精品解析：江西部分校2025-2026学年高一下学期期中素养训练数学试卷

高一年级期中素养训练（数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（ ） A. B. 0 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 在区间恰有2个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 6. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D. 小球在秒时位于平衡位置 7. 若函数（）在内恰好存在4个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量与是平行向量，则，，，四点不一定在同一直线上 B. 若向量与方向相同且，则向量 C. 若向量与平行，且，则或 D. 10. 已知、均为第一象限角，且，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（，）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴，则 C. 若，则的解集为， D. 若在区间内单调，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：______. 13. 已知定义在上的奇函数以为周期，则__________． 14. 关于函数. ①的一个周期为 ②的图像关于中心对称 ③的最大值为2 ④在上的所有零点之和为 以上说法正确的有______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点 （1）求的值； （2）化简，并求出它的值. 16. 设（），图象的一条对称轴是直线. （1）写出函数的解析式，填写下表并用“五点作图法”画出函数的图象； ______ 0 （2）已知，求函数的最小值，并写出取最小值时的取值. 17. 某城市滨江公园有一块扇形观景区域，弧长为米，面积为平方米.计划在该扇形区域内设计一个内接矩形区域，用于修建市民休闲活动区，如图所示：设. （1）求与的长度（用表示） （2）求矩形的面积（用表示）； （3）求矩形面积的最大值； 18. 已知函数. （1）求最小正周期与单调递减区间； （2）求函数在上的值域； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 19. 某数学学习小组在研究单位圆上三角函数的性质时，通过计算发现以下结论：，，，据此规律提出猜想：，并用两角和与差的正弦公式证明（过程略）.该小组进一步发现，若将圆周进行等分，各等分点对应的正弦值、余弦值之和也具备相似规律，展开如下探究，请根据以上材料，完成下列问题： （1）证明：； （2）解关于的方程：，其中； （3）求证：，其中，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期中素养训练（数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】 . 2. 如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确， ，故D正确. 3. 已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为角的终边经过点， 由三角函数的定义可得， 角的终边顺时针旋转得到角，可得， 所以. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， 两边平方得， 解得. 5. 函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 在区间恰有2个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】C 【解析】 【详解】对于A,因为， 由图可知，，所以，故A正确； 对于B，因为， 又，所以，故B正确； 对于C，所以，当时，， 所以方程在上只有即一个解， 即函数在区间恰有一个零点，故C错误； 对于D，将图象向左移个单位后可得 ，为偶函数， 其图象关于轴对称，故D正确. 6. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D. 小球在秒时位于平衡位置 【答案】B 【解析】 【分析】应用周期代入点计算求解解析式判断A，应用余弦函数值域计算求解参数判断B，C，D. 【详解】由题，小球运动的周期， 又，所以，解得， 当时，，即，， 所以，则，故A错误； 若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故B正确； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故C错误； 因为，， 这时是最高点不是平衡位置，故D错误. 7. 若函数（）在内恰好存在4个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为在上有4个满足，结合余弦函数的图象与性质求解即可. 【详解】设，当时，， 原函数在内恰好存在4个， 使得则可以化为在上有4个满足， 结合余弦函数图象，当时，这4个依次为，，，， 故只需，同时第5个，由此解得，故选A. 8. 已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于函数，当时，单调递增， 因为， 所以， 即，， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量与是平行向量，则，，，四点不一定在同一直线上 B. 若向量与方向相同且，则向量 C. 若向量与平行，且，则或 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，因此四点不一定在同一直线上； 选项B：向量之间不能比较大小，只有向量的模才可以比较大小； 选项C：， ，都是非零向量， ， 与的方向相同或相反，即或； 选项D：由向量减法的三角形法则，结合三角不等式两边之差小于第三边，两边之和大于第三边可得. 10. 已知、均为第一象限角，且，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】，， 结合为第一象限角可得，故A正确； 由可得， 、均为第一象限角，，故，故B正确； ，故C正确； 由为第一象限角可得，，故D错误． 11. 已知函数（，）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴，则 C. 若，则的解集为， D. 若在区间内单调，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据最小正周期求，再分析选项 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为，故，A正确； 对于B选项，由A选项可得（）， 则（） 因为直线是图象的一条对称轴， 令，，解得，， 因为，所以或，故B不正确； 对于C选项，，则， 所以，则， 即，所以， 解得：，，故C不正确 对于D选项，若在区间内单调， 由可得， 所以，， 则，，即，， 记（），， 则， 所以的取值范围，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：______. 【答案】 【解析】 【详解】由， 得， 所以． 13. 已知定义在上的奇函数以为周期，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据奇函数的性质以及周期性，求出即可得到结果. 【详解】∵是上的奇函数， ∴且， 又∵是以为周期的周期函数， ∴，∴， 又∵，∴， ∴， ∴． 故答案为：0. 14. 关于函数. ①的一个周期为 ②的图像关于中心对称 ③的最大值为2 ④在上的所有零点之和为 以上说法正确的有______. 【答案】①② 【解析】 【分析】根据周期性和对称性的定义，即可判断①②；再根据正弦函数的最值，即可判断③；利用三角函数恒等变换化简函数，再求函数的零点，即可判断④． 【详解】，所以①正确； ，所以②正确； 若最大值为2，则，， 当，，此时，，，故③不正确； ， 令得，所以或， 又，，所以或或 解得或或， 即在上所有零点之和为，故④不正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点 （1）求的值； （2）化简，并求出它的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求出代入计算；或利用三角函数的定义求出，再将原式化“弦”为“切”并代入求解； （2）先利用诱导公式化简所求式，再代入或化“弦”为“切”后代入计算求解． 【小问1详解】 （法一）因为角的终边经过点 则， 将，代入. （法二）由角的终边经过点可得. 将的分子、分母同时除以，得 . 【小问2详解】 （法一）. 将，代入得. （法二）. 将代入可得. 16. 设（），图象的一条对称轴是直线. （1）写出函数的解析式，填写下表并用“五点作图法”画出函数的图象； ______ 0 （2）已知，求函数的最小值，并写出取最小值时的取值. 【答案】（1）， （2）的最小值为0，. 【解析】 【小问1详解】 因为直线是函数的一条对称轴， 所以， 则，，解得，， 又，所以，函数解析式为. 由可知，列表如下： 0 0 2 0 0 故函数的图象如下： 【小问2详解】 当时，，可得. 因此， 令，则原函数可化为， 对，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立，此时满足， 所以，当且仅当时等号成立. 此时，即， 结合，则，解得. 所以的最小值为0，此时. 17. 某城市滨江公园有一块扇形观景区域，弧长为米，面积为平方米.计划在该扇形区域内设计一个内接矩形区域，用于修建市民休闲活动区，如图所示：设. （1）求与的长度（用表示） （2）求矩形的面积（用表示）； （3）求矩形面积的最大值； 【答案】（1）， （2）（） （3） 【解析】 【分析】（1）根据弧长和扇形面积公式求出圆心角，结合图形求出与的长度；（2）表示矩形的面积，运用三角恒等变换得到面积的表达式；（3）结合正弦函数的性质求出面积的最大值. 【小问1详解】 在扇形中，设半径为，弧长为， 圆心角（）， 则，， 解得米，. 在矩形中，. 因为，所以在中， . 【小问2详解】 ，， . （）. 【小问3详解】 ，则， 当，即时，取到最大值1， 此时矩形的面积最大，. 18. 已知函数. （1）求最小正周期与单调递减区间； （2）求函数在上的值域； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调递减区间为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得结合正弦函数的最小正周期公式和单调区间即可求解； （2）利用整体法结合正弦函数的值域求解即可； （3）设，将问题转化为，有四个不同的实数根，结合一元二次方程根的情况求解即可. 【小问1详解】 由 ，最小正周期为. 令，，. 所以函数的单调递减区间为：，. 【小问2详解】 当时，，， ，所以函数在上的值域为. 【小问3详解】 因为， ， 所以可化为 . 设，因为， 所以，所以， 即，则，. 要使原方程在上有四个不同的实数根， 等价于方程在上有两个不同的实数根. 设， 由. 即实数的取值范围为. 19. 某数学学习小组在研究单位圆上三角函数的性质时，通过计算发现以下结论：，，，据此规律提出猜想：，并用两角和与差的正弦公式证明（过程略）.该小组进一步发现，若将圆周进行等分，各等分点对应的正弦值、余弦值之和也具备相似规律，展开如下探究，请根据以上材料，完成下列问题： （1）证明：； （2）解关于的方程：，其中； （3）求证：，其中，且. 【答案】（1） 因为， ， 所以 ， 即. （2）或195° （3） 设， ， 由积化和差公式得， ，…， ， 将上面个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以， 所以，所以，即原命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差余弦公式得到，进而结合余弦函数两角和差公式计算求解即可； （2）将原方程与（1）的结论进行对比，通过换元找到两式间的关系，从而得到关于的三角方程，求解即可； （3）对原式合理变形，再利用积化和差公式并结合题意求值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 又， 故 ， 所以， 所以（）， 或（）. 当（）时，解得（）， 又，所以或1，即或195°； 当（）时，无解. 综上，方程的解为或195°. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $