精品解析：江苏扬州市仪征市2025—2026学年第二学期期中试卷 七年级 数学

2025—2026学年第二学期期中试卷 七年级数学 2026.4 （总分：150分 时间：120分钟） 友情提醒：㽽有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上．） 1. 下面是可以帮我们干活的个AI“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 观察图形，与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（ ） A. 75 B. 200 C. 378 D. 1400 8. 设，则M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据用科学记数法表示为________． 10. 已知单项式与的积为，则______． 11. 若，则的值为__________． 12. 计算：_____． 13. 若，，则的值是________． 14. 若是完全平方式，则的值是__________． 15. 与的乘积中不含x的一次项，则m的值为 _______． 16. 如图，将一张长方形纸条折叠，折痕分别与，交于点，，点，分别落在，处，与交于点．若，则的度数为________． 17. 已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是________．（填序号） 18. 圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值．，其中． 21. 如图，是3×3的正方形网格，将其中两个方格涂黑，使得涂黑后的整个图案是轴对称图形.请在以下备用网格中画出四个不同的图案（如果绕正方形的中心旋转，能重合的图案视为同一种，例如，下列四个图形就属于同一种）. 22. 在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； （2）画出三角形关于点D成中心对称的三角形； （3）三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 23. 如图，甲长方形的两边长分别为，；乙长方形的两边长分别为，，图形甲的面积用表示，图形乙的面积用表示．（其中m为正整数） （1）比较与的大小关系，并说明理由； （2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试说明该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，并求出这个常数． 24. （1）规定，求： ①求的值； ②若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 25. 如图，在中，平分交于点，将沿的方向平移，点移至点的位置，得到． （1）若，，则 °； （2）求证：． 26. 如图，已知两个三角形按图①方式放置，中，，，中，，，如图②将绕点按顺时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）． （1）图①中， °； （2）在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值． 27. 某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． （1）根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； （2）设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 28. 综合与实践 （1）【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本38页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）．通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． （2）【实践活动】 活动材料：如图2，4张型直角三角形纸片． 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 活动内容：①图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．试探究、、之间的数量关系并说明理由． ②利用上述结论计算：若，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． （3）【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中试卷 七年级数学 2026.4 （总分：150分 时间：120分钟） 友情提醒：㽽有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上．） 1. 下面是可以帮我们干活的个AI“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项B：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 选项C：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 选项D：不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移与旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方及同底数幂的乘法和除法，熟练掌握各个运算是解题的关键．根据幂的乘方及同底数幂的乘法和除法可进行求解． 【详解】解：A．不能合并，原计算错误，故不符合题意； B．，计算正确，故符合题意； C．，原计算错误，故不符合题意； D．，原计算错误，故不符合题意． 故选：B． 4. 在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式；把原式提出负号进行变形即可求出． 【详解】解： 故选：D． 5. 观察图形，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，根据图形面积关系可得，从而可得答案． 【详解】解：由长方形的面积可得： 图中长方形的面积为：或； ∴， 故选：C 6. 已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 7. 每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（ ） A. 75 B. 200 C. 378 D. 1400 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8. 设，则M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用；，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：将数据0.00000117用科学记数法表示为． 10. 已知单项式与的积为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 11. 若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了逆用同底数幂除法公式求解等知识，逆用同底数幂除法公式得到，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 12. 计算：_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用；将原式变形，再逆用积的乘方运算． 【详解】原式 ． 故答案为：8． 13. 若，，则的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用进行求解即可． 【详解】解： ， ，， ， ， ． 14. 若是完全平方式，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式得出即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ， 故答案为：． 15. 与的乘积中不含x的一次项，则m的值为 _______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中不含某一项的问题，用多项式乘以多项式的法则进行计算，合并同类项后，x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含x的一次项， ∴，解得：； 故答案为：3． 16. 如图，将一张长方形纸条折叠，折痕分别与，交于点，，点，分别落在，处，与交于点．若，则的度数为________． 【答案】116 【解析】 【分析】由折叠的性质得到，由平行线的性质求，最后根据邻补角的性质可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ． 17. 已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，将每个关系式两边转化为以2为底的幂，通过比较幂的值即可判断关系式是否正确． 【详解】解：根据题意得：，，， 、， ， ， 故①正确； ， ， ， 故②正确； 、， ， ， 故③正确； 、， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 18. 圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 【答案】80 【解析】 【分析】利用中心对称的性质将圆分成9个部分，再利用各部分之间面积的和差关系将所求的面积转化为规则图形的面积即可． 【详解】解：作圆竖直位置的直径向右移动，水平位置的直径向上移动， 如图所示： 由对称性可知：、、， 则 ． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再计算即可； （2）根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘法则先化简，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 先化简，再求值．，其中． 【答案】；-1 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则，先化简，再代入求值，即可求解． 【详解】原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则，是解题的关键． 21. 如图，是3×3的正方形网格，将其中两个方格涂黑，使得涂黑后的整个图案是轴对称图形.请在以下备用网格中画出四个不同的图案（如果绕正方形的中心旋转，能重合的图案视为同一种，例如，下列四个图形就属于同一种）. 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】如图所示． 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，培养学生实际操作能力，用到了图形的旋转及轴对称的知识，需要灵活掌握． 22. 在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； （2）画出三角形关于点D成中心对称的三角形； （3）三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）是，画图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得； （2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）连接两组对应点即可得． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，与是关于点成中心对称， 故答案为：是． 23. 如图，甲长方形的两边长分别为，；乙长方形的两边长分别为，，图形甲的面积用表示，图形乙的面积用表示．（其中m为正整数） （1）比较与的大小关系，并说明理由； （2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试说明该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，并求出这个常数． 【答案】（1），理由见解析 （2）正方形面积S与图中的甲长方形面积的差是一个常数，这个常数是4 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘法及列代数式，注意数形结合的运用，比较两个多项式的大小，常用作差法． （1）根据长方形的面积公式列式，利用多项式乘以多项式的法则计算即可求解； （2）根据图中甲的长方形周长算出正方形的边长，后求S与的差即可求解． 【小问1详解】 解：．理由如下： ， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：图中甲的长方形周长为， ∴该正方形边长为， ∴， ∴这个常数为4． 24. （1）规定，求： ①求的值； ②若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1）①8， ②2， （2）32 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）①按照新规定计算即可； ②按照新规定列出方程即可求解； （2）把原式转化为，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得； ②由题意得，即， ∴， 解得； （2）∵， ∴． 25. 如图，在中，平分交于点，将沿的方向平移，点移至点的位置，得到． （1）若，，则 °； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质求解即可；（2）根据平移的性质得到，，从而得到，然后根据平分得到，从而得解． 【小问1详解】 ，， ， 平分， ， 沿的方向平移得到， ； 【小问2详解】 沿的方向平移得到， ，， ， 平分， ， ， ， ． 26. 如图，已知两个三角形按图①方式放置，中，，，中，，，如图②将绕点按顺时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）． （1）图①中， °； （2）在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值． 【答案】（1）15 （2）的值为9或15或27． 【解析】 【分析】（1）根据三角板的特点，图形结合分析即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况：；第二种情况： ；第三种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，； 【小问2详解】 解：第一种情况：如图所示，， ∴， ∴， 即点在上， ∵， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∴， ∴； 综上所述，的值为9或15或27． 27. 某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． （1）根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； （2）设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】（1），； （2）①运算规律：，证明见解析； ②这个两位数的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据题中的运算规律计算即可得解； （2）①根据题意得这两个两位数分别为，，从而得到运算规律为，分别计算等式两边即可证明； ②由①得，可得新的两位数为，，进而得到，然后计算出，再进一步分析求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， ； 【小问2详解】 解：①其中一个数的十位数字为，个位数字为， 另一个数的十位数字为，个位数字为， 根据题意得，这个运算规律为， 证明如下：左边, , 右边， 左边右边； ②由①得， 分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘， ， ， ， ， , , ， ， 依题意得，为小于的正整数， 为整数， 能被整除， 即这个两位数的最大值为． 28. 综合与实践 （1）【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本38页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）．通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． （2）【实践活动】 活动材料：如图2，4张型直角三角形纸片． 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 活动内容：①图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．试探究、、之间的数量关系并说明理由． ②利用上述结论计算：若，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． （3）【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑） 【答案】（1） （2）①；②11 （3）答案见解析 【解析】 【教材呈现】先用大小正方形的面积差表示第一个图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二个图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可； 【实践活动】①根据大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可；②先求得，再根据平方差公式可得答案； 【拓展探究】如图，连接交于点，延长交于，连接并延长交于，连接，交的延长线于，连接并延长交于，连接并延长交于． 【小问1详解】 解：第一个图的阴影部分面积为：，第二个图阴影部分的面积为：， 两个阴影部分的面积相等， 乘法公式为：； 【小问2详解】 ①大正方形面积，大正方形面积， ； ②由题意知：， ， ， 小正方形的面积是11； 【小问3详解】 解：如图，连接交于点，延长交于，连接并延长交于，连接，交的延长线于，连接并延长交于，连接并延长交于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $