精品解析：浙江宁波六校联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科 试题

2025学年第二学期宁波六校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 第I卷（选择题部分，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知为实数，集合，若，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集计算求参数即可. 【详解】. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项. 【详解】由，解得或， 因为为或的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 已知 ，，点在一次函数的图象上，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在一次函数的图象上，得到与的关系，然后利用基本不等式求解. 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴，即， ∵，∴根据基本不等式有， ∴，当且仅当时取“”， ∴ 的最大值为. 故选：C 4. 通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A. B. 0.08 C. D. 0.09 【答案】C 【解析】 【分析】求解，利用经验回归直线经过样本中心点，建立关于的方程并求解即可. 【详解】根据题意可得，， 由，可得， 解得：. 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与 轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少得等待（ ）小时后（结果取整数）开车才不构成酒驾（参考数据：）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设他至少得等待小时后开车才不构成酒驾,根据酒精含量减少速度列出不等式，利用参考数据解不等式即可求得结果. 【详解】设他至少得等待小时后开车才不构成酒驾， 依题意可知，即， 所以，即，所以可得， 即，因此， 又因为，所以他至少得等待8小时后开车才不构成酒驾. 故选：B 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 8. 已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出的大致图象，令，根据一元二次方程根的分布，结合图象计算即可. 【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下： 设，则有8个不同的零点， 需有两个不同零点，不妨设 同时分别对应4个零点， 若， 即， 则，且， 即，解之得. 若 ，则仍需，此时，不符合题意，舍去； 综上：. 故选：B 二、多选题（本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 B. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 C. 随机变量X的方差，期望 ，则 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】1，2，4，5，6，12，18，20该组数据共8个数据，又， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，所以A正确； 样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，所以B错误； 因为，由方差，期望，可得，所以C正确； 因为且，所以， 所以，所以D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. 不等式的解集 C. 函数的定义域是 D. 函数过定点 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，“，”的否定是“，”，所以A错误； 对B，，所以，整理得且，解得，所以解集为，所以B正确； 对C，函数的定义域是，所以C错误； 对D，令，则 ，与的取值无关，所以函数过定点，所以D正确. 11. 设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程有6个不同的实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由函数的周期性，奇偶性公式，可得函数的周期 ，结合时，，可求，故A错误，进而可作出 的大致图象，以此判断BD选项，对于C，由题意可得，所以是奇函数，故C正确. 【详解】依题意，是偶函数，则有， 则 的图象关于直线对称，故， 又，即，因此有， 即，于是有， 所以函数的周期 ， 对于A，，故A错误； 对于B，由 的图象关于直线对称，且当时，， 作图如下，故B正确； 对于C，， 所以为奇函数，故C正确； 对于D，在同一平面作出函数 的图象与的图象，如图， 可得方程有6个不同的实数解，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若角顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义可知，结合，可得． 【详解】角终边与单位圆交于点， ，， ， ． 故答案为：． 13. 已知，则______． 【答案】112 【解析】 【分析】因为，则由二项式定理求出含的项即可得. 【详解】因为， 二项式展开式的通项公式为， 所以二项式展开式的第3项为， 所以由题意. 故答案为：112. 14. 已知 ，，，则的最大值为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2）的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为1 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式计算即可； （2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可. 【小问1详解】 依题意可得 ，解得 ； 【小问2详解】 由（1）可得高度在的频率为 ， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以 . 16. 已知函数. （1）用定义证明函数在上是增函数； （2）解不等式. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法证明函数在  上单调递增； （2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集. 【小问1详解】 任取，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是增函数. 【小问2详解】 因为，所以为偶函数， 则由，可得， 即，即，解得. 17. . （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）直接代入即可求解； （2）利用两角和公式与二倍角公式将函数化简为正弦型函数，再根据自变量范围求出内层角的范围，利用正弦函数的值域得到原函数的值域； （3）由横坐标伸缩变换得到新函数，将不等式分离参数后，转化为求正弦函数在给定区间上的最小值，从而确定实数的最大值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 时，，在取得最大值，在取得最小值， 即在上的值域为； 【小问3详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数， 则，化简得. 令，因为，令，所以， 在单调递减，所以，，即， 则，所以的最大值为1. 18. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. （1）求，，的值； （2）求的值（用n表示）； （3）求的数学期望. 【答案】（1），， （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【小问1详解】 根据题意可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得，， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 ； 【小问3详解】 由题意可得①， ②， ①-②，得， 因为，所以. 所以，的概率分布列为： 0 1 2 ， 所以的数学期望为定值1. 19. 已知函数，其中a为实数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若在上为严格增函数，求实数a的取值范围； （3）对于，若存在两个不相等的实数使得，求的取值范围．（结果用a表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分与 两种情况，求出最小值；（2）写成分段函数，对分， ， 与四种情况分类讨论，求出参数的取值范围；（3）研究函数的单调区间及图象特征，分类讨论求出的关系，消去一个变量，再求出取值范围. 【小问1详解】 当时，，当时，，当时，取得最小值，，当 时，在 上单调递减，则，综上：的最小值为 【小问2详解】 ，当时，当时，，不是严格增函数，不合题意，舍去； 当 时，此时对称轴，且分段函数在处函数值相同，故满足在上为严格增函数，符合题意； 当 时，此时对称轴且，故在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，且，此时在上为严格增函数，符合要求. 综上：实数a的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，即在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且端点处函数值相等，令，解得：，，故要想存在两个不相等的实数使得，则，，且当时，，，此时，当时，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值， 为，故取值范围为，当时，在单调递增，在上单调递减，故在取得最大值，为，故取值范围是， 当时，，此时，即，从而，其中，当时，，综上：的取值范围为. 【点睛】函数含参值域问题，需要结合题干条件及图象特征，对参数进行分类讨论，在不同取值下的值域求解，用到的工具有基本不等式，对勾函数，导函数等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期宁波六校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 第I卷（选择题部分，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知为实数，集合，若，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 ，，点在一次函数的图象上，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A. B. 0.08 C. D. 0.09 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少得等待（ ）小时后（结果取整数）开车才不构成酒驾（参考数据：）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 B. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 C. 随机变量X的方差，期望 ，则 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. 不等式的解集 C. 函数的定义域是 D. 函数过定点 11. 设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程有6个不同的实数解 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若角顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且，则__________． 13. 已知，则______． 14. 已知 ，，，则的最大值为____. 四、解答题（本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为 ，求 的分布列及数学期望； 16. 已知函数. （1）用定义证明函数在上是增函数； （2）解不等式. 17. . （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的最大值. 18. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. （1）求，，的值； （2）求的值（用n表示）； （3）求的数学期望. 19. 已知函数，其中a为实数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若在上为严格增函数，求实数a的取值范围； （3）对于，若存在两个不相等的实数使得，求的取值范围．（结果用a表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $