福建莆田第一中学2025-2026学年高一下学期数学周测4.17

2025-2026学年高一下数学周练2026417. 1,在空间中，下列命题正确的是 A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2.已知口，B,'是三个不同的平面，α，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是 A.若a⊥y,B⊥y,则a"p B.若a⊥a,b⊥a,则alb C.若al1a,bca,则ab D,若alla,alIB,则alp 3.已知i为虚数单位，复数z=(cos75°+isin75)(cosl5°+isin15),则= A.1 B.2 C.2 D.√6 4.设a,B是两个不重合的平面，则a∥B的充要条件是 A.存在无数条直线与a,B都平行 B.存在无数个平面与，B都垂直 C.对任意的直线lc,都存在直线mcB,使得1Wm D.对任意的直线1c,都存在直线mCB,使得1⊥m 5.在长方体ABCD-ABGD中，AA=2AB=2BC,E,F分别是棱AB,BC的中点，则异面直线BC与直线 EF所成角的余弦值是 A. C.5 10 B.0 D.3@ 5 5 10 6.已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如 图加黑的16个点)，从这16个点中任选互不相同的三个点A,B,C,则4B.AC的最大值为 A.12 B.13 C.15 D.18 7.已知三棱锥P-ABC的体积为9√3，∠BAC=90,AB=AC=3V2,PB=PC=6,若该三楼棱锥的四个 项点都在球O的球面上，则球O的表面积为 A.24元 B.48元 C.96π D.108π 1 8.如图，正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为4，P为正方形BCC,B,的中心，2为棱DD的中点，过点 A,P,2的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为 64 A.16 B.18 C. D.24 D C B A 9.(多选)上图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中 A.AE//CD B.CH//BE C.DG⊥BH D.BG⊥DE 10.(多选)《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.现有阳马 P-ABCD如右上图所示，其中PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=√2，点E在棱PC上运动. 下列说法正确的有 A.CD⊥平面PBC B.直线PC与AB所成的角为60° C.AE⊥BD D.当PE=PC时，四棱锥E-8CD的体积是四棱锥P-A8CD体积的号 11.(多选)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠ABC=90°，AP=AC=2,E,F,G分别为AB,BC,PC 中点，下列结论正确的是 A.△PBC为直角三角形 B.PE//平面AFG 3 C.三棱锥P-ABC的体积最大值为 D.三棱锥P-ABC外接球的半径为定值 12.已知单位向量a,6满足a1(a-26),则<a,b>= 13.设长方体ABCD-AB,C,D,体积为1，点P,2,R分别为A,B,CC,CD的中点，则四面体PQRA的体积为 14.在平面凸四边形ABCD中，∠BAC=60,AB=2,BC=2W3,△BCD的面积为3V3.当∠ADB最 大时，四边形ABCD的面积为 2 15.如图，直三棱柱ABC-ABC,∠BAC=90,B=AC=V5,M'=1,点M,N分别为B和BC 的中点.Q)证明：MN∥平面A'ACC;(2)求三棱锥A-MNC的体积， A C B M! 16.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2N2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. p (1)证明：P0⊥平面ABC: (2)若点M在棱BC上，且MC=2MB,OM=2y5,求点c到平面POM的距离. 3 M 17如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C 到达点P的位置，且PF⊥BF, (1)证明：BF⊥平面PEF;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值， 3 18.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC,A4=AB=BC,D为AC的中点. (1)证明：AB⊥BC;(2)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值. A C B D 19.在三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,若点O,2分别是△ABC,△PBC的垂心， 证明：OQ⊥平面PBC. p B 4 【参考答案】14.DBAC5-8.ACBD9BCD10.BD11.ACD1 、14.4W3 因 7.【详解】已知∠BAC=90,B=AC=3反，所以aMBC的面积3c=x3W5x3点=9. BC=VAB2+AC2=3+2=6,直角三角形外接圆圆心为斜边BC中点，/ E 设BC中点为D,则AD=BD=CD=3, 因为三棱锥体积/=号8ch=95,代入得时×9xh=95,A=3, 又PB=PC=6,D为BC中点，由等腰三角形三线合一得PD⊥BC, B 且PD=√PB2-BD2=√36-9=33=h,因此PD⊥平面ABC,即P在底面投影为D. 设OD=x,球半径为R,则OA=OP=R. C B 0=AD2+0D2=9+2,0P2=(PD-0D2=n5-x, A R 联立得9+2=35-x,解得x=5,因此R2=9+°=12. 即球0的表面积S=4元R2=4元×12=48元、 8.【详解】如图，取CC的中点R,连接BR,OR,过点P作直线EFI/BR,分别交BB,CC于点E,F,连接 BC,OF,AE,因P为正方形BCCB,的中心，则BC∩EF=P,因BP=CP,则易得 BE-CF-FR-GR-ICC=1. 又因2为棱DD,的中点，则易得OR/IDC/IAB,QR=DC=AB,即四边形ABRQ为平行四边形， 则得BR/Ag,故AQ/IEF,于是，平面AEF2即过点A,P,O的截面， 显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体AD2-BEFC,记其体积为V, 法ABE2e+VE枚#D0-9CR7×4×1×4+义4 10.【详解】因为PD=VP+AD=√5，PB=V2,AC=√AB2+BC=V5=BD,PC=√AP2+AC2=2, 且△PBC为等腰直角三角形，因为CD∥AB,AB与PB不垂直，所以CD与PB不垂直， 所以CD不垂直于平面PBC,故A错误； 因为AB∥CD,所以∠PCD(或其补角)是直线PC与AB所成的角， 所以esC0-DCCD-宁所秋以o0-心，放B正痛： 2CD·PC 由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD,假设AE⊥BD成立，则BD⊥平面PAC, 所以BD⊥AC,与题意矛盾，故C错误； 因为8-兮C,所以CE专PC,故%-亏am,所以D正确 11.【详解】对A,因为PA⊥平面ABC,BC亡平面ABC,所以PA⊥BC, 又AB⊥BC,PA,AB是平面PAB内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAB, 因为PBc平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形，正确： 对B,连接AF,CE相交于点H,连接GH, C 若PEII平面AFG,平面AFG∩平面PCE=GH,PEc平面PCE,则PEIIGH, 因为AP,CB为△ABC的中线，所以H为△ABC的重心， CH =2, HE 因为G为PC的中点，所以C9+C盟，与PEGH矛盾，故B错误： GP HE 对C,因为AB+BC2=AC2=422MB-BC,得AB-BC≤2，所以Sc=)AB,BC≤1， 2 所以ac分kPA≤对x1k2-子，当且仅当B=8C=反时等号成立，正确： 2 对D,将三棱锥补形成长方体，易知PC即为外接球的直径， 易得PC=√PA2+AC2=2√2，外接球半径R=V2,正确， 故选：ACD B装系取cR中点E则E0A那么%m-m-m”号aAcA一 14.分析：延长BA到M,使得BA=2AM,过M作AB的垂线I,易知D在直线I上， 3-1 则∠ADB=∠MDB-∠MDA,设MD=x,则tan∠ADB=tan∠HDB-tan∠MDA =-x x 2 三 1+tam∠MDB un∠MDA1+3.T ,3 x+- xx 则当x=√5时，∠ADB最大，此时四边形ABCD的面积为4V3 15.【解析】(1)（法一）连结AB,AC,由已知∠BAC=90°，AB=AC,M为AB中点.又因为N为BC中 点，所以MNAC,又MN丈平面A'ACC ACc平面AACC,因此MNI∥平面AACC (法二)取A'B的中点为P,连结MP,NP,M,N分别为AB和BC的中点， ∴.MP∥AA'NP∥A'C',.MP∥面AACC,NP∥面AACC,,MPONP=P,∴.面MPN∥面AACC, .MNc面A'ACC,∴MN∥面ACC, ()(解法一)连结BN,由题意A'N⊥B'C,面AB'C∩面B'BCC=B'C,∴.A'N⊥⊥面NBC, ANBC'netw 1 B (解法2)VM-aNC=VA-N8 =ac=ac= 2 2 6 16.【详解】(1)因为AP=CP=4,0为AC的中点，所以0P1AC,且0P=25,, 连结oB.因为AB+2C=AC,所以△MBC为等腰直角三角形，且0B14C,0B=方4C=2,由 OP?+OB?=PB知，OP⊥OB,又OBOAC=0,则P0⊥平面ABC. (2)作CH⊥OM,垂足为H,又由PO⊥平面ABC,可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM 又0C-2Q-C8=华，在三角形0Mc中，由余弦定理得QM2S5,由等面积公式y OCxCMstm三=OMXCH,,解得cH=4N5 42 5 17解：(1)由己知可得，BF⊥PF,BF⊥EF,PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF. (2)在平面PEF内，作PH⊥EF于点H,连接DH, 又由(I)知PH⊥BF,且BF∩EF=F,则PH⊥平面ABFD,所以DP与平面ABFD所成角为∠PDH, 由已知得BF//DE,PF⊥BF,则PF⊥DE,且PF⊥PD,PD∩DE=D,所以PF⊥平面PDE. 进而PF1PE设AB=2,则PF=1,ER=2,则PE=V5,PH= 2,si∠PDr=Pg-月 PD 4 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 4 18.【解】(1)AA⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以AA⊥AB, 又因为A4=AB,所以四边形AA,B,B是正方形，所以AB⊥AB,又AB⊥AC,A,B∩A,C=A 所以AB⊥平面ABC,所以AB,⊥BC因为BB⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以BB,⊥BC. 又AB⊥BC，BB∩AB=B,BBC平面AAB,B，ABC平面AABB, 所以BC⊥平面AAB,B,所以AB⊥BC. (2)不妨设A4,=AB=BC=2, 7 因为4⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以M⊥BC、… 又AB⊥BC,M∩AB,=A,AMc平面AMBB,ABc平面4BB, 所以BC⊥平面A,B,B,即BC,BA,BB,两两垂直.… 在△44C中，4A14C,4C=25. D为4C的中点，所以D=CD=4C=万，… 同理BD-4C=v5, 所以△ABD的面积S=√瓦，… 所以三发能D-A0C的体积%c-北e-分行2x1=号 设点C在平面ABD的投影为C,则%c=儿m-号xx0C=号 所以CC=√2… 设直线AC与平面ABD所成角为0， 则sim9=CC-6 CD 3 所以直线4C与平面ABD所成角的正弦值为5 19.【详解】证明：如图，连接AO并延长交BC于点E,连接PE. :PA.L平面ABC,BCc平面ABC,PA⊥BC, :AE⊥BC（由于O是△ABC的垂心)，PA∩AE=A,.BC⊥平面PAE :PEc平面PAE,∴PE⊥BC 因为O为△PBC的垂心，点Q在PE上， :BC⊥平面PAE,OQc平面PME,∴.BC⊥O2① 连接BO并延长交AC于点F,则BF⊥AC. 连接BQ并延长交PC于点M,则BM⊥PC,连接MF. :PA⊥平面ABC,BFc平面ABC,.PA⊥BF .BF⊥AC,PA∩AC=A,∴.BF⊥平面PAC ,PCc平面PAC,BF⊥PC. .而BM∩BF=B,∴.PC⊥平面BMF,而O0c平面BMF,.PC⊥O2② :BCOPC=C,由①②知：O0⊥平面PBC. 8