浙江宁波市镇海中学2025-2026学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科

**基本信息** 镇海中学高二数学期中卷通过函数性质、向量应用等问题分层考查抽象能力与推理能力，解答题19题证明与多选11题“完美集”概念设计体现数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数图像、充要条件|基础巩固，考查数学眼光中的抽象能力| |多选|3/18|函数奇偶性、向量空间（完美集）|能力提升，创新概念（完美集）考查推理意识| |填空|3/15|不等式最值、三角函数图像|简洁应用，体现数学语言的精确表达| |解答|5/77|函数零点参数、向量与三角形综合|综合应用，19题证明考查逻辑推理，16题向量建模体现应用意识|

镇海中学2025学年第二学期期中考试试题 高二年级数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集为，若，则集合等于 A． B． C． D． 2．已知，则 A． B． C． D． 3．已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件 A．充分必要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 4．函数的图象大致是 5．已知函数在单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知，则 A． B． C．1012 D．1013 7．已知为正实数，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当a变化时，下列不可能的是 A．且 B．且 C．且 D．且 8．设函数，若函数在区间上的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则下列说法中正确的是 A．为奇函数 B． C．有3个零点 D． 10．已知，则下列命题一定正确的是 A． B． C．若，则 D．若，则 11．设二维实向量空间为，若且满足以下所有条件，则称为“完美集”： ①； ②对任意的，任意，都有 则下列命题正确的是 A．若为“完美集”，则集合也是“完美集” B．若都是“完美集”，则集合也是“完美集” C．若都是“完美集”，且，则也是“完美集” D．若都是“完美集”，则也是“完美集” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若，则的最小值为_____． 13．已知函数的部分图象如右图所示，则 14．已知的三个内角分别为，，，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，集合． （1）当时，求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16．点为内的一点，满足，过点的直线与分别交于点，且满足，其中． （1）用，表示； （2）求的最小值． 17．已知是的三个内角，且满足． （1）求的值； （2）若； ①求的值； ②求边上的高． 18．设函数． （1）若，求函数的零点； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 19．已知函数． （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个不同的实数满足，且，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第二学期期中考试解析 高二年级数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集为，若，则集合等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合． 故选择：D 2．已知，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，可得． 故选择： 3．已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件 A．充分必要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】时，且，当时可证明条件充分不必要． 故选择： 4．函数的图象大致是 【答案】A 【解析】由题意，为奇函数，． 故选择：A 5．已知函数在单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，由向右移个单位，向上移1个单位得到，由单调性可知需在的范围内，． 故选择： 6．已知，则 A． B． C．1012 D．1013 【答案】A 【解析】注意到，原式， 所以原式． 故选择： 7．已知为正实数，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当a变化时，下列不可能的是 A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】，令， 则问题转化为在的最小值为和的最大值为， ①当时，，，在这些区间上单调递增，则是可能的；②当，则在有最小值，在有最大值，则是可能的； ③当，则在有最小值，在有最大值则是可能的，所以是不可能的． 故选择： 8．设函数，若函数在区间上的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，则， 则，这表示与直线之间的距离， 若在值域内，则函数的最大值为； 若在函数的值域外，最大值会更大； 为了使最大值最小，我们需要平衡这些距离． 考虑在区间内： 此时，显然，所以， 因此，当时，函数的最大值为，要使最小，应取最大值，即， 此时最大值为． 考虑在区间内： 此时函数的最大值为，即， 当时，即时，最大值最小，此时最小值为， 比较两种情况的最小值：，所以，的最小值为． 故选择：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则下列说法中正确的是 A．为奇函数 B． C．有3个零点 D． 【答案】ABD 【解析】对于选项：，故为奇函数，故正确； 对于选项：因为为奇函数，所以，则，又 时，单调递增，所以单调递减，所以，故B正确； 对于选项：令，所以只有一个零点，故错误； 对于选项：，又因为，所以，故正确． 故选择：ABD 10．已知，则下列命题一定正确的是 A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】对于选项：，同构，令，则，随着的增加而增加，所以故正确； 对于选项：时，，所以不一定成立，如，故B错误； 对于选项：，所以，所以，故正确；对于选项：因为，所以，所以，所以，显然，不一定成立，如，故错误． 故选择： 11．设二维实向量空间为，若且满足以下所有条件，则称为“完美集”：①； ②对任意的，任意，都有 则下列命题正确的是 A．若为“完美集”，则集合也是“完美集” B．若都是“完美集”，则集合也是“完美集” C．若都是“完美集”，且，则也是“完美集” D．若都是“完美集”，则也是“完美集” 【答案】BC 【解析】A项：设为完美集（凸集），． 反例：取（单点集，显然是凸集），则，即去掉原点的直线。取点和，它们都属于，取，则，因此不是完美集，故A错误； B项：设都是完美集，． 非空性：非空，故非空； 凸组合验证：任取，则存在，使得，，对任意，因为是凸集，，故上式属于，因此是完美集，故B正确．项：设都是完美集，且． 非空性：条件已保证； 凸组合验证：任取，则且，因此是凸集，对任意且，故，因此是完美集，故正确； D项：设都是完美集，判断且是否为完美集． 反例：取（轴正半轴，凸集），（轴正半轴，凸集），它们的并集是两条正半轴的并，取点，取，则，这个点不在中，故不是凸集，故错误． 故选择： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】因为，当且仅当时等号成立，故答案为． 故答案为： 13．已知函数的部分图象如右图所示，则 【答案】2 【解析】根据图像的对称性，图中到的部分恰好是半个周期，所以． 故答案为：2 14．已知的三个内角分别为，，，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】要求最大值，则令， 此时有， 则原式，当且仅当时，取得最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，集合． （1）当时，求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，，故． （2）由是的必要不充分条件得，集合是集合的真子集， ，则或，解得． 16．点为内的一点，满足，过点的直线与分别交于点，且满足，其中． （1）用，表示； （2）求的最小值． 【解析】（1）由，得，化简得． （2）三点共线，故存在，使得，，所以，得，又，解得，当且仅当时取到等号，故的最小值为． 17．已知是的三个内角，且满足． （1）求的值； （2）若； ①求的值； ②求边上的高． 【解析】（1）由正弦定理得，，根据余弦定理，解得． （2）①， 则有，解得，故． ②， 由，得， 由，得，故， 解得或，故，即边上的高为． 18．设函数． （1）若，求函数的零点； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，方程，即， 可得，解得或，可得或， 所以函数的零点为0和． （2）由方程，可得， 即，可得，即为， 令，当时，可得， 可得关于的方程在上有解， 令，可得在单调递减，在单调递增， 且， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为． （3）不等式，可化为， 因为对任意的，不等式， 由函数在上单调递减，可得， 即，可得，即， 所以存在，使成立，即不等式 令，当时，可得， 函数在上为单调递增函数，所以， 函数在上为单调递增函数，所以， 所以，解得， 综上可得，实数的取值范围为． 19．已知函数． （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个不同的实数满足，且，证明： 【解析】（1）上式对任意的恒成立，所以； （2）， 令，显然，所以，令， 画出图象如下图所示，因此； （3）首先如（2）变形可得， ①当时，，不等式显然成立； ②当时，只需讨论以下两种情况， 若，此时是的两根，即一元二次方程的两根，因此，要证，只需证，而，所以不等式成立； 若，，此时， 要证，只需证， 而，显然，所以不等式成立； ②当时，只需讨论以下两种情况， 若，此时是的两根， 同②<1>，只需证，而，所以不等式成立； 若，此时， 要证，只需证， 而，显然，所以不等式成立； 综上，不等式恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $