4.1 因式分解教学设计2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦“因式分解”概念及与整式乘法的互逆关系，通过复习整式乘法法则与公式，以数的整除（如630分解质因数、99³-99整除性判断）为切入点，类比迁移至多项式分解，结合拼图面积变形直观呈现，构建从具体到抽象的学习支架。 此资料特色在于运用类比迁移与数形结合，通过99³-99分解、拼图面积等式等实例，发展学生抽象能力与几何直观，对比整式乘法与因式分解的互逆变形培养推理意识，既助学生理解概念本质提升代数变形能力，也为教师提供清晰探究路径与互动设计，高效落实教学目标。

第四章 因式分解 北师大版(2024) 4.1 因式分解 一、教学目标 1.经历从数的整除变形到式的分解的探索过程，理解因式分解的意义，掌握因式分解的定义，能准确判断一个变形是否为因式分解. 2.能通过对比整式乘法与因式分解的互逆变形，理解二者之间的联系与区别，能规范完成简单的互逆变形操作. 3.体会＂化归＂与＂互逆＂的数学思想，感受因式分解在简化计算、解决整除问题中的价值，提升代数推理与变形能力. 二、教学重点及难点 重点：理解因式分解的概念，能判断一个变形是否为因式分解. 难点：准确把握＂把多项式化成几个整式乘积的形式＂这一核心要求，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，以及在具体问题中灵活运用这种互逆关系进行变形. 三、教学过程 【探究新知】 探究：因式分解的概念. 教师带领学生复习：在学习新知识前，我们先回顾整式乘法的内容. 想一想，（1）整式的乘法有哪几种类型？ （2）平方差公式与完全平方公式是什么？ 【学生活动】学生独立回忆整式乘法法则与乘法公式，在小组内交流补充，主动分享对旧知的理解. 学生回答：（1）①单项式×单项式；②单项式×多项式；③多项式×多项式. （2）它们是特殊的整式乘法公式： ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. ②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 教师提问：630 可以被哪些整数整除？我们是怎么解决这个问题的？ 【学生活动】学生独立思考，小组交流方法，全班分享思路. 答案预设： 对 630 进行分解质因数，就能找出它的所有因数. 教师追问：既然数可以分解因数，那么类似地，多项式可以分解成几个整式的积吗？ 让我们通过一道题试一试：993－99 能被 100 整除吗？你是怎样想的？ 【学生活动】学生先独立尝试不同计算方法，再在小组内对比简便算法. 教师：让我们一起看一下小明和小亮的方法. 小明的方法： 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99×(992－1) ＝99×(99－1)(99＋1) ＝98×99×100， 所以993-99能被 100 整除. 小亮的方法： (993－99)÷100 ＝(970299－99)÷100 ＝970200÷100 ＝9702， 所以993-99能被 100 整除. 教师：大家更喜欢谁的做法呢？ 【学生】更喜欢小明的做法. 教师点拨：观察小明的方法，他把993−99化成了几个整数乘积（98×99×100）的形式，这样就能快速判断整除性. 提问：想一想，993-99还能被哪些正整数整除？ 【学生活动】学生先独立观察分解后的乘积形式 98×99×100，在练习本上尝试写出能整除的正整数；随后同桌之间互相补充遗漏的因数，小组内汇总所有可能的正整数，并说明判断依据. 答案预设：还能被 98、99 整除. 又 98＝1×98＝2×49＝7×14， 所以 993－99 还能被 1、2、7、14、49 整除. 又 99＝1×99＝3×33＝9×11， 所以 993－99 还能被 3、9、11、33 整除. 【课堂互动】 教师提问：你能把 a3－a 化成几个整式乘积的形式吗？与同伴进行交流. 【师生活动】学生先回顾小明分解993－99的思路，尝试对a3－a进行变形；随后在小组内分享自己的分解步骤，互相纠正步骤中的错误，完善变形过程. 答案预设： a3－a ＝a×a2－a×1 ＝a×(a2－1) ＝a×(a－1)(a＋1). 设计意图：本环节以数的整除问题为切入点，通过小明简便算法的示范，引导学生体会“将数式化为乘积形式”的核心思想，再类比迁移到多项式变形，为抽象因式分解概念做好铺垫，同时渗透化归思想，感受因式分解在简化计算中的价值. 教师提问：观察下面拼图过程，写出相应的代数式. 等号两边的代数式有什么不同？ （1） 【学生活动】学生先独立计算各图形面积，在练习本上写出代数式；随后同桌之间对照等式，互相说说等号两边代数式的形式差异. 答案预设：am+bm+cm＝m(a+b+c). 教师追问：等号左边和右边的代数式在形式上有什么本质不同？ 学生回答：左边是多项式，右边是整式乘积的形式. （2） 【学生活动】学生先独立计算各图形面积，在练习本上写出代数式；随后小组内交流等式写法，对比不同写法的等价性. 答案预设：x2+2x+1＝(x+1)2. 学生：等号左边为多项式，右边为整式乘积形式. 教师：结合两组拼图的变形，你能总结出这类变形的共同特征吗？ 【学生活动】学生在小组内讨论、归纳两组变形的共性，尝试用自己的语言描述变形的本质. 学生回答预设：都是把一个多项式化成了几个整式乘积的形式. 教师总结：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解. 例如：a3－a＝ a (a＋1) (a－1)，am＋bm＋cm＝m (a＋b＋c). 因式分解也可称为分解因式. 注意： ①分解的对象必须是多项式； ②因式分解的结果：积的形式； ③结果中的每一个因式都必须是整式； ④必须分解到每个因式都不能再分解为止. 设计意图：本环节通过拼图面积变形，直观呈现多项式和差与整式乘积的形式差异，引导学生归纳变形共性，为抽象概括因式分解定义提供具象支撑，同时渗透数形结合与化归思想，高效衔接新知学习. 【探究新知】 探究：因式分解与整式乘法的关系. 教师提问：我们通过几道题来练习巩固. 1.计算下列各式： (1) 3x(x－1)＝____________； (2) m(a＋b－1)＝____________； (3) (m＋4)(m－4)＝____________； (4) (y－3)2＝____________. 2.根据上面的算式进行因式分解： (1) 3x2－3x＝________； (2) ma＋mb－m＝__________； (3) m2－16＝__________； (4) y2－6y＋9＝__________. 【学生活动】学生独立完成计算与因式分解，小组对比两组变形，说出发现. 答案预设： 1.(1) 3x2－3x；(2) ma＋mb－m；(3) m2－16；(4) y2－6y＋9. 2.(1) 3x(x－1)；(2) m(a＋b－1)；(3) (m＋4)(m－4)；(4) (y－3)2. 教师追问：根据上面的试题，想一下因式分解与整式乘法有什么关系？ 学生回答：整式乘法是从积到和差，因式分解是从和差到积，二者是互为逆运算的变形过程. 设计意图：通过整式乘法与因式分解的互逆操作练习，让学生直观感知二者是方向相反的恒等变形，在对比中深化对因式分解定义的理解，同时为后续学习因式分解的具体方法奠定基础，渗透互逆的数学思想. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解. 2.因式分解与整式乘法的关系：两种变形互为逆运算变形过程. 学科网（北京）股份有限公司 $