精品解析：广东河源市龙川县第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

龙川一中2025—2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 答卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知，角为第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的商数关系和平方关系求出、的两组解，再结合为第三象限角即得的值. 【详解】因为，所以，由, 解得或， 因为角为第三象限角，所以. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数为. 3. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 . 4. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】C 【解析】 【详解】的面积， 所以，解得. 因为， 所以角的大小为30°或150°. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 6. 已知中，为中点，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律得，再利用投影向量计算公式计算求解. 【详解】因为为中点，所以，即， 可得， 因为，所以， 则，化简可得， 所以向量在上的投影向量为. 7. 在中，角的对边分别为，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，因为， 可知，所以， 所以A为锐角，可得， 由余弦定理可得， 即，即， 可得. 8. 已知，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 的增区间为 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数解析式计算判断A，根据特例判断B，函数写成分段函数，根据正弦型函数性质判断CD. 【详解】因为， 所以，故A错误； 因为， 即，所以B错误； 因为， 所以当时，， 当时，，所以函数的值域为，故C正确； 由可知， 的增区间为，故D错误. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）． A. 若，则，且 B. 若，则，且 C. 若，则向量和相等或相反向量 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】举反例即可说明A，C错误；对于B，只有，才有；对于D，只有，才有，由比判断D. 【详解】对于A，若，，则满足，但此时，故A错误； 对于B，，若，则故B正确； 对于C，若，则满足，此时， 同理，此时和即不是相等何量，也不是相反向量，故C错洖； 对于D，故，此时，故，故D正确. 故选：AC． 10. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式即可. 【详解】观察函数图象，设函数， 则，最小正周期，解得，又， 则，又，则， 所以，B正确；，A错误； ，，C正确， ，D错误. 故选：BC 11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. 存在最小值为1 D. 不存在最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，根据及，即可找到C，B，G三点的坐标关系，分别写出，即可判断，取中点为，连接，根据，可得 三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，结合基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况判断D. 【详解】设中点为，连接，设A在上的射影分别为， 以为原点，方向分别为轴建立如图所示直角坐标系， 则，，设，，，，且，所以，，因为，所以， 即，故，即， 所以，，， 因为，所以，即，则， 又因为，故，所以A正确； 因为，所以，即， 所以 三点共线，且为靠近的三等分点， 所以 ， 当且仅当，即时取等，所以B错误； 因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故存在最小值为1，所以C正确； 因为，； 所以， 因为且，所以， 记，，由函数和在上递增， 可知在上单调递增，没有最值，当时，， 即没有最小值，所以D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 化简：_____________. 【答案】 【解析】 【详解】由向量的运算法则，可得 . 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果. 【详解】由可得， 则，因此， 从而有， 即. 故答案为：. 14. 在中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理与和差角公式，推出，再通过判断角的取值范围来确定的取值范围. 【详解】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以或（舍去），所以. 由正弦定理得，， 而，即，所以. 所以，所以. 所以的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 已知函数的最大值是1，其图像经过点 （1）求的解析式； （2）已知且求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】本题（１）属于基础问题，根据题意首先可求得Ａ，再将点Ｍ代入即可求得解析式；对于（２）可先将函数f(x)的解析式化简，再带入，利用两角差的余弦公式可求解； （1）依题意知 A=1，又图像经过点M∴， 再由 得 即 因此 ； （2） ， 且 ， ； 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，. （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出； （2）根据数量积的定义求出，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得，因为，所以 【小问2详解】 解：因为，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理， 所以. 17. 如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【答案】(1)；(2)． 【解析】 【分析】(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解； (2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得. 【详解】(1)设，在中，由余弦定理得： ，即，而x>0，解得， 所以，则的面积， 梯形中，，与等高，且， 所以的面积， 则梯形的面积； (2)在梯形中，设，而， 则，，，， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 两式相除得：， 整理得， 即 解得或， 因为，则，即． 【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解； (2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. 18. 已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】（1）由题意知点的坐标为，利用坐标表示，，得出、的表达式； （2）由，利用、、三点共线得出，、、三点共线得出；联立方程组求得的解析式；由的解析式，利用三角函数的性质求出的最小值. 【详解】（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点 所以，； 又因为与轴交于点，与轴交于点 由，，且， 所以； 同理，； 所以，； （2）又因为 由于共线，所以，即① 同理，由于共线，所以 即② 将①②得 从而 当时，取得最小值. 19. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） 由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； 【小问3详解】 由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2025—2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 答卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知，角为第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 4. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，为中点，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 8. 已知，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 的增区间为 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）． A. 若，则，且 B. 若，则，且 C. 若，则向量和相等或相反向量 D. 若，则 10. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. 存在最小值为1 D. 不存在最小值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 化简：_____________. 13. 已知，则__________. 14. 在中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 已知函数的最大值是1，其图像经过点 （1）求的解析式； （2）已知且求的值． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，. （1）求的值； （2）若，，求的值. 17. 如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 18. 已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 19. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $