云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

云南师大附中2025~2026学年下学期期中考试试题 高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟 第I卷（选择题，共58分)》 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知i是虚数单位，若复数z满足(1-i)z=2,则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知随机变量X~N(4,σ2)，P(X>6)=0.2,P(2<X<4)= A.0.6 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3.某校艺术节期间有6名主持人，其中3名女生，3名男生，现从6名主持人中随机抽取 2人参加艺术节颁奖仪式，设抽取的2名主持人中男生人数为X,则P(X=1)= C.3 4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosB--bcosA=--2c,则anA tanB A.3 B.-3 c D.- 3 高二数学·第1页（共6页) 5.若d与6均为单位向量，且|a-61=√2a.6,则d.6的值为 1 A.0 B.2 D. 5 6.已知二项式(x-1)”的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中x项的系 数为 A.84 B.-84 C.56 D.-56 7.班级序号为1,2,3,4,5的五个班级参加抽签，签号为1,2,3,4,5，则有且只有 一个班级抽到的签号与班级序号相同的抽签结果数为 A.20 B.40 C.45 D.25 8.已知函数f(x)= sinx+cosx ,若，1为函数(x)相邻的两个极值点，且x,<x1,下列 e 结论正确的是 A.ef(x+1)+f(x)=0 B.e"f(x+1)-f(x:)=0 C.f(x+1)+ef(x:)=0 D.f(x+1)-efx)=0 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.给出下列说法，其中正确的有 A成对样本数据(，)代表的散点全部在直线y=+5上，则样本相关系数r=号 4 6 B.成对样本数据(，)(i=1,2,3,4,5,6)的经验回归方程为=4+5，若含：= 30,则=25 C.x1,2,x,x4和y1,y2,y3,y4的方差分别为S和S号，若x,+y:=10且x:<y: (i=1,2,3,4),则S<S D.对于独立性检验，随机变量X2的观测值越大，判定“两个分类变量相关”犯错误 的概率越小 高二数学·第2页（共6页) 10.已知圆C:（x-2)2+y2=4和直线l:x-y+4=0,点P在直线L上运动，直线PA、PB分 别与圆C相切于点A,B,则下列说法正确的是 A.圆心C到直线l的距离为3√2 B.切线长|PA|的最小值为3 C.四边形PACB面积的最小值为2√14 D.当|PA|最小时，弦AB所在的直线斜率为1 11.已知函数fn（x)=sin”x+cos”x(neN,x∈R),下列说法正确的是 A(a)的单调道增区间为[？+2，要+2k,keZ B()的值城为[分，刂 C当0为大于2的偶数时，f(x)的最小正周期为号 D.存在neN,使得关于x的不等式.(x)+2 2tsinwco-(≥0对任意的xe0,引恒成 立，则t≤1 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12已知等比数列a,的前项和为5，若冬=3，则 S3 13.已知抛物线C:x2=4y的焦点为圆C2:x2+(y-1)2=1的圆心，过圆心C2的直线l与 抛物线和圆交于自上而下的四个点A,B,C,D,则|AB|·ICD|的值是 高二数学·第3页（共6页) 14.如图1，用2个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从A到B的 电路为通路的状态时，系统正常工作、已知每个元件正常工作的概率为；，在电路系统正 常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为Xn,则E(Xn)= 图1 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S2=8,a2n=2a,-1(n∈N°). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=an·3”,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn 16.（本小题满分15分) 如图2，在菱形ABCD中，O为AC与BD的交点，将三角形ACD沿AC翻折至三角形 ACE,连接BE,DE构成四棱锥E-ABCD, (1)证明：平面ABCD⊥平面BDE; (2)若AB=4,∠ABC=60°，二面角E-AC-D的平面角为60°，求平面ACE与平面 ADE夹角的余弦值， B 图2 高二数学·第4页（共6页) 17.（本小题满分15分) 一个不透明的盒子中有2个红球，2个白球，所有小球除颜色外完全相同，每次从袋 子中随机取出两球（不考虑顺序），记录取出的红球的个数并放回盒子中，搅拌均匀 后重复进行至n次，记X,为n次摸取后红球的总个数，P,表示X,为偶数的概率. (1)求第一次取出红球个数X,的分布列； (2)求P1,P2; (3)求P（用含n的表达式表示). 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx,直线l1：y=kx,直线l2:y=k2x-1. (1)若函数f(x)=lnx的图象始终在直线l1:y=kx的下方，求k,的取值范围； (2)若函数f(x)=lnx与直线l1:y=kx相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2), 函数f(x)=lx在A,B处的切线相交于点C,且点C在直线l2上，判断2k,与k2的大 小关系并证明 高二数学·第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 知双曲线方程：0>0,6>0，双曲线的实釉长为2，离心率为2 (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的右焦点F,直线l:x=my+2(m为常数，m≠0)与双曲线的右支交 于A,B两点. 日若动点7满足， 求点T的轨迹方程； 回已知点哈，且如即2停，求4PR 1_2W2 高二数学·第6页（共6页） 云南师大附中2025~2026学年下学期期中考试试题 高二年级数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 J 6 7 8 答案 A C D B D A 【解析】 2 1.由题意知，z=二=1+1，故复数z在复平面内对应的点为(1)，在第一象限，故选A 2.因为正态分布的均值为4，故P(X≤2)=P(X<2)=P(X>6)=0.2,故P(2<X<4)=0.5- P(X≤2)=0.3，故选C 3.恰好取出一名男生的基本事件数为：CC,=9,6名主持人中抽取2名主持人的基本事件 数为：Cg=15,PX=)=9=3 155故选C. 4.由acosB-bcosA=-2c和正弦定理，得sin Acos B-sin Bcos A=-2sinC（1),因 sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin BcosA,将其代入(1)整理得 3 sin AcosB=-sin BcosA,即3tanA=-tanB,故anB=-,故选D, 5.由题意可知a-=V2a6台(a-=2ab台a+6-2a6=2a.b,所以， 46-6=2日a-6=,故选B 6.因为二项式(x-1)”的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，所以n=8,所以(x-1)的 展开式的通项为T=Cg(x)8（-1,令8-r=3,即r=5,故T=C(x)(-1°=-56x, 故展开式中x3的系数为-56，故选D, 7.根据分步乘法计数原理，第一步：先抽取班级序号与签号相同的班级，共有C,种结果：第 二步：假设剩下的四个班级为1,2,3,4，对应的表演顺序为3×3×1×1=9，根据分步乘 法计数原理：5×9=45种，故选C. 高二数学参考答案·第1页（共10页） 8.对函数f内)求导得∫)=osx=sinx=sinx-cosx=-2x,令f)=0,则 m=名+元，所以，fx)=fk+)=+网+cos+=-si血-cos五=f, e+ ee" e 所以e"f(x)+f(x)=0,故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BD ACD BCD 【解析】 9.对于A:成对样本数据(：，)代表的散点全部在直线)=行x+5上，则样本相关系数r=1, 4 故A错误：对于B,因为=之x=5,经验回归直线过点(：，列，所以了=4x5+5=25, 故B正确：对于C,因为x+y=10且x<y,则y,=10-x,所以2=S,故C错误： 对于D,对于独立性检验，随机变量x的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率 越小，故D正确，故选BD, 10.对于A,圆C:(x-2)?+y2=4的圆心为C(2,0),半径为2，由题意可得PA⊥AC,PB⊥BC, 如图1，所以P4=PG-hG=Pc-4,PdL-2-0t4=35,所以 PA=32-4=V4,故A正确，B错误：对于C, S四边P4c=2S,P4c=PA-AC=2PA22V14,所以四边形 PACB面积的最小值为214，故C正确：对于D,当PA 最小时，PC⊥I,AB为以PC为直径的圆与圆C的交线， PC⊥AB,即AB平行于直线I,所以斜率为1，故选ACD. 图 1对于Ai因=血x+ox=5+》 单调递增区间为 经+2血子+2ke2 故A错误；对于B,/4(x)=sin4x+cosx=(sin2x+cos2x-2sin2xcos2x=1-二sin22x 高二数学参考答案·第2页（共10页） e[合]，故B正确：对于C+引血（+引e+引co+mx=因. 下证，没有小于受的最小正周期，若存在T0,) 满足(x+T)=(x)，则 f()-(0)1.T..sinxe(0.).cosxe(.)..(T)ii c0s*T<sin2T+cos2T=1,与假设矛盾，所以，()的最小正周期为究，故C正确： 对于D,当xe0引时.血xe0ose0小，则血z+cox≤血+os,所以 只需讨论sinx+cosx+2 tsinxcosx-t≥0对任意的x∈ 恒成立，令 m=如x+cox=5m+}同，且2osx=2-1,所以(-2列2-m对 任意me[L]恒成立，即会SL所以us1,故D正确，故选BCD。 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 > 3 3 【解析】 12.根据等比数列的性质，当Sm≠0时，Sm,S2m一Sm,Sm一S2m,…也成等比数列，不妨设 S=k(k≠0)，则S。=3k,即S,S6-S,S,-S6,…是以k为首项，2为公比的等比数列， 所以8-8=，可得8=36号=张，则冬=子 S。3 13,由题可知，抛物线的焦点为F(0,),设直线方程为：y=a+1,由 (x=4y得， y=a+1 y2-(4k2+2)y+1=0,设A(x,y),B(x,),则yy=1,由抛物线的定义与圆的位置关 系AB=AF-BF=y+1-1=y,同理|CD=,所以，ABCD=1. 高二数学参考答案·第3页（共10页） 14.每个单元由2个元件组成，各单元之间相互独立，设事件A:某单元正常工作，B:某单 元申有损坏元件，则：P=2x号P=号号会 418 P国利-积所以x-个计x)=x-号 1 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分13分) S2=8 解：(1)由题意可知 2a+d=8∫a=3 4=2a-1→{d=4-1→{d=2→a,=2n+1. …（5分） (2)由bn=an3"=(2n+1)3”, 所以Tn=33+5.32+7.33+…+(2n+1)3”, 3T,=332+533+7.3+…+(2n+1)3m, 则Tn-3Tn=3.3+2.32+233+23+…+23”-(2n+1)3m, -2g=9+2g+9++列-a+-9+229-+9r. -2Tn=-2n.3m, T =n.3m, 综上：Tn=n3m(neN). (13分) 16.(本小题满分15分) (I)证明：因为四边形ABCD为菱形，对角线相互垂直，即AC⊥BD, 又ACOBD=O,则O为AC,BD中点，AC⊥BO,AC⊥DO. 将△ACD沿AC翻折至△ACE,则EO=DO且AC⊥EO. 因为AC⊥BD,AC⊥EO且BDEO=O,BDC平面BDE,EOC平面BDE, 所以AC⊥平面BDE. 又ACC平面ABCD, 所以，平面ABCD⊥平面BDE, …(6分) 高二数学参考答案·第4页（共10页） (2)解：由已知AB=4,∠ABC=60,菱形ABCD中：△ABC为等边三角形， 故AC=AB=4,AO=0C=2. 由勾股定理：B0=OD=√AB2-AO=2√5，翻折后，AC⊥OD,AC⊥0E, 故二面角E-AC-D的平面角为∠E0D=60,且OE=OD=25, 由(I)可知，平面BDE⊥平面ABCD且平面BDEO平面ABCD=BD, 在平面BDE中过O点可作OM⊥BD,则OM⊥平面ABCD,且OM与OE夹角为30， 以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，以OM所在直线为z轴，建立 如图2所示空间直角坐标系。 …(8分) 0(0,00),A(20,0),C(-2,00),B(0,25,0,D0,-25,0, 由∠E0D=60,E(0,-√5,3)， AC=(-4,0,0,E=(-2,-√5,3)， 设平面ACE的法向量为n=(x,为，) 图2 则c=0 -4x=0 7·AE=0-2x-5y+3z=0 令=V5,解得x=0,名=1，故元=(0,5，， A而=（-2，-25,0，=（-2,5,3. 设平面ADE的法向量为n=(x2,2,), 则 万而=0∫-2x,-254,=0 z2·AE=0-2x2-V5y2+3z2=0 令为=5，解得为=3,2=1，故m=(3,-5,1, …(13分) 所以os(瓦，n网)F 2-3 阿 2×V1313 所以，平面ACE与平面ADE夹角的余弦值为 13 (15分) 高二数学参考答案·第5页（共10页） 17.(本小题满分15分) 解：(1)从2个红球2个白球中摸出2球，X的可能值为0,1,2， P出=0=8-名-0-号Px-2小号 所以，X,的分布列为： X 0 1 2 1-6 2-3 1-6 …(5分) 2)X为偶数即X=0,名=2：所以，R=P(X=0+P(x=2)= X,为偶数即：第一次摸到红球个数为偶数且第二次摸到红球为偶数或第一次摸到红球为 奇数，第二次摸到红球为奇数： 11225 B=3×+号×行9 1 所以，R=3B=) 5 (10分) 9 (3)X,为偶数即X为偶数且第n次摸到红色小球为偶数个：X为奇数，且第n次摸 到红色小球为奇数个： 所以-+号-归+号 构遮特比数列，B分2》P方名 整理可得， --周”aem 所以B=,入-号验证合： 所以.=+ …(15分) 高二数学参考答案·第6页（共10页） 18.(本小题满分17分) 解：(1)由函数f(x)=血x的图象始终在直线：y=kx的下方，只需满足kx>血x, 即xE(0,+∞)时，店>血x,不妨令F()=血x, F),令P=0k=e 当xe(O,e)时，F(x)>0,则F(x)在(0，e)单调递增， 当x∈(c,+o∞)时，F(x)<0,则F(x)在(e,∞)单调递减， 所以当x=e时，函数F(s)取到极大值，也是函数F()的最大值，F(=F(回= 所以，k> (6分) e 2)由函数f闪=nx,则财r(=号 在A5,y)处的切线方程为y=x+nx-1, 在B飞，)处的切线方程为y=上x+nx-1, …（8分） 1 y=二x+nx-1 联立两条切线方程： 可得：6=5a5-血)= y=一x+hx3-1 x3- 将x=kxx2代入并化简可得yc=k(:+2)-1,∴C(飞xx,k(:+x)-1), 将C((6+)-)代入直线马：y=kx-1方程可得=+五， 书3 …（10分) 所以， 么-2%=+五-2血5-血五，不妨设5>x>0,令1=点>1则=出， xx3龙3-x x 代入视有购必=-出丝-件-片2加 Xx2 …(14分) 高二数学参考答案·第7页（共10页） 移专0=片2小.0-1+号子-g0 所以h()在(1，+∞)单调递增，故h(t)>h(1)=0, 由上>0，>0，h0>0,k-2k>0. X t-1 综上：k>2k· (17分) 19.(本小题满分17分) 2a=2 a=1 解：(1)由题意可得 9=2 →{c=2, a a2+b2=c2 b2=3 所以，双曲线的方程为-上=1. (3分) (2)(i)由直线1：x=y+2,设A(:,y),B(:,y2), x=y+2 联立直线与双曲线方程 x-上=1可得(3m-y2+12m+9=0, 3 3m2-1≠0，即直线AB与双曲线渐近线不平行 -12m 4+2=3m2-1, 9 4y=3m2-1 由直线AB与双曲线交于右支，所以3m2-1<0,则0≤m'< (5分) AT AF 设T(xy),由 BT BF 可知， 将点A,B,T,F的坐标分别代入 IAT]AFI (xx)+(-y) BT BF V(x-x)}+y-y2)月 y 两边同时平 (x-x2+(y-y}=y2 (x-x)+(y-y½ 高二数学参考答案·第8页（共10页） 根据分数的性质进行化简：-广+-y_x-}+0-y 2 利用直线AB的方程进行代换： x-m-2+0y-y_x-m-2+0-y, y 2-j2j- 移项利用平方差公式化简： 供2jj长-jj 兴m-}送*儿居引 --传]层}层医别 两边的去实并化商可有--小任}]-y化+} 由韦达定理+上=-4m 3 号x-2八-2(k-2)+(智2y=0两边同乘-得。 x-2+x-2++ y=0, 2m 化简可-到++品品 (11分) (i) AP AF 由P0可知点P在圆周上，则 根据角平分线定理可知PF平分 ∠APB,即∠APF=∠BPF=二∠APB, SAAPB=SAAPF+S△pE' 高二数学参考答案·第9页（共10页） 所以in∠APB=sin∠PF+P-PF-sn∠BPF, sin∠APB=-PFsin∠APF+|BP-PFl-sim∠aPr 3 AP· 3 2cos∠APF= AP:▣+|BPR AP BP 2cos∠APF_AP+BP_1 1 PF A斗BPAP BP' J+=2y5,则4eos2PF-2 AP BP 3 3 3 cos∠APF= ，所以APF=妥 …（17分) 2 高二数学参考答案·第10页（共10页）