天津市河西区2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二) 数学试卷

河西区2025一2026学年度第二学期高三年级总复习质量凋查（二） 数学试卷 本试卷分第1卷（选择题)和第11卷（非选择题)两部分，共150分，考试用时120分 钟。第1卷1至4页，第1卷5至8页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规 定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A+P(B): 如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B). 球体的表面积公式S=4πR2,其中R为球体的半径 锥体的体积公式V=Sh,其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高。 3 球体的体积公式V=号，共中尽为球体的半轻 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， (1)已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},，B={1,2,3},则Cu(AUB)= (A){L,2,3,5} (B){2,4,5,6 (c){红，3} (D){4,6} 高三数学试卷（二)第1页（共8页） (2)设a,b∈R,则“a>0且b>0”是“a+b≥2ab”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)已知函数f(x)的部分图象如下图所示，则∫(x)的解析式可能为 (A) e cosx (B) esinx (C) (D) e cosx x2 (4) 设a=1.5,b=1.15,c=log1s1.1,则a,b,c的大小关系是 (A)a<b<c (B)c<a<b (C)a<c<b (D)c<b<a (5)在数列{an}中，已知a,=4,41+ln=2,那么使这个数列前n项的和S,=2026成 立的正整数n的最小值为 (A)2025 (B)2026 (C)2027 (D)2028 高三数学试卷（二）第2页（共8页） (6)某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据 (心，y)=1,2,3,4,5),并绘制成如图所示的散点图（点A,B,C,D,E)经计算，这5组 数据的样本相关系数为r若去掉点E10,2)后，剩余4组数据的样本相关系数为r',则下列 结论正确的是 8 oD 7 6 oB A oE 1 0 0 78 10 (A)0<r<r'<1 (B)r'<r<0 (c)r<1<r (D)0<'<r<1 (7)今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念 碑该纪念碑的基座设计为一个稳重的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方 体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长 10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为 长征颂 (A)168 (B)192 (C)216 (D)240 高三数学试卷（二）第3页（共8页） (8)已知函数f(r)=2si(r+p(w>0,0<p<π)，f(x)图象的两个相邻对称中心之 间的距离为子，且关于点一受0)对称，若关于“的方程心)=加在区间®x]上有且只 有两个不同的实数根x,x2,则C0s(心，+x2)的所有可能取值构成的集合为 w{引 √33 2’2 o骨 2 D双曲线C乙名Q>0b>0的左，右焦点依欢为F、,以点为焦 抛物线记为C2:y2=2px(p>0),直线I为双曲线C,在第一、三象限的渐近线，过x轴正 半轴上任意一点Tt,0)做垂直于x轴的直线，分别交渐近线l于点A,交抛物线记C,于点 M（A,M均在第一象限)，若OM-OA的最大值二FF,则双曲线C,的离心率 为 (A) 6 (B) 2 3-2 (c (D)3 高三数学试卷（二)第4页（共8页） 第IⅡ卷 注意事项：本卷共11题，共105分。 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. (10)已知i是虚数单位，化简23+14！ 的结果为 3+4i (1)在 的展开式中，x?项的系数为 (12)已知圆心为C的圆经过A,1),B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上，过点 P3,6)做圆C的一条切线，则切线长为 (13)天津的“海河游船”是领略津城魅力的经典项目为回馈游客，游船码头推出了“幸运抽 票”活动，规则如下：第一步：游客先从装有3个红球和2个白球（球除颜色外完全相同） 的抽奖箱中，随机抽取2个球若抽出的2个球颜色相同，则获得“A组票箱”；若抽出的2 个球颜色不同，则获得“B组票箱”第二步：“A组票箱”内装有2张“夜游票”和3张“日游票”； “B组票箱”内装有4张“夜游票”和1张“日游票”，游客从获得的票箱中，随机抽取2张票若 某游客在第一步获得“A组票箱”的概率为 ；某游客完整参与该活动，最终恰好抽 到1张“夜游票的概率为 (14)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，设点P为平面内一动点，满足 mPB+P元PD=,则PAP元= ;PA.PD的取值范围为 (15)若a,b∈R,若对任意实数x,都有x2+(a-b)x+1≥ax-b恒成立，则a+b的最 大值为 高三数学试卷（二）第5页（共8页） 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分14分) 2 在△MBC中，角AB,C所对的边分别为&6，C已知cosB三，b三6.7) 3 (I)求a和c的值； (Il)求sinA的值； (II)求sin(2A-B)的值. (17)（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，AD∥BC, AB⊥AD.已知PA=AB=BC=2,AD=1. (I)若M为棱PC的中点，求证：DM∥平面PAB; (II)求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值： (II)求点A到平面PCD的距离. 高三数学试卷（二)第6页（共8页) (18)（本小题满分15分) 已知附圆C:+茶=a>b>0)的焦鹿为4，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (1)设A为椭圆C的右顶点，不过点A的直线1与椭圆C相交于不同的两点P、Q,直 线AP、4A0分别交y轴于M、N,若OM.ON=-1,△OPQ的面积为J5 2,求直 线1的方程. (19)(本小题满分15分) 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1=1,a2是a,和a的等比中项，等比数列{bn} 的通项公式为b,=q”（其中9>0，且9≠1,9≠一）· (1)求{anbn}的前n项和Sn: ()设集合U,=1,2,3,,n,对于Un的每一个非空子集X,设其最小元素为x,最大 元素为y. (i)设Tn为Un所有非空子集对应的a,之和，求证：T,=2"1-n-2; (ii)设cn为U,所有非空子集对应的a·b之和，求数列{cn}的通项公式. 高三数学试卷（二)第7页（共8页） (20)(本小题满分16分) 已知函数f(x)=e-a.r2-x-1(e为自然对数的底数) ()若a=，求函数f()在点(，)处的切线方程： (1I)若f(x)恰有一人正零点，求实数a的取值范围； E (II1)对于任意的正整数k,且a=一+ =十，时，设了付)的正零点为，求证：对于任 2k2+k 意的正整数n时，都有，<，<6n n+2k台 n+1 高三数学试卷（二）第8页（共8页) 河西区2025一2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二） 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分45分 (1)D (2)A (3)C (4)D (5)B (6)A (7)C (8)A (9)B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分30分. (10)5-2i (11)-84 (12)5√5 (13) 212 5'25 (14)-:民-3，+v3] 三、解答题：本大题共5小题，共75分， (16)本小题满分14分 (1)因为是=号，设a=2k,c-3k0), 根据余弦定理：b2=a2+c2-2 ac cos B将b=6,cosB=号代入得 36=(2k)2+3)2-2×2kx3k×3 化简得：36=13k24k2=9k2,解得k2=4,结合心0得k=2, 因此a=2×2=4,c=3×2=6。 …4分 (I)B为△ABC的内角，c0sB= 根据同角三角函数的平方关系：sinB=√1-cos2B= 112 2W2 3 根据正弦定理口三b sinA sinB'代入a=4,b=6,sinB= V2 3 得：inA=%电_空柜 ….8分 b 6 9 高三数学试题参考答案第1页（共7页） (Ⅲ)由同角三角函数平方关系，A为锐角：cosA=√1-sin2A= 4V2756V2 由二倍角公式sin2A=2 sin A cosA=2× 9981 7 17 c0s2A=2c0s2A-1=2× 9 18 由两角差的正弦公式： 56V51172V256V2-34W222V2 sin (2A-B)=sin 2A cos B-cos 2A sin B= 81×3813243 243…14分 (17)本小题满分15分 (I)取棱PB的中点N,连接AN,MN. 在△PBC中，M,N分别为PC,PB的中点， 1 所以MN∥BC,且MN=2BC.因为BC=2,所以MN=I, 又因为底面ABCD中AD∥BC,且AD=1, 所以MN∥AD,且MN=AD. 所以四边形ADMN为平行四边形，从而DM∥AN. 又因为ANC平面PAB,DM立平面PAB, 所以DM∥平面PAB. 5分 （Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 所以以A为原点，分别以AB,AD,AP的方向为xy,z轴正方向， 建立空间直角坐标系A-xyz. 由已知条件可得各点坐标：A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2). 因为AD∥BC且AB⊥AD,所以点C的坐标为(2,2,0)， 对于平面PCD:DC=(2,1,0),DP=(0,-1,2). 设平面PCD的法向量为元1=（化1y1,1), 则元·DC0→2x+=0 (i1·DP=0(y1+2z1=0 令=1，则1-2,1=1. 所以平面PCD的一个法向量为i1=(1,-2,-1). 对于平面PBD:DB=(2,-1,0),DP=(0,-1,2), 设平面PBD的法向量为i2=(c2y2,2), 则，D5=0→2-0 (i2·Dp-0y2+2z2=0 令为=1，则y2=2,2=1. 所以平面PBD的一个法向量为i2=(1,2,1). 设平面PCD与平面PBD的夹角为0， 高三数学试题参考答案第2页（共7页） 则cos0=同_I1x1+(2x2+x1-上42 风21+4+1·√1+4+763 故这两个平面夹角的余弦值为 11分 (Ⅲ)由（Ⅱ）可知，平面PCD的一个法向量为i1=(1,-2,-1) 因为点D0,1,0)在平面PCD上，且点A坐标为(0,0,0)， 所以AD=(0,1,0) 则点A到平面PCD的距离d为：M而.l_10x1+1x2+0x112V6 6 V63 6 所以，点A到平面PCD的距离为 31 ….15分 (18)本小题满分15分 （I)由题意，椭圆的焦距2c=4,所以c=2. 因为a2=b2+c2,所以a2-b2=4→a2=b2+4. 4,25 将点(2，)代入椭圆方程，得： 62+4*96al 去分母化简，得：(b2-5)(962+20)=0. 因为b2>0,所以b2=5. 从而a2=b2+4=9. 故椭圆E的标准方程为：号+兮1。 …4分 (Ⅱ)由（I)知，右顶点A(3,0),左焦点F(2,0) 设直线1的方程为x=y+m（斜率必不为0) 代入椭圆方程：5(y+m)2+9y2=45→(52+9)y2+10tmy+5m2-45=0. 设Px1y1),2x2y2) 所以w25,2器 .6分 直线AP过点(3,0)和(x1y1),其方程为：y= 33) 令x=0,得交点M的纵坐标：yM= -3y1 1-3 同理可得交点N的纵坐标：yN= -3y2 2-3 9y1y2 OM.ON-yM'yN(1-3)(x2-3) …8分 因为(-3)2-3)=(1+m-3)y2+m-3)=yy2+1(m-3)01t2)+(m-3)2 2(5m2-45)-102m(m-3)+(m-3)2(52+9) 52+9 高三数学试题参考答案第3页（共7页) 所以0.O-9(5m2.45_50m2-9y_50m+30m-3)_5+3) 9(m-3)2 (0m-3)2 (m-3)2 m-3 由己知50m+3》-1,解得5+15=m3→6m=12宁m=2 m-3 所以直线1必定恒过左焦点F(-2,0) 此时直线方程为x=y-2 .11分 判别式△=4002.4(52+9)(-25)=900(+1)>0恒成立 由于直线1的x轴截距为m=-2,△OP?以原点到x轴交点的线段长度m=2为底，高即为y1y2l √30+1 面积S为：S=m:1F2 52+952+9 ,可得 由己知水152 30VP+115V22+1V2 52+97 52+97 整理得：254-8t2-17=0即(25+17)(2-1)=0 解得仁+1. 综上所述，满足条件的直线1的方程为x-y+2=0或x+y+2=0..15分 (19)本小题满分15分 (I)由题意，设数列{an}的公差为d 所以(1+02=1×(1+30，因为d0,所以d=1,所以an=n 所以anbn=nq”. Sn=1·q+2.q2+3·g3+..+n·q"① qSn=1q+2·q3++(n-1)g+nqm+1② ①式减去②式（错位相减法）： (1-q)Sn=+q2+r+..+g”-ng+1 1-g5n=01-9 1-9 --ng+1 因为1，两边同除以1-q: 9,=9gt1ng19-te+1g1+ng2 .5分 (1-gq021-9 (1-q)2 (Ⅱ) （i)假设非空子集X的最小元素为x（x∈{1,2，})，则元素x必属于X. 因为x是最小元素，所以X中的其他元素只能从{x+1,+2,,n}这n-x个元素中选取， 这样的子集X共有2mx个。 因此，在Tn的求和中，ax（即x本身)被累加了2x次， 所以： 将q=0.5直接代入（I)的结论中： 高三数学试题参考答案第4页（共7页） ,-05a+105na0.r2=45tr+1p份"+n⑤ (1-0.5)2 sa2r+v⑤+n⑤)°22n+2⑤+n份2+2G) 所以： 7,2·5=2r+2份门-2n2命题得证…10分 (i)对于任意一个最大元素为y(y∈{1,2，，})的子集X,它必定包含y 由于此时y固定，b,也是一个常数，提取公因式后，只需要对这些子集的ax (最小元素)求和 设X=YUy},其中Y是集合{1,2，-1}的任意子集（可以是空集） ①若Y=中，则X=y,此时最小元素x=y,对应的项为a, ②若Y≠p,则X的最小元素就是Y的最小元素，即x=min() 对于情况②，当Y取遍{1,2，y-1}的所有非空子集时，其最小元素a的总和， 恰好就是（i)中的T1· 因此，对于固定的最大元素y,所有对应子集的ax之和为：a,+T-1 代入（i）的结论T-1=2y-0-1)-2=2'"y-1:a+T-+(2'y-1)=2”-1 因此，最大元素为y的所有子集，其ax·b,的和为(2'-1)b, y=1 y=1 =1 因为90.5，所以2q≠1 所以cn= 2ql1-(2q)"19(1-4") 1-2q 1-q 整理得：Cn 2q-(2014-g1 .15分 1-2q 1-q 高三数学试顾参考答案第5页（共7页） (20)本小题满分16分 （1)当a时，0=e72xl 5 代入=l,得切点纵坐标f1)=e-2l1-1=e2 对fx)求导：(x)=*-x-1。代入=1，得切线斜率k=f(1)=e-2 由点斜式可知，曲线在=1处的切线方程为y(e)e2x-) 化简即得：y(e-2x2 1 …4分 （Ⅱ)已知f)=e-ax2-x-1,注意到f0)=0 对fx)求一阶导数：(x)=e-2ax-1,注意到(0)=0 对f(x)求二阶导数："'(x)=e-2a ①若a≤2：此时2a≤1。对于所有o0,e少122a,所以f"(>0严格恒成立 这说明一阶导数f(x)在(0，+o∞)上严格单调递增，故f(x)>f(0)=0 进而说明原函数x)在(0，+o)上严格单调递增，故fx)>f0)=0 函数在x心0时恒为正，无正实数零点 ②若心7：此时2a>1。令"-0，解得唯一极值点xw=ln(2@>0 当x∈(0，xo)时，'(x)<0→f(x)单调递减，从而f(x)(0)=0 当x∈(x0,+o)时，'(x)>0→f(x)单调递增 既然f(x)先减后增，且当x→+o0时f(x)→+o 由零点存在性定理，必然存在唯一的x1>x,使得f(x1)=0 当x∈(0，x1)时，f(x)<0,fx)单调递减 当x∈(c1+∞)时，x)>0,fx)单调递增 因此，x)在x1处取得极小值，且极小值x)f0)=0 同样，当x→+o时，fx)→+o 结合单调性，函数fx)在(x1,+∞)内必存在唯一一个正实数零点 仅当心)时，函数恰好有一个正买数零点 盘二数兰试题绘若答客第6页（共7页) (m)对于正整数k21,参数a一2十2+k2 1,1.1 由（Ⅱ)可知，此时必存在唯一的正实数零点xk,即满足方程： erk-1-Xk e-akR-xk-l=0→ak= 好 x2x3 令h=e1x2石·三阶求导得h"e-10。即得eP0 所以>-+培在天弹考生淡欧管赛 安 +1代入：2+26 将a一22+k 对k=1到n累加： 2G6号 .12分 x2 令gF2-x -e*+1+x= + 4 二-e。求导得g'(x)= 2- 22-e 2 胸造sn4-2n28x。m2=去，>0.故m>m0)-03 (262>e 这证明了g'(x)>0严格恒成立，所以gx)>g(0)=0 足 =1， 所以ak<京2 因为2-x>0,移项化简得2ak-aX4<1→x>2=21 k k2+k+2 2k2+2k2k2+2k+4-2k2-2k 4 将a一2K2+内 代入：x22- k2+k+2 k2+k+2 k2+k+2 由于k21,有k2+k+2<k2+3k+2=(k+1)k+2) 4 11 所以x2+1k+2)4k+1k+2 =4 再次对k=1到n累加，首尾相消： 台k+1k+2) .16分