2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(一)（辽宁适用）

**基本信息** 以导数、数列、统计为核心，通过新能源汽车消费、企业研发投入等真实情境，考查数学抽象、数据分析与逻辑推理，解答题融合几何面积与不等式证明，体现知识综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数几何意义、等差等比数列、独立性检验|结合蝗虫产卵量回归模型考查数学建模| |填空题|3题/15分|切线方程、数列前n项和、不等式存在性|注重基础概念与运算能力| |解答题|5题/77分|数列证明与求和、函数切线、统计回归分析、函数零点、折线面积|综合几何与数列求区域面积，渗透数学抽象与逻辑推理|

2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(一) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册4.3+选择性必修第三册第五章至6.2.1单调性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，且，则（    ）. A． B． C．1 D．3 2．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 3．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（    ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的前项和为，且，，则的公比为（    ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 5．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 6．在数列中，，，则（   ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 7．已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：． A． B．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 C．由散点图知变量和正相关，相关系数的绝对值越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．当时，残差为 10．已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（   ） A． B．5 C．3 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在处的切线方程为__________. 13．已知数列的前n项和为，且，则________． 14．已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 16．已知函数，点在曲线上． (1)求的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 17．某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数加以说明； (2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度． 参考数据：. 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 18．已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围. 19．已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积； (3)记，若恒成立，求实数的最大值． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(一) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册4.3+选择性必修第三册第五章至6.2.1单调性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，且，则（    ）. A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】 2．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，所以，则， 所以. 3．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由表格数据知：， ， 代入，得，解得， 所以，即， 所以，当时，. 4．已知等比数列的前项和为，且，，则的公比为（    ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据所给条件列出方程解得，再求等比数列的公比. 【详解】由等比数列的性质得． 由可得，即． 由，解得或， 所以或， 所以的公比为3或． 5．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D. 【详解】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 6．在数列中，，，则（   ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 【答案】D 【分析】变形给定的递推公式并构造新数列，利用累加法求出通项公式即可. 【详解】由，两边同时除以得： ， 即， 令，则， 则，， 当时， ，而满足上式，因此， ， 所以. 7．已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为，，，构造函数利用导数研究单调性求解． 【详解】由，，，得，，， 且，，， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 设，则，所以在上单调递减， 所以，即， 所以，即， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：． A． B．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 C．由散点图知变量和正相关，相关系数的绝对值越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．当时，残差为 【答案】ABD 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，根据公式计算回归系数， ， 所以回归直线方程为，故B正确； 对于C，散点图如下所示， 由图可知，变量x和正相关，但相关系数越接近1，线性相关程度越强， 越接近0，相关程度越弱，故C错误； 对于D当时，预测值，实际值， 残差，故D正确． 10．已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】应用等比数列通项公式计算判定A，B，应用计算判定C，应用等比数列求和公式计算判定D. 【详解】因为等比数列的公比为q，，， 则，所以，B选项错误； ，所以，A选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； ， 当为偶数时，单调递增，的最小值是， 当为奇数时，单调递减，所以， 综上，的最小值是，D选项正确； 11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】BD 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以函数为奇函数， ， 因为当时，，即， 所以函数在上单调递减， 又函数为奇函数，则在上单调递减， 又，所以，所以， 当时，令，则， 当时，令，则， 所以的解集为， 所以选项BD符合题意. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】结合导数，利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题可得,由于,， 所以曲线在处的切线方程为，即 13．已知数列的前n项和为，且，则________． 【答案】75 【详解】当为奇数时，为奇数，则，故数列的奇数项均为； 当为偶数时，为偶数，则，即， 则数列的偶数项，是以为首项，公差为1的等差数列， 所以. 14．已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 【答案】(1)证明见解析， (2)9 【分析】（1）结合题干和等差数列的定义求解通项公式即可； （2）由（1）得，设，裂项相消可得，再结合的特点求解m的最小值. 【详解】（1）由已知得且，可得是首项为1，公差为的等差数列， 所以．故的通项公式是． （2）由（1）得． 设，则，． 当时， ， 由题意可得单调递增，且当时，，得到． 由，可知符合题设条件的m的最小值为9． 16．已知函数，点在曲线上． (1)求的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）已知点在曲线上，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值； （2）对函数求导，得到切线的斜率，利用点斜式求切线方程； （3）设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求出切线方程，代入已知点的坐标求出切点，进而求出切线方程. 【详解】（1）因为点在曲线上， 所以，解得． （2）由， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （3）设切点坐标为，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 将点的坐标代入切线方程， 可得，解得或． 当时，所求切线方程为； 当时，所求切线方程为． 综上所述，曲线过点的切线方程为或． 17．某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数加以说明； (2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度． 参考数据：. 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】(1)0.995，因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，第7天这株幼苗的高度为4.5cm 【详解】（1）由， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系； （2），， 所以关于的回归直线方程为， 当时，，由此预测第7天这株幼苗的高度为4.5cm. 18．已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的导数与单调性的关系，通过讨论a的范围，判断函数的单调性； （2）利用（1）的结论，结合零点存在定理列不等式求a的范围. 【详解】（1）已知，其定义域为.求导. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于0时，趋近于， 所以根据零点存在定理，则需满足， ，解得； ，化简得，解得； 又因为，可得， 所以实数a的取值范围为. 19．已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积； (3)记，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3). 【分析】（1）两边同时除以即可证明数列是等差数列. （2）记梯形 的面积为 ，根据题意得 ，再根据错位相减法求和即可得面积 ; （3）结合题意代入原式可得，再根据恒成立问题转化为 ，最后根据数列的单调性求 的最小值即可得答案. 【详解】（1）因为，两边同时除以， 所以所以是首项为 ，公差为 1的等差数列. （2）过 向 轴作垂线，垂足分别为 ， 由（1）得 ，则 . 记梯形 的面积为 . 由题意得 所以 ① 又 ② ①②得 所以 . 所以由该折线与直线 所围成的区域的面积 . （3）已知 ，则 所以. 由 恒成立，即 恒成立， 即 恒成立，由 单调递增， 故当 时， ，故 ，即 ， 所以 的最大值为 . 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $