2026年中考数学二轮专题复习：函数与实际问题 课件

第3讲 函数与实际问题 【中考二轮复习专题】 01 考情分析 02 知识结构 03 典例精讲 目录 图片替换区 中考中，函数与实际问题一直作为中考的重点出现，除函数的基本定义和表达方式这类基础知识依旧需要学生熟练掌握外，中考开始更加注重函数与方程、不等式这类知识的内在联系，需具有灵活性和开放性的思维，同时也要提高数形结合的能力，利用函数图象解决实际问题，特别是“动点问题”，是中考常见的考查形式。 函数与实际问题常见题型有销售问题、行程问题、拱桥/隧道/拱门问题以及面积最值等问题，备考时应熟练掌握函数基本概念和性质，理解与方程、不等式的关系，多加练习熟悉各类题型和方法，注重函数与实际问题的联系，提高利用函数图象解题的能力。 考情分析 3 函数与实际问题 常见函数类型 常见问题类型 一次函数、二次函数、反比例函数 图形边长、面积、体积的函数关系 几何问题 行程问题 经济问题 不同函数模型下的最优方案对比 方案选择问题 步骤 ❶审：仔细审题，理清题意； ❷设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数； ❸列：用函数表示出变量和常量之间的关系，建立函数模型； ❹解：依据已知条件，借助函数的解析式、图象和性质等求解实际向题； ❺检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 相遇、追及中的速度、时间、路程关系 成本、销量与利润的关系，最值求解 知识结构 考点一 一次函数与实际问题-方程组、不等式组与实际问题 例1 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 解：(1)设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ，解得：，经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． 典例精讲 考点一 一次函数与实际问题-方程组、不等式组与实际问题 例1 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 解：(2)设A种纪念品购进件，总费用为元， 则，又∵ 解得， ∵，∴y随x的增大而增大，∴当时，购买这两种纪念品总费用最少，这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件， 两种纪念品使总费用最少． 典例精讲 考点一 一次函数与实际问题-含参数的最值与方案问题 例2某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10000元． (1)求两种净化器的价格各多少元？ 解：（1）设每台A型净化器的价格为a元，每台B型净化器的价格为b元，由题意得，解得： ∴每台A型净化器的价格为2000元，每台B型净化器的价格为2200元. 典例精讲 考点一 一次函数与实际问题-含参数的最值与方案问题 例2某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10000元． (2)若学校购买两种空气净化器共40台，且A型净化器的数量不多于B型净化器数的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用． 解：（2）设购买A型净化器x台，B型净化器为台，总费用为y元， 由题意得，解得，，化简得：，∵，y随x的增大而减小， 当x=30时，y取最小值，，， ∴买A型净化器30台，B型净化器为10台，费用最少，为90000元. 典例精讲 考点一 一次函数与实际问题-含参数的最值与方案问题 常见题型 常见数量关系及公式 补充 配套问题 关键：理解题目中提供的 配套方式 工程问题 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 在工程问题中，一般将工作总量看作单位1 增长率问题 增长量=原有量×增长率 现在量=原有量+增长量=原有量×（1＋增长率） 现有量=原有量－降低量 利润问题 利润=售价－进价（成本） 总利润=单件利润×销售量 利润率=利润÷成本价×100% 商品打几折就是按照原价的 百分之几出售 比赛积分问题 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 方案选择/分段计费问题 先根据已知条件得到方程，再根据未知数之间的关系得到多种方案，选择最优方案进行解题 典例精讲 考点一 一次函数与实际问题-含参数的最值与方案问题 常见题型 常见数量关系及公式 补充 数字问题 数字问题 一个两位数，十位数字是a，个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b （1）解日历问题的关键：弄清日历中的数字规律 （2）设间接未知数 一个三位数，百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z 在九宫格中，每一横行、每一竖行 以及两条对角线上的数字之和都相等 日历问题 横向相邻的两数相差1，相邻的三个数可设为n－1，n，n+1；纵向相邻的两数相差7，相邻的三个数可设为n－7，n，n+7 关键：两人年龄的增长数相等及两人年龄的差不变 年龄问题 关键：明确有关图形的性质和周长、面积公式 几何问题 几何问题 有关图形的周长、面积公式 等积变形问题 圆柱体体积=底面积×高=（r为底面半径，h为高） 长方体体积=长×宽×高=abc（a为长，b为宽，c为高） 典例精讲 考点一 一次函数与实际问题-含参数的最值与方案问题 常见题型 常见数量关系及公式 补充 储蓄利息的问题 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息=本金×（1＋利率×期数） 贷款利息=贷款额×利率×期数 分清利息与利息和 和差倍分问题 较大量=较小量＋多余量 总量=倍数×一份量 弄清和、差、倍、分关系 行程问题 相遇问题 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 相向而行，注意出发时间、地点 追及问题 （同地不同时出发） 同向而行，注意出发时间、地点 追及问题 （同时不同地出发） 航行问题 顺水速度=静水速度＋水流速度 逆水速度=静水速度－水流速度 注意两地距离，静水速度不变 典例精讲 考点二 反比例函数与实际问题-反比例函数与实际问题 新考法 问题探究：小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 例3 综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 问题提出：小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 典例精讲 考点二 反比例函数与实际问题-反比例函数与实际问题 新考法 例3 综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 问题提出：小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 4 2 解：（1）∵反比例函数，直线：， 解得， ∴反比例函与直线：的交点坐标为，， 当木栏总长为时，能围出矩形地块， 分别为：，；或，． 问题探究：如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：；或_______m，_______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 典例精讲 考点二 反比例函数与实际问题-反比例函数与实际问题 新考法 例3 综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 类比探究：（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法， 在图2中画出一次函数图象并说明理由． 解：不能围出．∵木栏总长为，∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点，∴不能围出面积为的矩形； 问题延伸：当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 解：如图中直线所示，即为图象，将点代入， 得：，解得； 典例精讲 考点二 反比例函数与实际问题-反比例函数与实际问题 新考法 例3 综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 拓展应用：小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以 转化为“图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且的长均不小于， 请直接写出的取值范围． 解：根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 图象在第一象限内交点的存在问题，即方程有实数根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函数图象经过点， 典例精讲 考点二 反比例函数与实际问题-反比例函数与实际问题 新考法 例3 综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 拓展应用：小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以 转化为“图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且的长均不小于， 请直接写出的取值范围． 解：把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：，解得：，∴． 典例精讲 考点二 反比例函数与实际问题-反比例函数与实际问题 跨学科 例4 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，． (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 解：（1）设h关于的函数解析式为，把 代入解析式， 得．∴h关于的函数解析式为． （2）把代入，得．解得：． 答：该液体的密度＝． 典例精讲 考点二 反比例函数与实际问题-反比例函数与实际问题 跨学科 （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 易错点： 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-利润问题 例5 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； 解：（1）∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象 是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：，把代入可得：， 解得：，∴抛物线为； 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-利润问题 例5 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ （注：利润=销售额成本） 解：（2）∵，∴当时，成本最小值为， ∴，∴销售产品所获利润：（万元）； （3）设销售利润为万元，∴， 当时，获得最大利润，最大利润为：（万元）； 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-利润问题 利用二次函数解决利润最值的方法： 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价－进价，总利润=单件商品的利润×销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 常见的问题： 求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-面积问题 例6 为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为． 设，购买花卉的总费用为元． （）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （）求之间的函数表达式； 解：（）∵，∴， ∵四个阴影部分的三角形全等，∴， ∴红色花卉的种植面积为， ∵，∴，∴蓝色花卉的种植面积为， ∴黄色花卉的种植面积为； （）由题意可得， ，即； 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-面积问题 例6 为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为． 设，购买花卉的总费用为元． （3）当购买花卉的总费用最少时，求EI的长． 解：（3）∵， ∴当时，取最小值，∴， ∴， ∵四个白色部分的三角形全等，∴，设，则， 在中，，∴，∴， 解得（不合，舍去），∴的长为． 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-面积问题 利用二次函数解决面积最值的方法： 求最大面积类问题可以利用二次函数的图象和性质进行解答,也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 注意： 在求解几何图形的最大面积时,应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况： 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-分段函数 例7 某公司分别在A，B两城生产同一种产品，共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx.当x=10时，y=400;当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元. (1)求a，b的值. (2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件. (3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件;从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示). 解：（1）由题意得，解得 （2）由（1）得，设A，B两城生产这批产品的总成本的和为w万元，则，由二次函数的性质可知，当x=20时，w取得最小值，此时.∴A城生产20件，B城生产80件. （3）当时，A，B两城总运费的和的最小值为万元；当时，A，B两城总运费的和的最小值为万元. 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-二次函数路径建模 例8 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 解：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设，， 由题意得：，解得：，∴． 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-二次函数路径建模 例8 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；  解：依题总，得．解得，（舍），，当时，． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． 典例精讲 问题解决：（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到 内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 考点三 二次函数与实际问题-二次函数路径建模 例8 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 解：设发射平台相对于安全线的高度为， 飞机相对于安全线的飞行高度． ，， ，在中， 当时，； 当时，． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-二次函数路径建模 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题. 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-二次函数运动建模 例9 如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． (1)求外边缘抛物线的函数表达式； (2)求内边缘抛物线轴的正半轴交点的坐标； 解：（1）由题意得 是外边缘抛物线的顶点， 设． 又 抛物线过点， ，， 外边缘抛物线的函数表达式： ． （2）的对称轴为直线， 点的对称点为， 是由向左平移得到的， ． 令，即， 解得或（舍去）， 点的坐标为，点的坐标为． 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-二次函数运动建模 解：，点的纵坐标为， 令，即， 解得：． ，． 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则． 当时，随的增大而增大， 且时，， 当时，要使， 则． ， 灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值：． 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，的最小值为2． 综上所述，的取值范围是 ． 例9 如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD取值范围． 典例精讲 考点三 二次函数与实际问题-二次函数运动建模 首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决动点问题的方法： 对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决. 利用二次函数解决运动型几何问题的方法： 当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时， 其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律. 典例精讲 $