福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高一数学期中卷覆盖向量、复数、立体几何、解三角形等核心内容，解答题融入费马点历史情境，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、复数虚部、圆台侧面积|基础概念辨析，如向量共线条件判断| |多选题|3/30|向量夹角、复数性质、三角形命题|多角度考查知识关联，如向量投影与模计算| |填空题|3/15|圆柱体积、解三角形应用|实际情境应用，如海盗船距离计算| |解答题|5/77|复数纯虚数、向量表示、立体几何体积、费马点综合|融合数学文化与空间观念，如正三棱柱体积及最值求解|

2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 班级 姓名 座号 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知平面向量，，若向量与共线，则（     ） A． B．2 C． D．5 2．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（     ） A．1 B． C． D． 3．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（    ） A．5 B．6 C．7 D．3 4．在△ABC中，D为的中点，E为上一点，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，△是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（     ） A．4 B．8 C． D． 6．已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共30分） 9．已知向量，，则（     ） A． B．向量,的夹角为 C．在方向上的投影向量是 D． 10．下列说法正确的是（     ） A． B． C．若，则的最小值为2 D．若是关于的方程的根，则 11．对于△ABC有如下命题，其中正确的是（     ） A．若，则△ABC为钝角三角形 B．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 C．在△ABC中，若，则不等式恒成立 D．在△ABC中，若，则△ABC必是等边三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 13．海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站 海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处． 14．如图，在△ABC中，是上的一点，若，则实数的值为_____________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）已知复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 16．（15分）如图，在平行四边形中，E为的中点，设. (1)用表示； (2)若，且，求. 17．（15分）如图，在△ABC中，，，点D在线段BC上.   (1)若∠ADC=，求AD的长； (2)若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长. 18．（17分）如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点． (1)求该正三棱柱的体积； (2)求三棱锥的体积； (3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值． 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为△ABC的费马点． (1)若，且△ABC面积为． （i）求角B； （ii）求； (2)若，△PCA，△PCB，△PAB的面积为，，，求的最小值． 高一数学试卷 第1 页（共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 (满分：150分；考试时间：120分钟) 班级 姓名 座号 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知平面向量a=(2,x-1),万=(6,2-x),若向量ā与b共线，则x=( ) A.-2 B.2 C. 4 D.5 2.复数z满足(z+1)·i=1-2i(1为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是( A.1 B.-3i C.-3 D.i 3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为420π，则圆台较小底 面圆的半径为() A.5 B.6 C.7 D.3 4.在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则AB+AC-2A正=() A.0 B.2ED C.DE D.ED 5.如图，△O'A'B'△是一个平面图形的直观图，其中△O'A'B'是直角三角形，∠O'A'B'=90°，OA'=2,则原图形 的面积是( ) 7y' A A.4 B.8 C.82 D.42 6.已知向量a=(x,1),b=(4,x),则“x>0”是“向量a与6的夹角为锐角”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为s.若a=1,C=亚且4S=a cosB+bcosA, 4 则B=( ) A. B c.8 D.君 8.平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,AB,AD=4√2，点P在边CD上，则PAPB的取值范围是() A.[-2,4+4W2]B.[-1,4+2] c.[-1,8] D.[-2,0] 高一数学试卷第1页（共4页） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共30分) 9.已知向量a=(1,3),b=(2,y),a+b)⊥a,则( A.b=(2,-3) B.向量，5的夹角为买 C.五在6方向上的投影向量是(-1,2) D. =1 a+2 10.下列说法正确的是( A.z·z=|z2,z∈C B.i2025=i C.若引z=1,z∈C,则lz-2的最小值为2 D.若4+3i是关于x的方程x2+x+q=0(p,q∈R)的根，则p=8 11.对于△ABC有如下命题，其中正确的是( A.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形 B.若B-牙a=25,且△8C有两解，则b的取值范围是(5,2 C.在△ABC中，若A>B,则不等式sinA>sinB恒成立 D.在△ABC中，若B=60,b2=ac,则△ABC必是等边三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后， 水未溢出容器，则水面升高了 cm 13.海上一观测站A测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D,在商船D的正东方有一艘海盗船B 正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站10√万海里，20分钟后测得海盗船B位于距观测 站20海里的C处，再经 分钟海盗船B到达商船D处. 14.如图，在△ABC中，AC=3AN,P是BN上的一点，若 4P=m+写)45+)4C,则实截m的值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.(13分)已知复数z=(1+)m2-(2+i)m-2i(m∈R). (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内所对应的点在第四象限，求m的取值范围. 高一数学试卷第2页（共4页） 16.(15分)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，设 AB=a,AD=b. (1)用a,b表示AC,CE,DE: B (2)若AB=2,AD=6,且∠BAD=120°，求AC.DE. 17.15分)如图，在△ABc中，AB=2,casB}点D在线段BC上 3 (I)若∠ADC=二π，求AD的长： ②)若5D2DC,△4DC的面积为4)2，求4C的长 18.(17分)如图，在高为2的正三棱柱ABC-AB,C中，AB=2,D是棱AB的 A1 C 中点 E B (1)求该正三棱柱的体积： (2)求三棱锥D-AB,C的体积： (3)设E为棱B,C的中点，F为棱BB上一点，求AF+EF的最小值， D 高一数学试卷第3页（共4页） 19.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求 作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个 内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°的点O即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等于 120时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且设点P为△ABC的费马点， ()若2 2sin BsinC+=5sim4,且△ABC面积为35 3) 4 (i)求角B: (ii)求PA.PB+PB.PC+PC·PA: a若cos号C,，△PCA,△PCB,△PAB的面积为，S,S,求S+S的最小值. 2-2c S: 高一数学试卷第4页（共4页） 2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学参考答案及评分标准 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知平面向量，，若向量与共线，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】Ｃ 【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解． 【详解】因为向量与共线，所以， 解得． 故选：Ｃ． 2．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】Ａ 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 3．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．5 B．6 C．7 D．3 【答案】Ｃ 【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：Ｃ. 4．在△ABC中，D为的中点，E为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】Ｂ 【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解. 【详解】由已知，D为的中点，所以， 所以. 故选：Ｂ. 5．如图，△是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】Ｄ 【分析】还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积. 【详解】如图，的直观图是，则， 则的面积为. 故选：Ｄ 6．已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】Ｂ 【分析】由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可. 【详解】若，则，解得． 若向量与的夹角为锐角，则且，所以且，解得． 故“”是“向量与的夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：Ｂ. 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】Ｃ 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解. 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以. 8．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】Ａ 【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案. 【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系. 因为，而,所以， 在直角中，因为，，所以，， 则，设， 所以， 所以， 因为二次函数开口向上，对称轴为，且， 所以当时，取最小值，当时，取最大值， 所以的取值范围是. 故选：Ａ 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共30分） 9．已知向量，，则（    ） A． B．向量,的夹角为 C．在方向上的投影向量是 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于，，，， ， ，故A错误； 对于B，， 由于，则向量的夹角为，故B正确； 对于Ｃ，在方向上的投影向量为，故Ｃ正确． 对于Ｄ，， ，故Ｄ错误； 故选：BＣ． 10．下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则的最小值为2 D．若是关于的方程的根，则 【答案】ABD 【分析】设，，计算出判断A；利用复数单位的幂运算判断B；设，，得到，，根据，得到的最小值为1判断C，先求出二次方程的另一个根，然后利用韦达定理求得判断D． 【详解】设，，则， 又，， 所以成立，所以A正确． ，所以B正确． 设，，由于，则，即， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，所以C不正确． 因为是关于的方程的根， 所以也是关于的方程的根， 则，则，所以D正确． 故选：ABD． 11．对于△ABC有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则△ABC为钝角三角形 B．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 C．△ABC中，若，则不等式恒成立 D．在△ABC中，若，则△ABC必是等边三角形 【答案】ACD 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出△ABC的形状，判断D． 【详解】A中，，即， 由正弦定理可得，由余弦定理可得， 因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确； B中，若，且△ABC有两解，则，即， 即的范围为，所以B错误； C中，在△ABC中，只要，不等式都成立，所以C正确； D中，若，由余弦定理可得， 即，即，所以，所以△ABC必是等边三角形，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 13．海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站 海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处． 【答案】 【分析】根据图示：在中，利用余弦定理求得，从而得到，然后在中，利用正弦定理求得，然后再根据速度求出时间. 【详解】如图所示： 在中，， 由余弦定理得：， 所以，则， 在中，， 所以， 即再经分钟海盗船到达商船处． 故答案为： 【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．如图，在△ABC中，是上的一点，若，则实数的值为_____________ 【答案】 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】因为，， 所以. 因为三点共线，所以，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）已知复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简复数，根据复数是纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）由复数在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由复数，--------------2分 因为复数是纯虚数，则满足，--------------4分 解得或（舍去），--------------6分 所以实数的值为.--------------7分 （2）由复数， 若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，--------------9分 解得，--------------12分 所以实数的取值范围为.--------------13分 16．（15分）如图，在平行四边形中，E为的中点，设. (1)用表示； (2)若，且，求. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由向量对应线段的数量、位置关系用表示出即可； （2）由（1）及向量数量积的运算律可得，结合已知即可求值. 【详解】（1）由，--------------2分 ，--------------4分 ，--------------7分 所以，，. （2）由（1）知：，--------------11分 又，且，则.--------------15分 17．（15分）如图，在△ABC中，，，点D在线段BC上.    (1)若∠ADC=，求AD的长； (2)若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解； （2）由，得到，结合三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）在△ABC中，.--------------2分 在中，由正弦定理得，--------------3分 又， --------------6分 （2）.--------------8分 又.--------------9分 ，--------------11分 解得：--------------12分 在△ABC中，由余弦定理得，--------------14分 所以.--------------15分 18．（17分）如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点． (1)求该正三棱柱的体积； (2)求三棱锥的体积； (3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由正三棱柱的体积公式求解即可； （2）由的体积等于，分别求出的体积代入即可得出答案. （3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，求解即可. 【详解】（1）因为，--------------2分 所以．--------------4分 （2）因为，--------------6分 ，--------------8分 所以--------------11分 （3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． --------------13分 当三点共线时，取得最小值，--------------15分 且最小值为．--------------17分 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为△ABC的费马点． (1)若，且面积为． （i）求角B； （ii）求； (2)若，△PCA，△PCB，△PAB的面积为，，，求的最小值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)． 【分析】（1）（i）利用两角和的正弦公式和即可求解； （ii）由（i）得P为△ABC内的费马点，即，利用面积为得，即可求解； （2）由利用二倍角的余弦公式有，即，利用正弦定理有，即，从而求出角，利用面积公式得，再由正弦定理即可得，，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）（i）∵，， ∴，--------------1分 ∴，--------------2分 在中，，∴，∴，--------------3分 又，∴．--------------4分 （ii）∵，∴△ABC不存在大于等于120°的角，∴P为△ABC内的费马点． 所以，--------------5分 ∵， ∴，--------------7分 ∴．--------------8分 （2）∵，∴，即，--------------9分 在△ABC中有正弦定理得，， ∴，∴，--------------10分 在△ABC中，，∴， 又，∴．--------------11分 ∴，--------------12分 设，，则在△PCB由正弦定理得，，--------------13分 在△PCA由正弦定理得，，--------------14分 ∴，--------------15分 当且仅当，，时等号成立．--------------16分 ∴的最小值为．--------------17分 高一数学参考答案第1 页 （共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 可将回 2025-2026第二学期期中考试 高一数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面制上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 ■ 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(1~8为单选题9~11为多选题) I[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 1I[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15 I I 囚囚■ ■ 16. D B E 17 A B D ▣囚■ a ■ 18. A C E B 1 C D B I I I I ■ 囚■囚 ■ ㄖ■ㄖ ▣ ■2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学参考答案及评分标准 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知平面向量ā=(2，x-1),b=(6,2-x),若向量a与6共线，则x=() A.-2 B.2 C.4 D.5 【答案】C 【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解. 【详解】因为向量a与乃共线，所以6(x-)-2(2-x)=0, 5 解得x= 4 故选：C. 2.复数z满足(z+1)i=1-2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是() A.1 B.-3i C.-3 D.i 【答案】A 【详解】由题意可得：：-21-1=-2i-1=-3-,所以：=-3+i,所以复数z的共轭复数的虚部为1 i -1 3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为420π，则圆台较小底 面圆的半径为() A.5 B.6 C.7 D.3 【答案】C 【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为T,R,根据题意，求得R=3r,再利用圆台的侧面积公式，列出方 程，即可求解 【详解】设圆台较小底面圆的半径为”，较大的底面圆的半径为R, 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得2R=3×2D,所以R=3r, 又因为圆台的侧面积为420m,可得S侧=π(r+R)1=4×15=420m,解得r=7. 故选：C 4.在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则AB+AC-2AE=() A.0 B.2ED C.DE D.ED 【答案】B 高一数学参考答案第1页（共12页） 【分析】由己知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解 【详解】由己知，D为BC的中点，所以AB+AC=2AD, 所以AB+AC-2AE=2AD-2AE=2ED 故选：B 5.如图，△O'A'B'△是一个平面图形的直观图，其中△O'A'B'是直角三角形，∠0'A'B'=90°，OA'=2,则原图形 的面积是() Ay' B A.4 B.8 C.8 D.4V2 【答案】D 【分析】还原△OAB,求出其边长即可求解直角三角形的面积 【详解】如图，△OAB的直观图是O'A'B',则OA=OA'=2,OB=2OB'=4√5， 则△0AB的面积为号010B=45, B A 故选：D 6.已知向量ā=(x,1),b=(4,x),则“x>0”是“向量a与6的夹角为锐角的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可. 【详解】若a/1乃，则x2=4,解得x=±2. 若向量a与6的夹角为锐角，则a.b>0且cos(a,b)≠1，所以4x+x>0且x≠2，解得x∈(0,2)(2，+∞) 故“x>0”是“向量五与的夹角为锐角的必要不充分条件. 高一数学参考答案第2页（共12页） 故选：B 7.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为S.若a=1,C= 亚且4S=acosB+bcosA, 4 则B=() A.晋 B. 7π 12 c.8 D. 【答案】C 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解 【详解】在△ABC中，acos B+bcosA=a. +分+b分+ac,丽s= ab sinc, 2ac 2bc 由4=acos8+c,得2 absinC=c,又a=1,C-开，则c=V2b, 由正弦定理得√2sinB=sinC=sin 4解得sinB三)，由b<c,得B<CP 所以B=严 6 8.平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,AB.AD=4√，点P在边CD上，则PA.PB的取值范围是() A.[-2,4+4V2B.[-1,4+2] C.[-1,8] D.[-2,0] 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设P(x,√2)，(0≤x≤4)，把PA.PB的取值范围转化为求二次函数的值域问题， 即可求得本题答案 【详解】作DO1AB,垂足为O,以点O为原点，OB,OD所在直线为x轴，y轴建立如下图的平面直角坐标 系 因为COS∠BAD= AB.AD_42√2 AB AD 4x2=2,而0<∠DAB<元，所以∠B4D=亚 在直角△M0D中，因为∠B4D=年4D-2,所以0D=0A=反，OB=4-万， 则A(-√2,0)，B(4-5,0),设P(x,√2)，(0≤x≤4， 所以PA=(√2-x,-V2),PB=(4-迈-x,-2), 所以PA.PB=(V-x)4-5-xH（5（5+巨t-4+4-41, 因为二次函数开口向上，对称轴为x=2-√2，且0≤x≤4， 所以当x=2-√2时，PA.PB取最小值-2，当x=4时，PA.PB取最大值4+4√2， 所以PA.PB的取值范围是-2,4+4√2 故选：A 高一数学参考答案第3页（共12页） VA ◇ 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共30分） 9.已知向量a=(1,3),b=(2,y),(a+b)1a,则() A.万=(2，-3) B.向量a,8的夹角为买 C.a在万方向上的投影向量是(-1,2) D. 【答案】BC 【分析】根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解。 【详解】对于A,a=(1,3),b=(2,y),a+b=(3,3+y), :(a+b)1a, .3×1+3×(3+y)=0,y=-4,b=2,-4),故A错误： 对于B,cosa,b)》= a.6_1×2-3x45 ab10√20 2 由于a6cQ小则时量五5的夹角为平，放B正箱： 对于C,a在方向上的投影向量为 d万-6-(L2,故C正确， 2 对于D,a+五=1,3)+(1-2)=2,1). 5+-5,散D错误： 故选：BC. 10.下列说法正确的是() A.二.E=2,seC B.i2025=i C.若引z=1,z∈C,则|z-2的最小值为2 D.若4+3i是关于x的方程x2+匹+q=0(P,q∈R)的根，则p=8 【答案】ABD 高一数学参考答案第4页（共12页） 【分析】设z=a+bi,a,b∈R,计算出z=z·z判断A:利用复数单位的幂运算判断B;设==x+yi,x,y∈R, 得到x2+y2=1,z-2=√-4x+5,根据-1≤x≤1，得到-2的最小值为1判断C,先求出二次方程的另一 个根，然后利用韦达定理求得p=8判断D. 【详解】设z=a+bi,abeR,则z=a-bi, 又=(Na2+b2=ad2+b2,:三=(a+bi(a-bi1=a2+b2, 所以z:z=z2,z∈C成立，所以A正确 i2025=2024#=i,所以B正确】 设==x+i,x,y∈R,由于2=1，则x2+y2=1,即x2+y2=1, 故-2=Vx-2)'+y2=Vx-2)2+1-x2=4x+5, 由x2+y2=1,得-1≤x≤1，则-4x+5≥1， 故当x=1时，s-2的最小值为1，所以C不正确. 因为4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(D,q∈R)的根， 所以4-3i也是关于x的方程x2+px+q=0(D,q∈R)的根， 则-p=-4-3i-4+3i=-8,则p=8,所以D正确. 故选：ABD. 11.对于△ABC有如下命题，其中正确的是() A.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形 B.若8=号a=25,且△BC有丙解，则6的取值范国是(5.2间 C.在△ABC中，若A>B,则不等式sinA>sinB恒成立 D.在△ABC中，若B=60,b2=ac,则△ABC必是等边三角形 【答案】ACD 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得cosC<0,判断出角C为钝角，判断A;由三角形有两解的 充要条件列表达式，可得b的范围，判断B;由锐角三角形的性质判断出simA与sinB的关系，判断C:由余 弦定理可得a=c,判断出△ABC的形状，判断D. 【详解】A中，sin2A+sin2B+cos2C<1,即sin2A+sin2B<sin2C, 由正弦定理可得a2+6<c2,由余弦定理可得cosC-心+b_ -<0, 2ab 高一数学参考答案第5页（共12页） 因为C∈(0，)，所以C∈ π） 2元，即C为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确： B中，若B=,a=2V5,且△ABC有两解，则asin B<.b<a,即2N5×5<b<a, 2 即b的范围为(3,2√)，所以B错误； C中，在△ABC中，只要A>B,不等式sinA>sinB都成立，所以C正确； D中，若B=60,b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2acc0sB=a2+c2-ac, 即c=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c,所以△ABC必是等边三角形，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后， 水未溢出容器，则水面升高了 cm. 【答案】号 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了m由影意知元2，号卫，解得：x号 13.海上一观测站A测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D,在商船D的正东方有一艘海盗船B 正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站10√万海里，20分钟后测得海盗船B位于距观测 站20海里的C处，再经 分钟海盗船B到达商船D处 【答】9 【分析】根据图示：在ABC中，利用余弦定理求得∠ACB,从而得到∠DCA,然后在△ADC中，利用正弦 定理求得DC,然后再根据速度求出时间. 【详解】如图所示： 在ABC中，AB=10W7,AC=20,BC=30, 高一数学参考答案第6页（共12页） 由余弦定理得：cos∠ACB= BC2+AC2-AB2 1 2BC·AC 2 所以∠ACB=60°，则∠DCA=120°， 在△ADC中，∠ADC=30°，∠DAC=30°， .CD AC =20 听以t三90×60=0 3, 即再经0分钟海盗船B到达商船D处， 故答案为： 40 / 【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题 14.如图，在△ABC中，AC=3A及，P是BN上的一点，若 AP=m+B+AC,则实数m的值为 3 【答案】m=号 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】因为ac=3,P-气m+亚+)4C, 1 0 所以严-m++} 因为BPN三点共线，所以(u+兮》片1，解得 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.(13分)己知复数z=(1+i)m2-(2+i)m-2i∈R). (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内所对应的点在第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1)0 (2)(-1,0) 【分析】(1)化简复数z=(m2-2)+(m2--2)i,根据复数z是纯虚数，列出方程组，即可求解； (2)由复数z在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解 【详解】(1)由复数z=(1+i)2-（2+i)m-2i=(m2-2m)+(m2-m-2)i,---2分 高一数学参考答案第7页（共12页） m2-2m=0 因为复数z是纯虚数，则满足 m2--2≠0 -4分 解得=0或m=2（舍去)，----6分 所以实数m的值为0.---.-7分 (2)由复数z=(2-2m)+(m2-m-2i, 若z在复平面内所对应的点在第四象限，则满足 m2-21>0 m2-m-2<0' -9分 解得-1<l<0,------12分 所以实数的取值范围为(-1,0).-----13分 16.(15分)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，设AB=a,AD=五， (1)用a,b表示AC,CE,DE: (2)若AB=2,AD=6,且∠BAD=120°，求AC.DE 【答案】(1)4c=a+6,C匠=-1万，D亚=a-五 2 (2)-17 【分析】(I)由向量对应线段的数量、位置关系用AB,AD表示出AC,CE,DE即可； (2)由(1)及向量数量积的运算律可得C.丽=丽+丽而而，结合已知即可求值 【详解】(1)由AC=AB+BC=AB+AD=a+b,--2分 C丽-50丽-DM=4D-五，4分 丽=c+C阳-丽40=a-}8,7分 所以ac-a+i,c2=-b,D哑=a-}万 (2)由(1①)知：C证-证+D丽}D)-丽+西D-D,-11分 又A8=24D=6,且/1D=120r,则AC=4+5X2x(18=-1715分 15分)如图，在△ABC中，AB=2,cosB=,点D在线段BC卫 高一数学参考答案第8页（共12页） D 3 (I)若∠ADC-π，求AD的长： (2)若BD=2DC,△ADC的面积为4W巨， 求AC的长 3 【答案】0号 (2)4√2 【分析】(1)在△ABD中，由正弦定理即可求解： (2)由S4c,得到S4c,结合三角形面积公式求得BC=6,再由余弦定理即可求解. 【详解】(1)在△ABC中，cosB= 3.sinB=2 .-2分 3 在△ABD中，由正弦定理得，AB AD si∠ADB sinB’-3分 又AB=2,∠ADB=元siB=2V2 4 3 AB.sinB 2x25 ..AD sin/ADB 38 23-6分 2 （2)BD=2DC,.S.4BD=2S4Dc,S4c=3S4c.-8分 又：S=2 3∴S4BC=42.----9分 S.= ABC.sinB =x 2xBC 1 2 ，------11分 3 解得：BC=6------12分 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·coB=4+36-24× 232,-14分】 所以AC=4√2.-15分 18.(17分)如图，在高为2的正三棱柱ABC-AB,C中，AB=2,D是棱AB的中点. 高一数学参考答案第9页（共12页） E B O B (1)求该正三棱柱的体积： (2)求三棱锥D-AB,C的体积； (3)设E为棱BC的中点，F为棱BB上一点，求AF+EF的最小值 【答案】(1)23： 2 3 (3)√13 【分析】(1)由正三棱柱的体积公式求解即可： (2)由D-AB,C的体积等于'4G-Ac-'-4cn-V-cD-V。-4A，分别求出'-4p'-8cD'。-44g的体积代入 即可得出答案 (3)将侧面BBCB,绕BB1旋转至与侧面ABBA共面，如图所示，当A,F,E三点共线时，AF+EF取得最小值， 求解即可 【详解】1)因为S=5 2×2=V5, ---2分 4 所以7494c=S。AcA4=V5x2=2W5 --4分 (2)因为V4Acn=V4-cD= ------6分 3 1 2W3 3 ，-8分 所以V-4e=V4g-Ae-V4-4cD-V-BCo-V。-4g,= 2v3 ---11分 3 (3)将侧面BBCB绕BB旋转至与侧面ABB,A共面，如图所示。 E -13分 B 当A,F,E三点共线时，AF+EF取得最小值， ------15分 高一数学参考答案第10页（共12页） 且最小值为V22+(2+1)2=13.-17分 19.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求 作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个 内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°的点0即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于 120时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且设点P为△ABC的费马点. a)若2Bsm(C+写)-5sn4,且△ac面积为 4 (i)求角B; (ii)PA.PB+PB.PC+PC.PA: ②若os号，△PC△P0,△PAB的面积为，及，S,求8+s的最小值。 2-2c S. 【答案】()(i)B= 3:(i)PA.PB+PB.PC+PA.PC=-3 (2)V5-1. 【分析】(1)(i)利用两角和的正弦公式和sinA=si(B+C)即可求解： GD由（①得P为△ABC内的费马点，即∠APB=BPC=∠CP4E2T,利用△BC面积为得 4 PAPB+PB.PC+PAPC=3,即可求解： (2)由os1b牛C利用二倍角的余弦公式有+c0sA_生C,即cc0sA=b,利用正弦定理有 2-2c 2 2c 加CcA:mB,即如4sC0,从而求业角C,阴面积公式为需+份，屑正弦定期时 得PC sin (θ PC 气3 6 最后利用均值不等式即可求解 PA PB sinθ sin -8 【详解】(1)(i):2 sin BsinC+】 3 =3sin A,sin A=sin -(B+C)=sin(B+C), .'2sin B cosC √3sin(B+C)=√3(sin B cosC+cos B sinC）),---l分 ∴.sin BsinC=V3 cos Bsin C,----2分 在ABC中，sinC≠0，.sinB=√3cosB,.tanB=V3,-----3分 又B∈(O,m,B= Γ3 --4分 (i):B-行△Ac不存在大于等于120的角，P为△ABc内的费马点. 高一数学参考答案第11页（共12页） 所以∠APB=∠BPC=∠CPA=2 ---5分 :s=A径3pem+片阴心n39。 32 3 4 ∴.PAPB+PB.PC+PAPC=3,-7分 顶.丽+Pmpc+Ac-网cos+c+网P网cos -PP网+pP+p网Pc- .-8分 (2)cos:4bc+co64-btc 22c ,即cc0SA=b,----9分 2 2c 在△ABC中有正弦定理得sinCcosA=simB,simB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴.sin CcosA=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C,∴.sinAcosC=0,----l0分 在△ABC中，sinA≠0，∴.cosC=0, 又Ce(0,m,c=亚. 2 -11分 S+g=2 PC.PAsin2π+-PC.PBsin2 132 3 PCPC S 1 PA.PB sin .2π PBPA -12分 3 3 设☑∠o8=0,0e0 ,则在△PCB由正弦定理得， PC (- sin 3 ，--13分 PB sin 0 sin 0- PC 在△PCA由正弦定理得， 6 PA --14分 sin (2 sin 3 (6 3 g 2( 1≥51，--15分 sin sin -0 tan 2 当且仅当tamn8=1,80,8三时等号成立，-16 2 :S的最小值为5-1.-17分 高一数学参考答案第12页（共12页）