精品解析：云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

云南师大附中2025~2026学年下学期期中考试试题 高二年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数，再进行判断即可. 【详解】由题意：， 所以复数对应的点的坐标为：，在第一象限. 故选：A 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合正态分布的曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布的均值为，其图象关于对称， 则，所以. 3. 某校艺术节期间有6名主持人，其中3名女生，3名男生，现从6名主持人中随机抽取2人参加艺术节颁奖仪式，设抽取的2名主持人中男生人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】恰好取出一名男生的基本事件数为， 而6名主持人中抽取2名主持人的基本事件数为， ∴，故C正确. 4. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 因， 故， 即，即，故. 5. 若与均为单位向量，且，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 可得，而与均为单位向量， 得到，解得. 6. 已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. 84 B. C. 56 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，即，故， 故展开式中的系数为. 7. 班级序号为1，2，3，4，5的五个班级参加抽签，签号为1，2，3，4，5，则有且只有一个班级抽到的签号与班级序号相同的抽签结果数为（ ） A. 20 B. 40 C. 45 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理结合组合数计算求解. 【详解】根据分步乘法计数原理，第一步：先抽取班级序号与签号相同的班级，共有种结果； 第二步：假设剩下的四个班级为1，2，3，4， 1号班级有3种选择，如果选择3号签，下一步由3号班级选择有3种选择，无论剩下选择几号签，剩下两个班级两个号签，只有一种选法符合题意， 所以选择对应的抽签顺序为， 根据分步乘法计数原理：种. 8. 已知函数，若，为函数相邻的两个极值点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，令，得到，化简求得，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，，为函数相邻的两个极值点，且，可得， 所以， 所以. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列说法，其中正确的有（ ） A. 成对样本数据代表的散点全部在直线上，则样本相关系数 B. 成对样本数据的经验回归方程为，若，则 C. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两个分类变量相关”犯错误的概率越小 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A：成对样本数据代表的散点全部在直线上，则样本相关系数，故A错误； 对于B，因为 ，经验回归直线过点，所以，故B正确； 对于C，因为且，则，所以，故C错误； 对于D，对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故D正确. 10. 已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心到直线的距离为 B. 切线长的最小值为3 C. 四边形PACB面积的最小值为 D. 当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为， B. 的值域为 C. 当为大于2的偶数时，的最小正周期为 D. 存在，使得关于的不等式，对任意的恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数及三角恒等变换的综合应用. 选项A,利用辅助角公式结合正弦函数的单调递增区间，代入检验即可作出判断； 选项B，利用同角三角函数平方和为的关系，对降幂，再根据正弦函数的值域即可求出的值域； 选项C，主要考查周期函数的定义，易证当为大于2的偶数时，函数的周期为，只需证明没有小于的最小周期即可； 选项D，将恒成立的问题，转化为求函数最值问题，即可得出判断. 【详解】解：选项A，， 由正弦函数的单调递增区间为，， 则， 解得的单调递增区间为，，错误； 选项B，由， 化简得，又， 所以，B正确； 选项C，当为大于2的偶数时， ， 由周期函数的定义可知，为的周期. 以下证明，没有小于的最小正周期 假设存在满足，则， ，，， ，与假设矛盾， 所以，的最小正周期为，C正确； 选项D，当时，，，则， 所以只需讨论，对任意的恒成立， 令，则， 所以，对任意恒成立， 即对任意恒成立. 令，又，所以在上单调递减， 当时，取最大值为；当时，取最小值为，所以， 当时，只需证，即，则； 当时，，显然成立； 当时，，恒成立， 综上，对任意恒成立时，，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列的前项和为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】，否则. ∴， ∴. ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，考查了计算能力，属于中档题. 13. 已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 【答案】1 【解析】 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，直线的斜率存在，设直线方程为：， 由消去得，设，， 由韦达定理得，则， 由抛物线的定义知，，， 所以，， 所以. 14. 如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______. 【答案】 【解析】 【详解】每个单元由2个元件组成，各单元之间相互独立， 设事件：某单元正常工作，：某单元中有损坏元件， 则，， 由条件概率公式得， 所以，. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等差数列通项与前项和公式，结合已知条件与，建立关于首项和公差的方程组，求解得到，，而得出通项公式． （2）由的形式，采用错位相减法，先写出​的展开式，再乘以公比得到，两式相减后利用等比数列求和公式化简，最终得到． 【小问1详解】 设的公差为， 由题意可知， 所以，解得， 所以． 【小问2详解】 由， 所以①， ②， ①②得， ， ， ， 综上. 16. 如图，在菱形中，为与的交点，将三角形沿翻折至三角形，连接，构成四棱锥. （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为四边形为菱形，对角线相互垂直，即， 又，则为，中点，，， 将沿翻折至，则且， 因为，且，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助菱形性质及翻折性质可得、，再利用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理即可得证； （2）由题意可建立适当空间直角坐标系，再求出平面与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，，则菱形中，为等边三角形， 故，， 由勾股定理：，翻折后，，， 故二面角的平面角为，且， 由（1）可知，平面平面且平面平面， 在平面中过点可作， 则平面，且与夹角为， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，，， 由，则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，，故， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，，故， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 一个不透明的盒子中有2个红球，2个白球，所有小球除颜色外完全相同，每次从盒子中随机取出两球（不考虑顺序），记录取出的红球的个数并放回盒子中，搅拌均匀后重复进行至次，记为次摸取后红球的总个数，表示为偶数的概率. （1）求第一次取出红球个数的分布列； （2）求，； （3）求（用含的表达式表示）. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）求出的可能值，及每个的可能值的概率，从而得到的分布列； （2）为偶数即，，则；计算得解；为偶数即：第一次摸到红球个数为偶数且第二次摸到红球为偶数或第一次摸到红球为奇数，第二次摸到红球为奇数，从而计算出； （3）为偶数即为偶数且第次摸到红色小球为偶数个；为奇数，且第次摸到红色小球为奇数个；从而得到，通过构造等比数列及利用等比数列的通项公式得到. 【小问1详解】 从2个红球2个白球中摸出2球，的可能值为0，1，2， ，， 所以，的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】为偶数即，；所以，； 为偶数即：第一次摸到红球个数为偶数且第二次摸到红球为偶数或第一次摸到红球为奇数，第二次摸到红球为奇数； ， 所以，，. 【小问3详解】 为偶数即为偶数且第次摸到红色小球为偶数个；为奇数，且第次摸到红色小球为奇数个； 所以，， 构造等比数列，，， 整理可得，，， 所以，.代入验证符合； 所以，. 18. 已知函数，直线：，直线：. （1）若函数的图象始终在直线：的下方，求的取值范围； （2）若函数与直线：相交于不同的两点，，函数在，处的切线相交于点，且点在直线上，判断与的大小关系并证明. 【答案】（1） （2），证明： 由函数，则， 在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 联立两条切线方程：可得：， 将代入并化简可得，∴， 将代入直线：方程可得， 所以，，不妨设，令，则， 代入并化简可得， 不妨令，则， 所以在单调递增，故， 由，，，∴. 综上：. 【解析】 【分析】（1）将问题转化为，进而分析函数的最值即可. （2）求出函数在处的切线，联立方程求出，再构造函数，研究函数的单调性，即可证明结论． 【小问1详解】 由函数的图象始终在直线：的下方，只需满足， 即时，，不妨令， ，令，即， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以当时，函数取到极大值，也是函数的最大值，. 所以，. 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线方程：，双曲线的实轴长为2，离心率为2. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的右焦点，直线：（为常数，）与双曲线的右支交于，两点. （ⅰ）若动点满足，求点的轨迹方程； （ⅱ）已知点且，求. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及实轴长列式求解即可. （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理以及角平分线定理进行化简求解即可. （ii）利用角平分线定理以及面积法，把线段比例条件转化为三角函数等式，进而求出角. 【小问1详解】 由题意可得， 所以，双曲线的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由直线：，设，， 联立直线与双曲线方程可得， ，即直线与双曲线渐近线不平行. ， 由直线与双曲线交于右支，所以，则， 设，由可知， 将点，，，的坐标分别代入， 两边同时平方， 根据分数的性质进行化简：， 利用直线的方程进行代换：， ， 移项利用平方差公式化简：， ， ， 两边约去并化简可得， 由韦达定理. 两边同乘得， ， 化简可得. （ⅱ）由可知点在圆周上，则，根据角平分线定理可知平分，即， ， 所以， ， 所以， ， 因为，则， ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2025~2026学年下学期期中考试试题 高二年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 某校艺术节期间有6名主持人，其中3名女生，3名男生，现从6名主持人中随机抽取2人参加艺术节颁奖仪式，设抽取的2名主持人中男生人数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 若与均为单位向量，且，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. 84 B. C. 56 D. 7. 班级序号为1，2，3，4，5的五个班级参加抽签，签号为1，2，3，4，5，则有且只有一个班级抽到的签号与班级序号相同的抽签结果数为（ ） A. 20 B. 40 C. 45 D. 25 8. 已知函数，若，为函数相邻的两个极值点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列说法，其中正确的有（ ） A. 成对样本数据代表的散点全部在直线上，则样本相关系数 B. 成对样本数据的经验回归方程为，若，则 C. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两个分类变量相关”犯错误的概率越小 10. 已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心到直线的距离为 B. 切线长的最小值为3 C. 四边形PACB面积的最小值为 D. 当最小时，弦所在的直线斜率为1 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为， B. 的值域为 C. 当为大于2的偶数时，的最小正周期为 D. 存在，使得关于的不等式，对任意的恒成立，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列的前项和为，若，则______. 13. 已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 14. 如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 16. 如图，在菱形中，为与的交点，将三角形沿翻折至三角形，连接，构成四棱锥. （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 一个不透明的盒子中有2个红球，2个白球，所有小球除颜色外完全相同，每次从盒子中随机取出两球（不考虑顺序），记录取出的红球的个数并放回盒子中，搅拌均匀后重复进行至次，记为次摸取后红球的总个数，表示为偶数的概率. （1）求第一次取出红球个数的分布列； （2）求，； （3）求（用含的表达式表示）. 18. 已知函数，直线：，直线：. （1）若函数的图象始终在直线：的下方，求的取值范围； （2）若函数与直线：相交于不同的两点，，函数在，处的切线相交于点，且点在直线上，判断与的大小关系并证明. 19. 已知双曲线方程：，双曲线的实轴长为2，离心率为2. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的右焦点，直线：（为常数，）与双曲线的右支交于，两点. （ⅰ）若动点满足，求点的轨迹方程； （ⅱ）已知点且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $