6.3 三角形的中位线 教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦三角形中位线的概念及定理，通过复习平行四边形判定方法搭建知识支架，引导学生将三角形问题转化为平行四边形问题，为中位线定理的探究与证明奠定基础。 以剪拼三角形得平行四边形的动手操作培养几何直观（数学眼光），通过多种构造平行四边形的证明方法发展推理能力（数学思维），典型例题综合平行四边形与勾股定理提升模型应用（数学语言）。助力学生深化概念理解与问题解决能力，为教师提供结构化教学流程与素养导向活动设计。

第六章 平行四边形 北师大版(2024) 6.3 三角形的中位线 一、教学目标 1.通过动手操作、观察猜想，理解三角形中位线的概念，明确中位线与中线的区别，探索并掌握三角形中位线定理的内容. 2.经历利用平行四边形的性质与判定证明三角形中位线定理的过程，体会转化思想，提升逻辑推理能力. 3.能运用三角形中位线定理，解决与线段长度、位置关系相关的计算和证明问题，提升几何问题的分析与解决能力. 二、教学重点及难点 重点：三角形中位线的定义；通过构造平行四边形证明三角形中位线定理. 难点：灵活运用中位线定理解决综合性几何问题. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问：我们已经学习了平行四边形的判定方法，请大家回忆：有哪些方法可以判定一个四边形是平行四边形？ 【学生活动】独立思考，举手回答，互相补充完善. 教师板书梳理判定方法： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 教师追问：这些判定方法，对我们接下来学习三角形的中位线有什么帮助？ 【学生活动】思考交流，明确：可以通过构造平行四边形来解决三角形中的问题. 设计意图：系统复习平行四边形的判定方法，为后续用平行四边形证明三角形中位线定理做好知识铺垫，搭建“三角形问题转化为平行四边形问题”的桥梁，让学生提前感知转化思想，降低新知学习的难度. 【探究新知】 探究：三角形的中位线. 教师提问：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 小明的做法是：如左图，在 △ABC 中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形. 如右图，将 △ADE 绕点 E 按顺时针方向旋转 180°到 △CFE 的位置，这样就得到了一个与△ABC 面积相等的 ▱DBCF. 【学生活动】观察“小明的做法”，动手模拟剪拼过程. 教师讲解：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 两层含义： ①如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的中位线； ②如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的中点. 【课堂互动】 教师提问1：一个三角形有几条中位线？请在图中画出△ABC 的所有中位线. 学生：动手画图，得出：一个三角形有 3 条中位线，分别连接三组对边的中点. 教师提问2：若连接 AF，则 AF 是△ABC 的___________. 学生：中线. 教师提问3：三角形的中位线和我们之前学过的三角形中线有什么区别和联系？请结合图形说明. 【师生活动】小组讨论，对比分析，教师引导并归纳： 相同之处：都是和边的中点有关的线段； 不同之处：中位线是两个中点的连线； 中线是一个顶点和对边中点的连线. 设计意图：通过层层递进的提问，帮助学生准确理解三角形中位线的定义；通过与中线的对比辨析，突破易混点，加深对概念的理解；通过画图操作，强化几何直观，为后续探究中位线定理奠定基础. 【探究新知】 探究：三角形中位线定理. 教师提问：从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系吗？与同伴进行交流. 【学生活动】学生观察图形，结合剪拼过程，提出猜想： DE 和边 BC 的关系： 位置关系：平行；数量关系：DE 是 BC 的一半. 教师：这个猜想对任意三角形都成立吗？我们需要用严谨的几何证明来验证. 已知：如图，DE 是 △ABC 的中位线. 求证：DE∥BC，. 教师提问：为证明一条线段等于另一条线段的一半，可否把问题先转化为证明与之有关的某两条线段相等？怎样获得与目标线段相等的线段？前面小明的做法对你有哪些启发？ 【学生活动】独立思考，小组交流，得出证明思路：延长 DE 至点 F，使 EF＝DE，连接 CF，构造全等三角形和平行四边形. 证明1：如图，延长 DE 至 F，使 FE＝DE，连接 CF. ∵ AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE， ∴△ADE≌△CFE (SAS). ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. ∴CF∥AB. ∵BD＝AD，∴CF＝BD. ∴四边形 DBCF 是平行四边形. ∴DF∥BC，DF＝BC. ∴DE∥BC，且． 教师提问：除了上述方法，还有其他证明方法吗？ 【学生活动】尝试其他方法，如：过点 C 作 CF∥AB，交 DE 的延长线于点 F，证明△ADE≌△CFE，再证四边形 DBCF 是平行四边形 证明2：过点 C 作 CF∥AB 交 DE 的延长线于 F. ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF， 又∵AE＝EC，∠1＝∠2， ∴△ADE ≌ △CFE (ASA)， ∴AD＝FC，DE＝FE， 又∵DB＝AD，∴DB＝FC， ∴四边形 BCFD 是平行四边形． ∴DE∥BC 且 ． 教师拓展：证明3：如图，延长 DE 至 F，使 EF＝DE，连接 CD、AF、CF， ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形 ADCF 是平行四边形． ∴AD＝FC，AD∥FC. 又∵AD＝BD， ∴DB＝FC， ∴四边形 BCFD 是平行四边形， ∴DE∥BC 且 ． 教师讲解： 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 利用三角形的中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等. 用符号语言表示： ∵ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE∥BC，. 教师点拨：三角形中位线定理的应用 (1) 位置关系：证明两直线平行； (2) 数量关系：证明线段的相等或倍分关系. 【典型例题】 例. 如图，▱ABCD的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，∠ADB＝90°， AC＝6，OE＝1. 求 AD 和 BD 的长度. 解：∵▱ABCD的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∴AO＝OC，DO＝OB (平行四边形的对角线互相平分). ∵E 为 AB 的中点， ∴OE 是△ADB 的中位线 (三角形的中位线定义). ∴AD＝2OE＝2 (三角形中位线定理). ∵AC＝6，AO＝OC， ∴. 在 Rt△ADO 中，由勾股定理可得. ∴. 设计意图：通过典型例题，将三角形中位线定理与平行四边形、勾股定理等知识综合应用，训练学生分析问题、解决问题的能力；强化定理的应用意识，规范解题步骤，提升学生的综合应用能力. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 学科网（北京）股份有限公司 $