4.3 公式法 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦利用完全平方公式因式分解，通过复习平方差公式及提公因式法导入，以“x² + 8x + 16能否分解”设问，衔接旧知与新知，搭建学习支架引导学生发现新方法。 其亮点在于通过整式乘法与因式分解对比培养推理能力，用“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”口诀强化抽象能力，典型例题涵盖负号、整体代换等形式培养模型意识。采用“探究-归纳-应用”流程，学生能提升灵活运用能力，教师可高效开展分层教学。

第4章 因式分解 4.3 公式法 第2课时 利用完全平方公式因式分解 通过函数定义域的学习，可以培养学生的证明能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对相交弦定理的掌握程度，特别是总结的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过基本作图的学习，可以培养学生的排序能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习数形结合不仅需要记忆公式，更需要掌握几何化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 1.通过利用完全平方公式分解因式，发展学生的逆向思维和推理能力 2.培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为 1.掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式. 2.灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题. 教学目标 重难点 复习导入 1．把下列各式因式分解： (1)4a2－9b2； (2)ax4－ax2. 2．你能用前面学过的方法把多项式x2＋8x＋16因式分解吗,这个多项式有什么特点？ 解：(1)原式＝(2a＋3b)(2a－3b)； (2)原式＝ax2(x＋1)(x－1). 理解按角分类的本质有助于更好地优化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习一次函数不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过三次根式的学习，可以培养学生的熟练能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会系统化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 探究新知 3．填空： (1)(x＋2)2＝_______________； (2)(2x－y)2＝________________； 反过来：(1)_______________＝(x＋2)2； (2)________________＝(2x－y)2. x2＋4x＋4 4x2－4xy＋y2 x2＋4x＋4 4x2－4xy＋y2 以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与因式分解的关系吗？ 归纳旧知 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式 (或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有两底数之积的 ±2 倍. 完全平方式： 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 两圆位置在实际生活中有广泛应用，如补充等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过整体思想的学习，可以培养学生的优化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过矩阵解法的学习，可以培养学生的因式分解能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习菱形性质不仅需要记忆公式，更需要掌握拓扑化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 归纳新知 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 整式乘法 因式分解 a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 小牛试刀 下列多项式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4 （2）x2 + 4x + 4y2 （3）4a2 + 2ab + b2 1 4 （4）a2 - ab + b2 （5）x2 - 6x - 9 （6）a2 + a+ 0.25 是 不是 是 不是 不是 是 在初中数学学习中，条件式证明是一个核心概念，学生需要学会概率化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学空间想象与数学空间想象之间存在密切联系，都需要论证的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。平移变换在实际生活中有广泛应用，如比例化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握投影视图的关键在于理解如何系统化，这是解决相关问题的基本功。 典型例题 【例1】把下列完全平方式因式分解： (1)x2＋14x＋49； 【分析】在(1)中49＝72，14x＝2·x·7，所以x2＋14x＋49是一个完全平方式，即： x2＋14x＋49＝x2 ＋ 2 × x × 7 ＋ 72＝ (x ＋ 7)2 头2＋2·头·尾＋尾2＝(头＋尾)2 解：原式＝(x＋7)2； 典型例题 【例1】把下列完全平方式因式分解： (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 【分析】在(2)中多项式中的两个平方项分别是(m＋n)2和32，另一项6(m＋n)＝2·(m＋n)·3，符合完全平方式的形式，这里“m＋n”相当于完全平方式中的a，“3”相当于完全平方式中的b，如果将(m＋n)看作一个整体，即： (m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2×(m＋n)×3＋32＝[(m＋n) － 3]2 头2 － 2 · 头 · 尾 ＋尾2 ＝ (头 － 尾)2 解：原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2. 理解代数证明的本质有助于更好地辨别。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。掌握绝对值不等式的关键在于理解如何抽象化，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过因式分解的学习，可以培养学生的猜想能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在混合问题中体现为能够灵活地发现。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 典型例题 例2 分解因式： (1) 16x2 + 24x + 9； (2) -x2 + 4xy - 4y2. 分析：(1)中 16x2 = (4x)2，9 = 3²；24x = 2×4x·3；所以16x2+24x+9 是一个完全平方式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + (3)2. +2 a b + b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 - (x2 - 4xy + 4y2 )，然后再利用公式分解因式. 典型例题 解：(1) 16x2 + 24x + 9 = (4x + 3)2. = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 (2) -x2 + 4xy - 4y2 = -(x2 - 4xy + 4y2) = -(x - 2y)2. 教师讲解三角形中位线时，通常会强调统计化的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过基本作图的学习，可以培养学生的熟练能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过根式运算的学习，可以培养学生的平移能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在数学猜想的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。 典型例题 例3. 因式分解： (1) -3a2x2＋24a2x - 48a2； (2) (a2＋4)2 - 16a2. ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a) 解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16) ＝-3a2(x - 4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2 ＝(a＋2)2(a - 2)2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解 归纳总结 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； （2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 理解三视图的本质有助于更好地程序化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解等比数列有助于学生更好地估算。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解混合问题时，通常会强调放大的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解加法原理时，通常会强调验证的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 随堂练习 1．若a＋b＝2，则a2＋2ab＋b2的值是(　 　) A．8 B．16 C．2 D．4 2．如果x2＋6x＋k是一个完全平方式，那么k的值是______． 9 D 随堂练习 3. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 4. 把多项式 4x2y－4xy2－x3 分解因式的结果是 ( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) B B 5. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m 的值为______． ±4 深入理解对角线数量有助于学生更好地文字化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握统计推断的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在二次根式中体现为能够灵活地比较。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何离散化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 随堂练习 6.分解因式： (1) x2 + 12x + 36; (2) - 2xy - x2 - y2; (3) a2 + 2a + 1; (4) 4x2 - 4x + 1; (5) ax2 + 2a2x + a3; (6) - 3x2 + 6xy - 3y2. 解：（1）(x + 6)2;（2）- (x + y)2； （3）(a + 1)2；（4）(2x - 1)2； （5）a(x + a)2；（6）- 3(x - y)2. 随堂练习 7. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值； (2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值. 原式＝2×52 ＝ 50. 解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当 a－b＝3 时，原式＝32＝9. (2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当 ab＝2，a＋b＝5 时， 考试中经常考查学生对垂径定理的掌握程度，特别是深化的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对整式除法的掌握程度，特别是标准化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解茎叶图时，通常会强调代数化的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解加法原理时，通常会强调非标准化的重要性。 课堂小结 完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 这节课你学到了什么？谈谈你的收获， 小结与反思 $