福建福州市台江区九校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二数学期中试卷，通过几何概型直观化（第3题用正方形面积解释条件概率）、传统文化情境（第17题对联取联问题）及创新定义题（第7题“简单有序对”计数），考查导数、概率等核心知识，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数切线、排列组合、几何概型|第3题以面积直观呈现条件概率，培养几何直观| |多选题|3/18|方差、条件概率、函数性质|第10题甲乙罐取球问题，考查对立事件与全概率公式，强化逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、导数极值、计数原理|第14题方格小球摆放，创新空间计数情境，发展空间观念| |解答题|5/77|导数应用、概率期望、二项式定理|第17题结合对联文化求概率期望，第19题导数单调性与极值点证明，提升数学表达与创新意识|

2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 班级 姓名 座号 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．曲线在处的切线如图所示，则＝（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－1 2．某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（    ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 3．若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（    ） A. 事件A发生的概率 B. 事件B发生的概率 C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率 D. 事件A、B同时发生的概率 4．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B．2 C．4 D．12 6．若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为（    ） A． B． C． D． 7．若，均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如，），则称为“简单的”有序对，而称为有序数对的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（    ） A．100 B．150 C．200 D．300 8．若函数是区间上的单调函数，则实数m的值一定不是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（    ） A．设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D．已知随机变量的概率分布为，则实数的值为 10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．函数在上单调递减，在上单调递增 B． C．若，则实数的取值范围是 D．当时，若方程有且只有一个根，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若，则正整数的值为 ． 13．若函数在处有极小值，则等于 ． 14．将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求系数绝对值最大的项． 16．（15分）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)求的极值． 17．（15分）对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）． (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望． 18．（17分）现有外表相同，编号依次为1，2，3，…，n（n≥3）的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k = 1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球．随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球． (1)当n = 4时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率． (2)记第三次取到白球的概率为p，证明：． 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，求与的数量关系； (3)设是的两个极值点，证明：． 高二数学试卷 第1 页（共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学参考答案及评分标准 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．曲线在处的切线如图所示，则＝（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【详解】设曲线在处的切线方程为，则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 2．某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（    ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 【答案】B 【详解】先从 5 种课外书中选 2 种给甲有种，再从剩下的3 种书中选 2 种给乙有种， 根据分步乘法计数原理，则两人选的课外书没有相同种类的选法有种. 3．若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（    ） A. 事件A发生的概率 B. 事件B发生的概率 C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率 D. 事件A、B同时发生的概率 【答案】A 【详解】由题意可知： 表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示在事件B不发生的条件下，事件A发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率. 故选：A. 4．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因，则，解得：． 故选：A. 5．已知，则（    ） A． B．2 C．4 D．12 【答案】C 【详解】令，则， 故， 中得系数为，中得系数为， 所以， 故选：C. 6．若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆柱母线长为，底面半径为，则， 而圆柱体积，其中，故， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故， 故选：A. 7．若，均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如，），则称为“简单的”有序对，而称为有序数对的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（    ） A．100 B．150 C．200 D．300 【答案】D 【详解】根据题意可得，1942为两个数的和（加法时各位均不进位），其中一个数确定，另一个数也确定，所以首位有0,1两种方法，第二位有0，1，2，3，4，5，6,7,8,9 共10种方法，第三位有0,1,2,3,4共5种方法，个位有0,1,2有3种方法，采用分步计数原理，所以共有个，故选D. 8．若函数是区间上的单调函数，则实数m的值一定不是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由，得到， 由，得到或， 所以的增区间为，减区间为，，又在区间上单调， 则或或，解得或，结合选项知，实数m的值一定不是. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（    ） A．设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D．已知随机变量的概率分布为，则实数的值为 【答案】ACD 【详解】对于选项A：根据方差的性质：若，则新数据的方差， 此处原方差，，因此新方差，A正确； 对于选项B：每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 对于选项C：组成无重复数字的三位数，百位不能为0： 百位：从1~9选，共9种选择； 十位：去掉百位已选数字，剩余9个数字可选，共9种选择； 个位：去掉百位、十位已选数字，剩余8个数字可选，共8种选择； 总个数：，C正确； 对于选项D：由分布列性质，所有概率和为1，对概率裂项求和： ， ， 解得，D正确. 10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 11．已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减，在上单调递增 B． C．若，则实数的取值范围是 D．当时，若方程有且只有一个根，则 【答案】BC 【详解】对A：， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对B：因， 由，及在上单调递增，可得，故B正确； 对C：，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C正确； 对D：令，即， 由C知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由，， ， 若方程有且只有一个根，则或，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若，则正整数的值为 ． 【答案】5或7 【详解】由组合数的性质，可得， 则，可得或， 解得或. 13．若函数在处有极小值，则等于 ． 【答案】108 【详解】， 因为在处有极小值，所以， 即，解得或， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，不合题意， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极小值，合题意， 所以，则. 故答案为：108. 14．将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为 ． 【答案】29 【详解】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点， 即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点）， 可以把的方格分为两类， 小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况， 将四个角的方格设成类方格，以保证类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格， 剩余4个小格为类方格，如图所示： （1）4个小球若占用4个A类方格，有种； （2）4个小球若占用3个A类方格，1个B类方格，有种； （3）4个小球若占用2个A类方格，2个B类方格， 此时只能选择隔着中间方格相对的B类方格，共2种可能，所以此时有种； （4）4个小球若占用1个A类方格，3个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. （5）4个小球若占用4个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. 因此，共有种． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)常数项为，此项的二项式系数为 ； (2) 【详解】（1）展开式的通项公式为 ， ……………………………………… 2分 令，可得，所以，展开式中的常数项为，…………………………… 4分 其二项式系数为. ……………………………………………………………………………………… 6分 （2）令，设最大，则，即，………………………………8分 即， ………………………………………………………………………… 9分 解得， ………………………………………………………………………………………………… 11分 因为，解得，…………………………………………………………………………………………12分 所以，系数绝对值最大的项为.…………………………………………………13分 16．（15分）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【答案】(1) ； (2)的极小值为无极大值 【详解】（1）由，可得 ……………………………………………………… 2分 又曲线在点处的切线与直线平行，故，……………………… 4分 即，得. …………………………………………………………………………………… 6分 （2） 由（1）可知 ……………………………………………………………………… 7分 且. …………………………………………………………………………………… 8分 令，可得， ………………………………………………………………………… 9分 由，可得.由，得. 故在上单调递减，在上单调递增. ……………………………………………… 13分 可知当时，极小值为，无极大值. ……………………………… 15分 17．（15分）对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）． (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望． 【答案】(1) ； (2) 【详解】（1）设A=“这4联可以凑成甲对联” ……………………………………………………………… 1分 8联中随机取出4联，有种取法， …………………………………………………………………… 2分 取出的4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有种取法 ……………………………… 3分 所以P(A)=. ………………………………………………………………………………………… 6分 （2）的所有取值可能为0，1，2. …………………………………………………………………………… 7分 ，……………………………………………………………………………………………… 9分 ， …………………………………………………………………………………… 11分 .……………………………………………………………………………………………… 13分 的分布列为 X 0 1 2 P .……………………………………………………………………………… 15分 18．（17分）现有外表相同，编号依次为1，2，3，…，n（n≥3）的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k = 1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球．随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球． (1)当n = 4时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率． (2) 记第三次取到白球的概率为p，证明：． 【答案】 ； ；(2)证明见解析 【详解】解：记“已知选中的恰为号袋子，第三次取出的是白球”为事件……………………… 1分 则， 故已知选中的恰为号袋子，第三次取出的是白球的概率为；……………………………………………… 4分 记“选中的是第个袋子”为事件，则两两互斥，且， 记“第三次取出的是白球”为事件， 则，……………………………………………………… 5分 ， ………………………………………………………… 6分 ，…………………………………………………………… 7分 ，…………………………………………………………………………… 8分 所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是号袋子的概率为 ， 故在第三次取出的是白球的条件下，恰好选中的是号袋子的概率为；…………………………………… 10分 证明：记“选中的是第个袋子”为事件，则两两互斥，且． 记“第三次取出的是白球”为事件， 则，…………………………………………………………………………………… 13分 所以 ………………………………… 15分 ，得证． ………………………………………… 17分 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，求与的数量关系； (3)设是的两个极值点，证明：． 19.(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析 【详解】（1），，…………………………………………………………… 1分 令，由，得， 此时，在上单调递增；…………………………………………………………………… 2分 当，即时，方程的两根为，； 当时，，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，………………………………… 3分 当时，，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增；… 4分 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增.……………………………………………………………………………5分 （2），即， 令，， ，，……………………………………………………………………………7分 若，则存在，使得当时，， 即在上单调递增，而，所以，不符合题意，… 8分 若，则存在，使得当时， ，即在上单调递减，而， 所以，不符合题意，……………………………………………………………………………… 9分 若，即，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，符合题意；… 10分 综上，与的数量关系为.……………………………………………………………………………… 11分 （3）证明：结合（1）可得，当有两个极值点时，，且，，，……………………………………………………………………………………………………… 12分 ……………………………………………………………………… 14分 令，由于，则，则， 则， 设， 则， 因为，则，则恒成立，所以在上单调递减， 则时，且小于，所以，…………………………………………………………… 16分 所以. ………………………………………………………………………………………… 17分 高二数学参考答案第1 页 （共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 (满分：150分；考试时间：120分钟) 班级 姓名 座号」 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则'(1)-f(1)=() A.0 B.2 C.-2 D.-1 2.某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两 人选的课外书没有相同种类的选法有() A.20种 B.30种 C.40种 D.60种 3.若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概 率对应子集的面积.则如图所示的阴影部分的面积表示() A.事件A发生的概率 B.事件B发生的概率 P(A B) C.事件B不发生条件下事件A发生的概率 D.事件A、B同时发生的概率 P(A B) 4.己知随机变量X的分布列如下表，且Y=X+3. P(B) X 1 2 3 P 1-3 1-6 若E)=-2,则a=() A.-3 B.-2 D.1 5.已知(x-1)+2x=a。+4(x+1)+a,(x+1)2++a,(x+1)°，则a2=() A.-2 B.2 C.4 D.12 6.若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为() 8 A:27 C. 4兀 4 27 D. 27元 7.若m,n均为非负整数，在做1+n的加法时各位均不进位（例如，134+3802=3936），则称(，n)为 “简单的”有序对，而+n称为有序数对(，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是() A.100 B.150 C.200 D.300 函数（心）3+P+2x+1是区间m上m+9)上的单调函数，则实数m的值一定不是( A.-5 B.-3 C.3 D.4 高二数学试卷第1页（共4页） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是() A.设一组样本数据x1,x2,,x,的方差为2，则数据2x-3,2x2-3,,2x-3的方差为8 B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有5种不同的放法： C.用09这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D.已知随机变量X的概率分布为P(K=m(2n-2n+a=l.23,4),则实数a的值为？ a 10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从 乙罐中随机取出一球.A表示事件“从甲罐取出的球是红球'，A,表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事 件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是() A.A,A为对立事件 B.() c.P到=五 DPA+P@A)品 11.已知函数f(x)=xnx,则() A,函数f(x)在(0，)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增 ) C.若a<f心，则实数a的取值范用是-。、。 D.当≤x≤e时，若方程f()（b∈R)有且只有一个根，则-是<b≤2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若C3=C+C:,则正整数x的值为 13.若函数f(x)=x(x-c)在x=-1处有极小值，则f(3)等于 14.将4个相同的小球摆放在3×3的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方 格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为 高二数学试卷第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.(13分)在 1 的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数： (2)求系数绝对值最大的项. 16.(15分)已知函数f(x)=x+e,曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与直线x+y+1=0平行. (1)求a的值； (2)求∫(x)的极值. 17.(15分)对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文 学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和 下联共8联)中随机取出4联（上联或下联）· (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望， 高二数学试卷第3页（共4页） 18.(17分)现有外表相同，编号依次为1,2,3，…，n(n≥3)的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无 区别的小球，第k(k=1,2,3,…,)个袋中有k个红球，n-k个白球.随机选择其中一个袋子，并从中 依次不放回取出三个球. (1)当n=4时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率. (2)记第三次取到白球的概率为卫，证明：p<2 19.17分)卫知两数国=a血x+方-x (1)讨论f(x)的单调区间： (2)若f)≥(x-)-2a≤0)，求a与k的数量关系： 6)设5，，6<)是/)的两个极值点，证明：f)fG)水号 高二数学试卷第4页（共4页）报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 嬲 (正面上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 缺考标记 客观题1~8为单选题，9~11为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 10[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. 囚ㄖ■ ■ ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 6I ▣ 请勿在此区域作答或 者做任何标记 ■2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学参考答案及评分标准 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则f'(1)-f(1)=() A.0 B.2 C.-2 D.-1 【答案】C b=2, k=1, 【详解】设曲线y=∫(x)在x=1处的切线方程为y=x+b,则 。解得 1-2k+b=0,1 1b=2, 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x+2,则切线斜率为1， 所以f'(1)=1,f(1)=1+2=3, 因此，f'(1)-(1)=1-3=-2. 故选：C 2.某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种 类的选法有() A.20种 B.30种 C.40种 D.60种 【答案】B 【详解】先从5种课外书中选2种给甲有C?=10种，再从剩下的3种书中选2种给乙有C=3种， 根据分步乘法计数原理，则两人选的课外书没有相同种类的选法有10×3=30种 3.若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概 率对应子集的面积.则如图所示的阴影部分的面积表示() A.事件A发生的概率 B.事件B发生的概率 P(A B)- C.事件B不发生条件下事件A发生的概率 D.事件A、B同时发生的概率 P(AIB) 【答案】A P(B) 【详解】由题意可知： P(AB)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(AB)表示在事件B不发生的条件下，事件A 发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率. 故选：A 高二数学参考答案第1页（共12页） 4.己知随机变量X的分布列如下表，且Y=aX+3. X 1 2 3 1-3 1-6 若E)=-2,则a=() A.-3 B.-2 c.3 5 D.1 【答案】A 【详解】由B()=1x+2x5+3x-5, 2 3 63 因r=ar+3,则B)=B0ax+3)=B()+3=5a+3=-2,解得：a=-3. 3 故选：A 5.已知(x-1)+2x=a+a(x+1)+a,(x+1)2+…+a(x+1°，则a=() A.-2 B.2 C.4 D.12 【答案】c 【详解】令x+1=t,则x=t-1, 故(x-1)4+2x=(t-2)）+2(t-1)3=a+4t+a,++a,f, (t-2)中得系数为C(-2=24,(t-1)°中得系数为C(-1)°=-10， 所以42=24-20=4， 故选：C 6.若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为() 8 B. 32 4π 4 A.27t 27元 C.2 D. 27元 【答案】A 【计解1设圈#得线长为1，底面半杯为，则42加一音2。 面圆挂体积T=和1=加2-2加，其中0<r<元故=4加-6m, 当0<元时，严>0.当元<r<2时，”<0， 3π 故/=w(2-20)在0品上为省商数，在品 上为减函数， 8 故选：A. 高二数学参考答案第2页（共12页） 7.若m,n均为非负整数，在做+n的加法时各位均不进位（例如，134+3802=3936），则称(m,为 “简单的”有序对，而m+n称为有序数对(m,m)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是() A.100 B.150 C.200 D.300 【答案】D 【详解】根据题意可得，1942为两个数的和（加法时各位均不进位），其中一个数确定，另一个数也确定，所 以首位有0,1两种方法，第二位有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10种方法，第三位有0,1,2,3,4共5种方法， 个位有0,1,2有3种方法，采用分步计数原理，所以共有2×10×5×3=300个，故选D. 13 8若函数9)三百x++2x+1是区何m-加+4刊上的单调函数，则实数m的值一定不是了) A.-5 B.-3 C.3 D.4 【答案】B 【详解】因为f(x)=-x2+x+2=-（x-2)(x+1),由(x)>0,得到-1<x<2, 由f(x)<0,得到x<-1或x>2, 所以f(x)的增区间为(-1,2)，减区间为(-o,-1),(2,+o),又f(x)在区间(m-1,m+4)上单调， 则/+4s2 m-1-1或m+4≤1或m-1≥2，解得m≤-5或m≥3，结合选项知，实数m的值一定不是-3. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是() A.设一组样本数据x1,x2,,xn的方差为2，则数据25-3,2x2-3,,2xm-3的方差为8 B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有5种不同的放法： C.用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D.已知随机变量X的概率分布为P(X=)= 211)2+n=1,2,3,4,则实数a的值为 【答案】ACD 【详解】对于选项A:根据方差的性质：若y=kx+b,则新数据的方差D(y)=kD(x), 此处原方差D(x)=2,k=2,因此新方差D(y)=22×2=8,A正确： 对于选项B:每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为3=243种，故B错误； 对于选项C:组成无重复数字的三位数，百位不能为0： 百位：从19选，共9种选择： 高二数学参考答案第3页（共12页） 十位：去掉百位己选数字，剩余9个数字可选，共9种选择： 个位：去掉百位、十位已选数字，剩余8个数字可选，共8种选择： 总个数：9×9×8=648，C正确； 对于选项D:由分布列性质，所有概率和为1，对概率裂项求和： aa 1 1 PX=0=2n-D02n+D22n-12n+1 2x=m-》GG传1， 解得a=}D正确 10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从 乙罐中随机取出一球.A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A,表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事 件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是() A.A,A为对立事件 &P网A)昌 c.( D.84)-P国4)-品 【答案】ABD 【详解】对于A,因为甲罐中只有红球和白球，即A⌒A=②，AUA=2, 所以A,A,为对立事件，故A正确： 对于B,当4发生时，乙键中有3个红球，8个白球，此时P心4)广，故B正确： 对于C当4发生时，乙锦中有2个红球，9个白球，此时P川因4)=品， 所以P@)P4P(84HP4)r因4)品品司板c不正瑞： 对于D,P(到4)+P叫4)广音放D正瑞， 故选：ABD 高二数学参考答案第4页（共12页） 11.已知函数f(x)=xlhx,则() A.函数f(x)在(0，e)上单调递减，在(e,+o)上单调递增 》 C.若a<f(x),则实数a的取值范围是 D.当≤x≤c时，若方程f(x)=b∈R)有且只有一个根，则 【答案】BC 【详解】对A:f"(x)=nx+x.1=nx+1, 当x时国<0，当+时f0, 故)在(0日)上单调造减，在[日+切上单润道道，故A错误： 2 白尝及在*上单调本，可用)付) 故B正确： 对C:a<f(y)=.xn=rlnx,令g(y)=xnx,则g'x)=2xhx+x2.1=x2nx+1), 当o0,当rg0, 枚a<e同e女a 故C正确； 对D:令f)=。,即b=xnr, 由c划，函数(rx在ee上单闲运减、在e,e小上单时途游。 出古eeje g(e)=(e2)h(e2)=2e, 若方程水)-0eR)有且只有一个根，则名：公成动=品故D错误 高二数学参考答案第5页（共12页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若C65=C+Ci,则正整数x的值为 【答案】5或7 【详解】由组合数的性质C%=C+C%,可得C+C=C6, 则Cg5=C6,可得2x-5=x或2x-5+x=16, 解得x=5或x=7. 13.若函数f(x)=x(x-c)'在x=-1处有极小值，则f(3)等于 【答案】108 【详解】f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c), 因为f(x)在x=-1处有极小值，所以f'(-1)=0, 即(-1-c)(-3-c)=0,解得c=-1或c=-3, 若c=-1,则f'(x)=(x+1)(3x+1), 当x<-1或x≥时，(9>0，J(田单调递增. 当-1<x<-时，了)<0，(y单调递减， 所以f(x)在x=-1处取极大值，不合题意， 若c=-3,则f'(x)=(x+3)(3x+3), 当x<-3或x>-1时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当-3<x<-1时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)在x=-1处取极小值，合题意， 所以f(x)=x(x+3),则f(3)=3×(3+3)?=108 故答案为：108， 高二数学参考答案第6页（共12页） 14.将4个相同的小球摆放在3×3的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方 格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为 【答案】29 【详解】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点， 即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点）， 可以把3×3的方格分为A,B两类， 小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况， 将四个角的方格设成A类方格，以保证A类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格， 剩余4个小格为B类方格，如图所示： (1)4个小球若占用4个A类方格，有C4=1种： A B A B B (2)4个小球若占用3个A类方格，1个B类方格，有C×C4=16种： B A (3)4个小球若占用2个A类方格，2个B类方格， 此时只能选择隔着中间方格相对的B类方格，共2种可能，所以此时有C×2=12种： (4)4个小球若占用1个A类方格，3个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. (5)4个小球若占用4个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍 因此，共有1+16+12=29种. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.(13分) 在 的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数： (2)求系数绝对值最大的项. 【答案】(1)常数项为-4，此项的二项式系数为20： (2)T3=240x 【详解】(1)展开式的通项公式为 T+1=C(2网)·()=C6·26-r(-1)y'·x3-rr=0,12,,6), …2分 令3-r=0,可得r=3,所以，展开式中的常数项为C昭·23.(-1)3=-160，…4分 其二项式系数为C=20. …6分 高二数学参考答案第7页（共12页） 2a,=52,设a最大太，则8三8， C6·26-r≥C61.27- {C26-r≥Cg+1,25-r’…8分 (6: 即小(6- ·26-2r-100- 6! ·27- …9分 (626-1≥ 。6! 6: 25- +1)(5-r) 解得≤r≤子 …11分 因为r∈N,解得r=2,…I2分 所以，系数绝对值最大的项为T3=C名·24.(-1)x=240x.… …13分 16.(15分)己知函数f(x)=ax+e,曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与直线x+y+1=0平行. (1)求a的值： (2)求f(x)的极值. 【答案】(1)a=-2;(2)f(x)的极小值为2(1-lh2),无极大值 【详解】(1)由f(x)=ax+e,可得f'(x)=a+e…2分 又曲线y=f(x)在点(0f(0)处的切线与直线x+y+1=0平行，故f(0)=-1,…4分 即a+1=-1,得a=-2.…6分 (2)由(1)可知f(x)=-2.x+e …7分 且f'(x)=-2+e. 8分 令f'(x)=0,可得x=ln2, …9分 由f'(x)>0,可得x>ln2.由f'(x)<0,得x<ln2. 故f(x)在(-o,h2]上单调递减，在(h2,+∞)上单调递增.…13分 可知当x=ln2时，f()极小值为f(h2)=2(1-h2),f()无极大值.…15分 高二数学参考答案第8页（共12页） 17.(15分)对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学 样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下 联共8联)中随机取出4联（上联或下联）. (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望. 【答案】a：9 3 【详解】(1)设A=“这4联可以凑成甲对联” …1分 8联中随机取出4联，有Cg=70种取法，…2分 取出的4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有C%=15种取法…3分 所以PA)= -15-3 C8-7014 …6分 (2)X的所有取值可能为0,1,2.…7分 248 P(X=0)= 二 C35 ,…9分 P(X=)=4×C×2224 …11分 Cs 35 PX=2) C=3 C35 13分 X的分布列为 X 0 1 2 p 8 24 35 35 a08 24 3 6 -×1+- 35 ×2= …15分 35 7 高二数学参考答案第9页（共12页） 18.(17分)现有外表相同，编号依次为1,2,3，…，n(n≥3)的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区 别的小球，第k(k=1,2,3,…,)个袋中有k个红球，n-k个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依 次不放回取出三个球。 (1)当n=4时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率. 记第三次取到白球的概率为，正明：P< 【答案】(1)①；②名：(2)证明见解析 【详解】解：(1)①记“已知选中的恰为2号袋子，第三次取出的是白球”为事件A…1分 则Pw-贤-贤- A 故已知选中的恰为2号袋子，第三次取出的是白球的概率为： …4分 ②记“选中的是第k个袋子”为事件Bxk=1,23,4,则Bx两两互斥，且P(B= 记“第三次取出的是白球”为事件C, 则PB,C)=P(B)P(CB)=×=1X3x3x23 3 4大 4×3×2161 …5分 P(B:C)=P(B:)P(CIB:)=1x1x2x3x -1 4 、44×43×2=8 …6分 rC-e,C-×缝-×器 3×2 1 …7分 PB,C)=P(B.P(CB.=a×0=0,…8分 所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为 P(B3 C)=P(B3c) P(B3C) 16 P(C) -P(B1C)+P(B2C)P(B3C)+P(BC) +++06 故在第三次取出的是白球的条件下，恰好选中的是3号袋子的概率为： 10分 2证明：记“选中的是第k个袋子”为事件Bk=1,23,则B两两互斥，且PB)=是 记“第三次取出的是白球”为事件C, 则PCBJ=4=k, …13分 A 所以p=PGBU=-PB,PCBU=PCB= …15分 专X00+0-2+…+0×x"写=-<分得证……17分 n n 高二数学参考答案第10页（共12页） 19.(17分)已知函数f()=anx+2x2-x. (1)讨论f(x)的单调区间： 1 2)若f)≥x-)-2a≤0)，求a与k的数量关系： 3)设x,x,压<x)是)的两个极值点，证明：f)-fk2 19.(1)答案见解析：(2)a=k;(3)证明见解析 【译解】①f--1-， X>0,…1分 令2-x+a=0,由△=1-4a≤0，得a≥4 1 此时f'(x)之0，f(x)在(0，十0)上单调递增；…2分 当△=1-4a>0,即a<时，方程x-x+a=0的两根为5=-4和， 1+√1-4a 2 2= A 2 当a0时，x=1上a≤0，所以当x∈0，)时，了)<0， 当x∈(x2,+o)时，f'(x)>0, 所以f在01+4a 上单调递减，在 1+V1-4a 2 上单调递增，…3分 当0<a时，出1-恤0，所以当e(6飞)时，了W<0 当x∈(0，x)U(x2,+o)时，f'(x)>0, 01--4） 2 上单调递减，在 2 1tv-ia 和 2 上单调递增；…4分 综上，当a<0时，fx)在 上单调递减，在 1+V1-4a ,+00 上单调递增； 2 2一， 当a≥4时，f(在(0，+0）上单调递增… …5分 （2)f≥6--分即alnx+-x-k-+分0， 2 令e闭=an+r-k-+3:s00, g)）=X-k+10x+0,g①）=a-k,…7分 若gI)=a-k>0,则存在x>0,使得当x∈(1-x,1+x)时，g'x)>0, 高二数学参考答案第11页（共12页） 即g(x)在1-x,1+x)上单调递增，而8()=0，所以g(1-x)<0,不符合题意，…8分 若gI)=a-k<0,则存在x>0,使得当x∈(1-x,1+x)时， 8(x)<0,即g(x)在(1-x,1+x)上单调递减，而g①)=0， 所以g(1+x)<0,不符合题意，… …9分 若g0=a-k=0,即a=ks0,则g=-a+10r+a_《-1c-0。 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,当x∈1，+∞)时，g'(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在1，+∞)上单调递增，8(x)≥81)=0，符合题意；…10分 综上，与k的数量关系为a=k.…11分 ①)可得，当f@有两个极值点时，0<a<4且！ 0<<2 …12分 f)1x)=an式-(an+- =ah经-动 5要-0x915-时 6登-g-动 14分 -25 令t1-x -1+1,由于0<X<号，则0<t<1,则x1t a品品 设e)=t-0<1<L, (1+t)22(1+t)1 则i0)-0+血00+)-20+y血t24+12-1)【-1ht 1+) 40+t) +1) 因为0<t<1,则1-t>0,l血t0,1+)0,则()<0恒成立，所以h(d在(0,1)上单调递减， 则4→0时，A0)→且小于号所以@ 1 …16分 所以j(）-f） …17分 高二数学参考答案第12页（共12页）