2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(二)（辽宁适用）

**基本信息** 聚焦数列、导数与统计核心内容，融入返乡创业直播、农业生产优化等现实情境，通过基础计算与综合证明梯度设计，考查数学抽象、推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|平均变化率、等比数列、导数切线、线性回归|第5题以直播销售数据考查线性回归，体现数据意识| |填空题|3题/15分|独立性检验、等差等比综合、函数零点|第12题新药疗效研究，强化统计应用能力| |解答题|5题/77分|导数切线证明、数列求和、回归方程与利润优化、导数单调性证明|17题构建施肥量-产量回归模型解决利润最大化，培养模型观念；19题导数综合证明，提升推理能力|

2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(二) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册4.3+选择性必修第三册第五章至6.2.1单调性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A． B．4 C． D．2 3．已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 4．已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．林林是一名大学生返乡创业者，带领自己的助农直播团队通过线上平台销售家乡特色血橙.团队对销售数据和促销方案进行了分析，发现血橙日销售量（吨）与直播时长（小时）之间存在较强的线性相关关系.现抽取五场直播数据，根据下表样本数据： 2 3 4 5 6 2 4 6 8.5 11.5 得到的线性回归方程为，则（   ） A．， B．， C． D． 6．已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 7．函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数及其导函数均连续，且满足对于定义域上任意的x均有，则正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示的是物体甲、乙在时间到范围内运动路程的变化情况，下列说法正确的是（   ） A．在时刻，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 B．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 C．在时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 10．已知首项为3的数列的前项和为，且，则（    ） A．是等比数列 B． C．是等比数列 D．的前项和小于1 11．已知（且），若，且（为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 患者性别 药效 合计 无效 有效 男 15 35 50 女 6 44 50 合计 21 79 100 设：服用此药的效果与患者的性别无关．则______（精确到小数点后3位），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______． 13．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，则______． 14．设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 16．记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 17．某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 18．已知数列的前项和为，等差数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和，求. 19．已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时， （ii）． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(二) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册4.3+选择性必修第三册第五章至6.2.1单调性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知. 2．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意，利用等比数列的前项和公式，化简得到，求得，再根据，求出，即可得解. 【详解】由等比数列的前项和公式， 可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即， 所以，解得或（舍去）， 由，可得， 所以. 故选：D. 3．已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 4．已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，，所以 5．林林是一名大学生返乡创业者，带领自己的助农直播团队通过线上平台销售家乡特色血橙.团队对销售数据和促销方案进行了分析，发现血橙日销售量（吨）与直播时长（小时）之间存在较强的线性相关关系.现抽取五场直播数据，根据下表样本数据： 2 3 4 5 6 2 4 6 8.5 11.5 得到的线性回归方程为，则（   ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【详解】由表格数据可知，直播时长增大时，日销售量也随之增大， 因此线性回归方程的斜率，而A、B选项中，故A、B错误； 线性回归直线必过样本中心点，计算得 ， 将代入回归方程得， 进一步转化得，故C正确，D错误. 6．已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【详解】由可得， 当时， ， 当时，，，也满足，所以，， ， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 7．函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】因为（），所以. 函数在区间内存在单调递减区间，则在上有解. 由. 设，则在上单调递增， 则，可得. 函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是. 8．已知定义在上的函数及其导函数均连续，且满足对于定义域上任意的x均有，则正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】根据题意整理可得，令，可知在定义域内单调递减，进而分析，的符号，即可判断BCD；利用反证法判断A. 【详解】因为， 则，可得， 令，则， 可知在定义域内单调递减，且， 当时，，即，且，可得. 当时，，即，且，可得. 对于选项A：当时，则，，可得，， 假设，则，， 可得，与题意相矛盾， 假设不成立，所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，所以，故B错误； 对于选项C：当时，则，故C错误； 对于选项D：当时，，则，故D错误； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示的是物体甲、乙在时间到范围内运动路程的变化情况，下列说法正确的是（   ） A．在时刻，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 B．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 C．在时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 【答案】BCD 【详解】瞬时速度为曲线的切线斜率，在时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A错误，C正确； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以，即甲的平均速度大于乙的平均速度，故B正确； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，所以，即甲的平均速度大于乙的平均速度，故D正确. 10．已知首项为3的数列的前项和为，且，则（    ） A．是等比数列 B． C．是等比数列 D．的前项和小于1 【答案】ABD 【详解】由，得， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 由，得，所以，故B正确； 当时，， 又不符合上式， 则， 所以不是等比数列，故C错误； 设的前项和为， 因为， 所以，故D正确. 11．已知（且），若，且（为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即， 即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 患者性别 药效 合计 无效 有效 男 15 35 50 女 6 44 50 合计 21 79 100 设：服用此药的效果与患者的性别无关．则______（精确到小数点后3位），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______． 【答案】 4.882 5％ 【分析】计算，再由独立性检验得出结论. 【详解】由公式计算得． 因为，所以我们有的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为． 故答案为：4.882；5％ 13．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，则______． 【答案】12 【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】等差数列的通项公式为，则，. 等比数列的通项公式为，则，. 由题意知，，整理得，即， 所以或. 对于二次方程，，则此方程无实数解. 因此，所以. 故. 14．设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，，则且不恒为零， 所以函数在上单调递增，所以， 又因为，所以函数在上有且只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以只需，解得； 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出切线的斜率和切点坐标即得解； （2）设切点，求解此点处的切线，计算得证直线与函数图象相切； 【详解】（1）由题意知，，∴切线的斜率为1 ∴切线方程为 （2）设为函数图象上一点 令点处切线斜率为1，则， 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，不符合题意 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，即直线 ∴直线与函数的图象相切 16．记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式. （2）由（1）求出，利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前项和，当时，， 而，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，令， 则，， 两式相减得， 因此，所以. 17．某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 【答案】(1)，实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩 (2)当施肥量为10kg/亩时利润最大 【分析】（1）根据题意，利用回归系数的公式，求得，进而得出回归直线方程，结合的值，得出的实际意义； （2）由利润为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，可得， 又由， 所以产量y关于施肥量x的回归方程为， 其中的实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩. （2）设利润为元/亩， 当且仅当kg/亩时取等，即当施肥量为10kg/亩时利润最大. 18．已知数列的前项和为，等差数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和，求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，利用，求得，设等差数列的公差为，列出方程组，求得，进而得到数列； （2）由（1）得，根据题意，得到，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为数列的前项和为， 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，所以， 又由， 设等差数列的公差为，可得，即，解得， 所以， 因此，数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，，可得， 因为为在区间内项的个数， 又由，可得，即， 所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以数列的前项和为 19．已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时， （ii）． 【答案】(1) (2)在单调递增． (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）根据复合函数求导得，进而二阶求导，根据函数的单调性可判断单调递减，进而可得单调递减，即可求解, （3）构造函数，即可求导得函数的单调性求证（i），根据（i）的结论可证明，即可结合求证（ii）. 【详解】（1），则，，， 所以在点处的切线方程为，即． （2），则 ， 记， 故 设，则 当时，，单调递减，所以，即，所以单调递减， 所以，故在单调递增． （3）证明：（i）令，则， 所以在上单调递增，所以，即当时， 所以当时，； （ii）由（i）可知当时，，故， 由于,则，故， 由（2）可知在单调递增，在单调递减，故在单调递减，即在单调递减， 故，所以． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $