求出，得出当时，，再求证即可. 【小问1详解】 两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有1，3，5，则， ， ， 的分布列为 1 3 5 数学期望. 【小问2详解】 在前局比赛中星锐赢的局数时，第，局全胜，最终也无法获胜，所以 ； 当时，仅当第，局全胜，最终才能赢得比赛，即； 当时，第，局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即； 当时，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛，即 ； 综上所述， ，，， 【小问3详解】 若共比赛局， 在前局比赛中星锐赢的局数小于，则无法保证星锐获胜，其概率为； 若前局比赛中星锐赢的局为，则需第，局全胜，才可赢得比赛， 此时赢得比赛的概率为； 若前局比赛中星锐赢的局数为，则第，局至少胜一场，才可赢得比赛， 此时赢得比赛的概率为； 若前局比赛中星锐赢的局数大于，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛，其概率为， 故 所以， 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科练习 注意事项： 1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4.结束后，只需上交答题卡. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 4 3. 在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 14种 D. 28种 4. 在的展开式中，常数项为（    ） A. B. C. 120 D. 160 5. 一批产品共有8件，其中有3件次品.随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知有2名男生和3名女生站成一排，其中女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 7. 若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 8. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校组织“传统文化”竞赛，有X，Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为，答对Y类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 甲同学在第一轮答对试题的概率为 B. 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为 C. 甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为 D. 甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 10. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中的系数为-192 C. 展开式中的二项式系数最大项为第3项 D. 当时，除以8的余数为1 11. 关于函数，以下结论正确的有（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的最小值为 C. 是以为一个周期的周期函数 D. 在上有4个零点 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，，则________. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 14. 甲、乙、丙、丁4名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.则第3次传球之后球在乙手中的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数的图象如图所示， （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求函数在的最大值和最小值. 16. 已知展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为. （1）求； （2）求该展开式中的有理项. 17. 2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. （1）若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； （2）若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 18. 在中，角所对的边分别为,且. （1）求； （2）若，，求的面积. 19. 某电竞俱乐部研发的两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出.假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局. （1）当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）当时，若两款机器人共进行局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”.事件表示“星锐最终获胜”.求，，，值； （3）若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为.证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $