江苏南通市如东县2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学试题

**基本信息** 高一年级期中数学试卷以基础巩固与能力提升为核心，通过扇形弧长、观测台测水塔等题夯实三角函数与解三角形基础，以甲乙步行距离、四边形内接圆等综合题考查数学思维，融入实际情境体现用数学眼光观察现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|扇形弧长、三角函数定义、向量夹角、复数运算|单选注重基础（如终边过点求三角函数值），多选综合应用（如等边三角形向量关系判断）| |填空题|3题15分|复数模范围、力的合成、解三角形|结合生活情境（钢丝绳拉力合力计算），考查数学建模能力| |解答题|5题77分|向量运算、解三角形、实际应用（步行距离）、创新定义（变换）|分层设计，17题含距离计算与最值探究，19题新定义变换考查推理与创新意识，体现数学思维与语言表达|

2025~2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长是 A． B． C． D． 2. A． B． C． D． 3. 已知角的终边经过点，则 A． B． C． D． 4. 函数的值域是 A． B． C． D． 5. 在一座10 m高的观测台顶测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，则该水塔的高度是 A． m B． m C． m D． m 6. 已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为 A． B． C． D． 7. 在中，已知，，，则 A． B． C． D． 8. 在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 在边长为2的等边中，， ，，则 A． B． C． D． 10. 已知是复数，则 A． B． C． D． 11. 在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且．下列说法正确的是 A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若复数满足，则的取值范围是 ． 13. 为了防止电线杆倾斜，在两侧对称的用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500 N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为 N． 14. 在中，已知内角的对边分别为，且， 则 ．若为边上的点，且，，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，，，求： （1）的模； （2）． 16．（15分） 如图，在中，，，，． （1）求的长；A B C D （2）求的面积． 17．（15分） 如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3 km，乙离点1 km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4 km/h的速度步行. （1）起初两人间的距离是多少？ （2）经过多长时间，两人间的距离是4 km？O 甲 乙 （3）什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离. 18．（17分） 在四边形中，，，. （1）若四边形是圆的内接四边形，求 ①； ②； （2） 求四边形的面积的最大值. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，对于非零向量和角，定义变换如下： 且． （1）若，求的值； （2）求证：与的面积相等； （3）设，，是否存在，使得，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围． 数学试卷 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长是 A． B． C． D． 答案：A 2. A． B． C． D． 答案：B 3. 已知角的终边经过点，则 A． B． C． D． 答案：D 4. 函数的值域是 A． B． C． D． 答案：B 5. 在一座10 m高的观测台顶测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，则该水塔的高度是 A． m B． m C． m D． m 答案：C 6. 已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为 A． B． C． D． 答案：B 7. 在中，已知，，，则 A． B． C． D． 答案：A 8. 在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 A． B． C． D． 答案：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 在边长为2的等边中，， ，，则 A． B． C． D． 答案：ABD 10. 已知是复数，则 A． B． C． D． 答案：ACD 11. 在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且．下列说法正确的是 A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 答案：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若复数满足，则的取值范围是 ． 答案： 13. 为了防止电线杆倾斜，在两侧对称的用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500 N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为 N． 答案： 14. 在中，已知内角的对边分别为，且， 则 ．若为边上的点，且，，则的最小值是 ． 答案：， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，，，求： （1）的模； （2）． 解：（1）因为，，所以， 各1分 ……3分 所以． ……6分 （2）因为，，所以， ，， 各2分 ……12分 所以. ……13分 16．（15分） 如图，在中，，，，． （1）求的长；A B C D （2）求的面积． 解：（1）在中，由正弦定理， 没有公式扣1分 得． ……4分 因为，所以， 在中，由余弦定理，没有公式扣1分 得， 所以． ……8分 （2）在中，因为， 所以 ，……12分 所以． ……15分 备注：求也给4分 17．（15分） 如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3 km，乙离点1 km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4 km/h的速度步行. （1）起初两人间的距离是多少？ （2）经过多长时间，两人间的距离是4 km？O 甲 乙 （3）什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离. 解：（1）设两人间的距离为，起初位置时， 甲、乙的位置分别为，， 起初位置时，，. 在中，由余弦定理 没有公式扣1分 ， 得，所以. ……4分 （2）设经过小时后，甲、乙的位置分别为，. 当时，， 当时，， 所以. 一种情况得2分 ……8分 若，则， 所以或（舍去）. 所以经过小时，两人间的距离是4 km. ……10分 （3）由（2）得， 所以当时，， 所以经过小时后，距离最短，最短距离是2 km. 没开方扣1分 ……14分 答：（1）距离是 km.（2）经过小时.（3）经过小时后，最短距离是2 km. ……15分 18．（17分） 在四边形中，，，. （1）若四边形是圆的内接四边形，求 ①； ②； （2）求四边形的面积的最大值. 解：（1）连接，在圆中， ，所以. 在中，由余弦定理， 得. ……2分 在中，由余弦定理， 得. ……4分 所以，所以. ……5分 方法一： 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，，， 则，， 解得或． ……8分 因为，， 所以． ……10分 方法二： 在中，由余弦定理， 得. 在中，由余弦定理， 得. 所以，所以. ……7分 所以. 延长交于点，则. 所以. ……9分 所以． ……10分 （2）四边形的面积为 ． 由（1）得， 所以. ……12分 所以 . 因为，当且仅当时等号成立， ……15分 所以，所以. 不交代取等扣1分 所以四边形的面积的最大值是. ……17分 19．（17分） 在平面直角坐标系中，对于非零向量和角，定义变换如下： 且． （1）若，求的值； （2）求证：与的面积相等； （3）设，，是否存在，使得，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围． 解：（1）因为，所以，， 所以，所以． ……3分 （2）因为， ， ……5分 所以，所以． ……7分 同理可得：．所以． ……8分 （3）由（2）可得：，， 所以，， ． ……11分 因为，所以， 所以， ……14分 所以且， 所以或． ……17分 数学试卷 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $