精品解析：浙江温州环大罗山联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科 试题

浙江温州环大罗山联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4.考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ） A. B. C. D. 4. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试．已知考生甲答对每一题的概率均为，甲通过测试的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 某地GDP的年平均增长率为，按此增长率，该地GDP翻两番大约需要多少年（ ） （参考数据：） A. 11年 B. 22年 C. 25年 D. 33年 7. 已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与函数图象两个交点的坐标为，其中，当增大时，的值（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分，选对部分得部分分，错选或不选不得分） 9. 某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 150 200 常规培养法 80 200 合计 270 130 400 参考公式：，其中. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 下列表述正确的是（ ） A. B. 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C. 依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D. 常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若A和B是两个独立事件，则 B. 设和B互为对立事件，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，不等式组的解集为 B. 当时，不等式组的解集可以为的形式 C. 不等式组的解集恰好为，那么 D. 不等式组解集恰好为，那么 非选择题部分 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.6 其中为常数，则__________. 13. 的展开式中，含项的系数为__________．（用数字作答） 14. 已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的展开式的所有二项式系数之和为64， （1）求的值； （2）求展开式的常数项． 16. 某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数加以说明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度． 参考数据：. 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 17. 某人进行3场比赛（任何一场比赛均分出胜负），规则如下：第1场获胜的概率为；若上一场获胜，则本场获胜的概率为；若上一场失败，则本场获胜的概率为. （1）分别求第2场、第3场获胜的概率； （2）设X为3场中获胜的总场数，求X的数学期望． 18. 已知函数，其中为常数，且. （1）若是奇函数，求的值； （2）证明：在上有唯一的零点； （3）设在上的零点为，证明：. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求a，b的值，并求出“偏差”的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江温州环大罗山联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4.考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知：，. 2. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取特例可判断AC错误，根据可判断BD的正误. 【详解】显然当时，不等式不成立，故A错误； ，故B正确，D错误； 显然当时，不等式不成立，故C错误； 故选：B． 3. 四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】每个同学报名都有3种情况，共有4个同学，则有种报名方法. 4. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试．已知考生甲答对每一题的概率均为，甲通过测试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设考生至少答对其中一道题为事件，则，. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 6. 某地GDP的年平均增长率为，按此增长率，该地GDP翻两番大约需要多少年（ ） （参考数据：） A. 11年 B. 22年 C. 25年 D. 33年 【答案】B 【解析】 【详解】设该地原GDP为，需要年翻两番，则，所以. 两边取常用对数得， 所以. 因此大约需要年. 故选B. 7. 已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得在上单调递减，进一步通过偶函数性质以及将自变量都转换到区间内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解． 【详解】因为是偶函数，，在上单调递减， 所以在上单调递减． ，， 因为，所以， 所以， 所以，故． 8. 已知函数与函数图象两个交点的坐标为，其中，当增大时，的值（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，则，进而求得，再根据函数单调性判断即可． 【详解】，即， ，又，， ， ， ，当的值增大时，减小，也减小，即的值减小． 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分，选对部分得部分分，错选或不选不得分） 9. 某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 150 200 常规培养法 80 200 合计 270 130 400 参考公式：，其中. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 下列表述正确的是（ ） A. B. 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C. 依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D. 常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 【答案】ACD 【解析】 【详解】A，根据表格数据可知，，A正确； B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异， 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误； C，由题意得， 零假设不成立，依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若A和B是两个独立事件，则 B. 设和B互为对立事件，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件的概念可判断AB；根据条件概率公式即可判断CD． 【详解】A和B是两个独立事件，则， ，故A错误； 和B互为对立事件，则，即，故B正确； 易知，， ，故C正确； ，故D正确． 11. 已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，不等式组的解集为 B. 当时，不等式组的解集可以为的形式 C. 不等式组的解集恰好为，那么 D. 不等式组解集恰好为，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知得，结合各项的描述及一元二次不等式的解法依次分析各项的正误即可. 【详解】由，可得， A：当，显然，而，即不等式无实数解，对， B：当，则，而，故， 所以不等式组的解集可以为的形式，对， C、D：当不等式组解集恰好为，则， 所以，不等式的解集，即的解集为， 所以，可得，其中（此时不满足，舍）， 所以或（舍），故，C错，D对. 非选择题部分 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.6 其中为常数，则__________. 【答案】0.4 【解析】 【分析】由分布列概率之和为1，得到，再求分布列期望，进而得到方差． 【详解】解：，解得， ， ． 13. 的展开式中，含项的系数为__________．（用数字作答） 【答案】119 【解析】 【分析】写出含有项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果． 【详解】解：展开式中含有项的系数为： ． 14. 已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式知函数的图象关于直线对称，易得函数在上是减函数，在上为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可. 【详解】函数定义域为， ， ， 关于直线对称， 当时，函数在上递增，在上递增， 所以在上递减， 又关于对称，所以在上递增. 由得，即， 等价于，解得. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的展开式的所有二项式系数之和为64， （1）求的值； （2）求展开式的常数项． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 ， ， ∴展开式的常数项为. 16. 某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数加以说明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度． 参考数据：. 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】（1）0.995，因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系 （2），第7天这株幼苗的高度为4.5cm 【解析】 【小问1详解】 由， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系； 【小问2详解】 ，， 所以关于的回归直线方程为， 当时，，由此预测第7天这株幼苗的高度为4.5cm. 17. 某人进行3场比赛（任何一场比赛均分出胜负），规则如下：第1场获胜的概率为；若上一场获胜，则本场获胜的概率为；若上一场失败，则本场获胜的概率为. （1）分别求第2场、第3场获胜的概率； （2）设X为3场中获胜的总场数，求X的数学期望． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】第（1）问根据上一场胜负情况分类，利用全概率公式分别求第2场和第3场获胜的概率； 第（2）问可先列出3场比赛中获胜总场数的分布列，再求数学期望，也可把看作3场是否获胜的指标变量之和，利用数学期望的线性性质直接计算。 【详解】 【小问1】第2场获胜的概率： 设表示“第i场获胜”，已知，则， 根据全概率公式：. 第3场获胜的概率： 已知，则， 根据全概率公式：. 【小问2】方法1： 为3场中获胜的总场数，的可能取值为0，1，2，3， ； ； ； ， . （2）方法2： 设表示第场胜，表示第场败，则服从分布， 且. 根据数学期望具有线性性质： . 18. 已知函数，其中为常数，且. （1）若是奇函数，求的值； （2）证明：在上有唯一的零点； （3）设在上的零点为，证明：. 【答案】（1） （2） 由题意，， 在上单调递增， 所以函数和在上都是连续增函数， 在上是连续增函数， 又， ∴由零点存在定理可知在上有唯一的零点； （3） 由在上的零点为，则， ， 即， 由（2）可知，，且在上单调递增，所以， 易知函数在上单调递减， 又， ， . 【解析】 【分析】第（1）问根据奇函数定义建立恒等式，化简求出参数. 第（2）问将函数拆成两个连续增函数的和，判断在上的单调性，并结合函数值异号，利用零点存在定理证明零点唯一. 第（3）问利用零点方程整理出与之间的关系，再构造辅助函数，借助其单调性完成比较，证明. 【详解】（1），易得的定义域为. 若是奇函数，则恒成立， 即， 化简得，解得，经检验满足题意，故； （2）略 （3）略 19. 俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求a，b的值，并求出“偏差”的最小值. 【答案】（1）3 （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为3； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）根据题意，，方法1：构造，得到的极差，进而可得“偏差”的最小值；方法2：构造，求封口线，再利用导数得到与封口线平行的直线，进而可解；方法3：设，则，再解不等式组即可． 【小问1详解】 ， 因为，所以，则， 所以函数与的“偏差”为3； 【小问2详解】 令， 是单调减函数，， 由题意，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，或， 解得或（舍）， 所以； 【小问3详解】 ， 方法1：构造平口单峰函数 ， ， 构造，易知， 在处取得最小值4． 平口线切线：，（切点为） 最佳逼近直线为， 则：， 此时的“偏差”的最小值为. 方法2：斜口单峰函数 构造，计算端点值：，封口线斜率. 求导，令，解得切点横坐标，对应． 封口线方程：，切线方程：， 最佳逼近直线为， 则：， 此时的“偏差”的最小值为， 方法3： ， 则， ， ，当且仅当， 即取等，的“偏差”的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $