2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(四)（辽宁适用）

**基本信息** 以导数、数列、统计为核心，融入冬奥会滑雪路程计算、居民健身场所调研等真实情境，通过多梯度问题设计考查数学思维与应用能力，适配高二下学期期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数运算（1）、等比数列最值（4）、独立性检验（9）|第7题函数零点问题梯度设计，考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|等差数列求和（12）、非线性回归（13）|第14题公切线斜率关联，体现几何直观| |解答题|5题/77分|导数应用（15）、统计案例（16）、数列综合（18）|15题结合冬奥会滑雪考瞬时速度，16题健身调研考独立性检验与分布列，落实应用意识|

2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(四) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册4.3+选择性必修第三册第五章至6.2.1单调性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 3．若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 5．现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（   ） A．1 B． C． D．2 6．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 7．已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附：下列表述正确的是（    ） A．， B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 10．已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．任意， D．任意， 11．已知定义在上的函数，函数的导函数为，且，则（    ） A．当时，. B．当时，. C．当时， D．当时，在上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，则__________． 13．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围．令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为________． 14．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．2026年2月6日至22日冬奥会在意大利举办，某高山滑雪运动员在冬奥会期间的一次滑雪比赛中滑行的路程S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为 (1)求该运动员从1s到3s时滑雪的平均速度； (2)求该运动员在时滑雪的瞬时速度； (3)当该运动员的滑雪路程为90m时，求此时的滑雪速度. 16．为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 (1)请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； (2)用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中． (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 18．若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在原点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)当时，证明：当时，． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(四) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册4.3+选择性必修第三册第五章至6.2.1单调性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据初等函数和简单复合函数的求导公式计算即可. 【详解】对于A，因为为常数，常数的导数为0，所以，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D错误. 2．某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设年年底总产值为，年平均增长率为，则， 所以，故． 故选：B. 3．若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合切点在切线和曲线上列方程组求解可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 4．已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可设等比数列的公比为， 则，当且仅当即时取等号， 故的最小值为. 5．现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】根据回归直线过样本中心点，代入得： ，所以原个样本的值总和为：， 去掉后，剩余个样本的值总和为：，值总和为： 因此新的样本中心点为：， 因为新的经验回归方程为，回归直线必过新的样本中心点，代入得： ，解得：. 6．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 【答案】D 【详解】已知等差数列，，， 由等差数列前项和公式可得， ，解得， ， ，是开口向上的二次函数， 对称轴为， 由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8， 当取最小值时，7或8． 7．已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件 恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论. 【详解】当时，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数的取值范围为． 作出的大致图象，如图所示． 由，得， 由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点， 即恰有2个零点． 所以的取值范围是. 8．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据条件得出其单调性，再将问题转化为解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附：下列表述正确的是（    ） A．， B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 【答案】AC 【详解】对于A，根据表格数据可知：，，A正确； 对于B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误； 对于C，由题意得， 零假设不成立，依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； 对于D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D错误. 10．已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．任意， D．任意， 【答案】ABD 【分析】对于A，代入求值即可判断；对于B，，说明，即可证明，即可判断B；对于C，求出即可判断；对于D，先证明，由，两边同时除以得，当时，利用累加法得到，即可得到，再讨论，即可判断D. 【详解】对于A，，，，故A正确； 对于B，， 当时，若，则或， 令，即，因为，故方程无解，即， 当时，或，而， 以此类推，或， 又，所以， 所以，所以， 所以数列为递减数列，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，因为数列为递减数列，故， 由可得，即， 由，两边同时除以得，即， 所以当时， ，，，， 上式累加得， 即， 又，所以， 当时，，此时， 综上，，故D正确. 11．已知定义在上的函数，函数的导函数为，且，则（    ） A．当时，. B．当时，. C．当时， D．当时，在上单调递增 【答案】ABD 【分析】构造函数再求解导函数，进而得出函数单调性，比较函数值大小判断A，B，C选项，再化简已知得出，再结合计算导函数为正判断D. 【详解】A:令，则， 故单调递增，，故A符合题意. B:令，则， 故单调递增，，故B符合题意. C:令，则 故单调递增，，故C不符合题意. D:，，， 又因为， 当时，，故，故， 故在上单调递增，故D符合题意. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【答案】6 【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解. 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 13．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围．令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为________． 【答案】 【分析】由回归直线方程可得：，解出即可求解． 【详解】因为， 所以． 故答案为：. 14．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．2026年2月6日至22日冬奥会在意大利举办，某高山滑雪运动员在冬奥会期间的一次滑雪比赛中滑行的路程S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为 (1)求该运动员从1s到3s时滑雪的平均速度； (2)求该运动员在时滑雪的瞬时速度； (3)当该运动员的滑雪路程为90m时，求此时的滑雪速度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平均速度的概念，求出从1s到3s时的路程，进而求出结果； （2）根据瞬时速度的概念，求出结果即可； （3）根据函数导数的几何意义，求出结果即可； 【详解】（1）当时，， 所以从1s到3s时的滑雪的平均速度为． （2）因为， 所以， 即该运动员在时滑雪的瞬时速度为． （3）当时，， 所以，． 由，即，解得或（舍去）． 因为，所以此时的滑雪速度为． 16．为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 (1)请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； (2)用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为年龄与健身场所选择有关 (2)的分布见解析，数学期望为（或约） 【分析】（1）先补全 2×2 列联表，再代入卡方独立性检验公式计算统计量，与 95% 置信度临界值比较，判断年龄与健身场所选择是否有关联； （2）先按分层抽样确定抽取的青壮、中老年人数，再用超几何分布计算随机变量 X 的各取值概率，列出分布列并代入期望公式求数学期望. 【详解】（1）根据已知数据计算空缺值，得到完整列联表如下： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 40 100 社区公共运动场 20 50 70 合计 80 90 170 因为， 因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关. （2）选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为， 因此抽取的样本中青壮年人数：，中老年人数：. 设抽取的7人中中老年人数为，则青壮年人数为，. 因为青壮年共4人，故，解得，又， 因此，对应的可能取值为. 总情况数为， （对应或）时，， （对应）时，， （对应）时，， （对应）时，， 因此，的分布列为： 1 3 5 7 所以 17．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中． (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入已知条件，计算即可解决问题； （2）利用三角函数的周期性，将数列进行分组，然后进行分组求和，先求出一个周期内的和，最后求出全部和. 【详解】（1）解：（1）， ，，． ，，，． （2）解：由（1）得，，， ． 又的周期，当时，； 当时，；当时，； 当时，，其中． 在一个周期内，，， ，， ， 数列的前20项为5个完整的周期，． 18．若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项； （2）利用分组求和法可求； （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在原点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)当时，证明：当时，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导得，代入计算得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）法一：对分和讨论即可；法二：分离参数得得．再设新函数，求导得到右边最小值即可； （3）利用导数证明不等式，再合理放缩即可. 【详解】（1）当时，，， ，，所以曲线在原点处的切线方程为． （2）法一：，若在上单调递增，则在上恒成立． ①当时，在上恒成立．令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取得最小值，最小值为1，所以， ，符合题意； ②当时，令，则． 因为在上单调递增，，所以当时，， 当时，，在上单调递减，在上单调递增． 要使得在上恒成立，则，解得，结合，得． 综上，a的取值范围为． 法二：．若在上单调递增，则在上恒成立． 由，得．令，， 则，．令，则． 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，即． 当时，，，，所以，即； 当时，，，，所以，即． 在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为． （3）证明：令，则． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，所以是增函数． 因为，所以在上恒成立， 即当时，在上恒成立． 令，则，所以是增函数． 因为，所以当时，，即． 因为，所以当时，，所以， 所以当时，． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $