5.1.1 变化率问题（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 一、教材分析 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念。牛顿从运动物体瞬时速度的刻画发明了导数，莱布尼茨则从曲线上某一点处的切线的斜率的刻画发明了导数。本质上都是解决了瞬时变化率的数学刻画问题，是对函数局部性质的精确量化分析。导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限。导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数性质、解决增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等变化率问题的基本工具。 从微积分的知识体系上看，通常先研究极限及其运算，再用极限来定义导数。但在高中数学课程中，不专门安排极限的有关内容，因此不能直接用极限去定义导数。注意到导数是瞬时变化率的数学表达，而高台跳水运动员的速度和抛物线的切线的斜率是典型的变化率问题。通过这些特殊案例，由平均速度到瞬时速度，由割线的斜率到切线的斜率，就可以用直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率，进而建立导数的概念。 用平均速度逐渐逼近瞬时速度、用割线斜率逐渐逼近切线斜率，均渗透着极限的思想。从瞬时速度、切线的斜率这些特殊的瞬时变化率出发，再抽象出导数的概念，蕴含着从具体到抽象、由特殊到一般的思维方法与数学思想。导数的几何意义表明，函数在某点的导数是函数的图象在相应点的切线的斜率，渗透着数形结合、以直代曲的重要数学思想。 通过研究求瞬时速度和切线斜率的这两个例子，再现牛顿和莱布尼茨两位数学家的探索历程，渗透数学文化，激发学生学习数学的热情。极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具，由于导数是一种特殊的极限，其中自然蕴含着极限思想，所以导数是学生认识极限的窗口，其中呈现的动态逼近一个确定值的过程，可以培养学生的辩证思维，也有利于学生数学抽象、直观想象素养的发展。对导数几何意义的研究，有助于学生理解导数的意义，提升直观想象素养。同时，运用导数定义，求函数在某一点处的导数值，有助于发展学生的数学运算等素养。 二、学情分析 从学生认知层次上分析，主要有物理学习基础与数学学习基础两个方面。具体来说，物理学习基础方面，通过初中、高中物理的学习，学生学会用平均速度近似描述直线运动，对匀变速直线运动的瞬时速度也有一定的直观认识。数学学习基础方面，在高中学习无理指数幂时，学生对极限有一些直观、朴素的认识。在高中函数的学习中，借助函数图象，利用单调性定义、不等式、方程等知识，研究了基本初等函数的主要性质。这些认知基础，对本单元的学习都能起到积极的引领作用。 在本单元的教学中，学生可能遇到的学习障碍，可大致概括为如下“三难”： 一难：难在体会“极限思想”。学生在学习导数之前没有学习过极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限思想的过程。而学生对极限思想的认识，不可能一蹴而就，需要从典型变化率实例开始，不断加以体会。因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的斜率，并由此体会极限思想，这是第一个教学难点。 二难：难在抽象“导数概念”。导数的概念非常抽象。要抽象出导数概念，除了要体会极限思想，还要舍去“瞬时速度、切线的斜率”两个案例的具体背景，从思想方法和表达形式上归纳出共性。这是第二个教学难点。 三难：难在理解“导数符号”。导数概念的建立过程中，涉及一些全新的符号，如何正确理解这些符号的意义。这是第三个教学难点。 体会极限思想的关键，需要通过“高台跳水运动员的速度”和“抛物线切线的斜率”两个案例，让学生充分经历由“平均变化率”到“瞬时变化率”的全过程.具体来说，要从“数值”和“解析式”两个维度，观察平均速度和割线斜率的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，割线斜率的极限就是切线斜率.在这个过程中，帮助学生体会极限思想，这也是建立导数概念的关键.此外，还应在抽象概括导数的概念、得出导数的几何意义的过程中，以及在利用导数概念及其几何意义求导数、研究客观世界中的变化率问题时，让学生进一步体会极限思想. 抽象导数概念的关键在于以下两点： ①充分经历两个典型案例从平均变化率到瞬时变化率解决问题的过程，感悟解决问题的思想方法，明确结果形式. ②引导学生分析两个典型案例在解决问题的过程与方法、结果形式上的共同特征.具体来说，首先从两个具体案例中概括出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来；然后进一步通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念. 理解“导数符号”的关键在于，教学中要通过具体案例进行剖析，使学生不仅能正确理解这些符号，还能准确运用相关符号. 三、教学目标 （一）课程标准要求 ①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。 ②体会极限思想。 ③通过函数图象直观理解导数的几何意义。 （二）课时目标要求 1.经历由实例抽象出平均速度与瞬时速度、割线斜率与切线斜率的过程，体会极限的思想及内涵，培养学生观察、归纳、类化、猜想、验证的数学思想，体验由特殊到一般的逻辑思维过程. 2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳的能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已如探求未知、从特殊到一般的数学思想方法. 四、重点难点 教学重点： 1.理解瞬时速度就是平均速度的极限值，抛物线的切线斜率就是割线斜率的极限值，体会极限的思想及其内涵. 2.理解瞬时速度的几何意义，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法.空间向量及其概念，空间向量的线性运算及其运算律. 教学难点：切线斜率的概念与瞬时速度，极限思想. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 微积分相关历史介绍： 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑. 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关.一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等.历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题． 环节二：数学抽象，学习新知 情景一：高台跳水运动员的速度 问题1：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系 ． 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 师生活动：直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态． 例如：在这段时间里， ； 在这段时间里， 一般地，在这段时间里， ． 追问1：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 师生活动：我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态．因此，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity）． 设计意图：让学生掌握用平均速度近似描述运动员的运动状态的方法，并发现平均速度不能准确刻画运动员的运动状态，体会研究瞬时速度的必要性. 问题2：瞬时速度与平均速度有什么关系？ 师生活动：引导学生认识瞬时速度与平均速度之间的关系： 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 因此，要刻画运动员在某一时刻处的运动状态，我们不能用静止的观点看待问题，而应用运动变化的观点加以研究. 追问1：你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？ 为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当时，在1之后，当时，在1之前．当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度．当时，在时间段内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）． 表5.1-1 当时，在时间段内 当时，在时间段内 －0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001 －4.9999951 0.000001 －5.0000049 … … 思考:给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值．当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 师生活动：学生利用信息技术工具演示平均速度(与)的情况，让上述表格中的数据更多。同时，学生观察上面两个表格，给出发现的结论，教师点评后总结出结论：随着时间间隔的不断变小，平均速度不断地接近于常数. 进一步地，教师让学生思考常数的意义，教师在此基础上进行点评总结，并解释符号“”的意义. 追问2：你认为上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗? 师生活动：教师提出问题后让学生讨论，选若干学生发言.教师点评学生的发言，启发学生认识到：从前面计算的平均速度的值，我们发现“随着时间间隔的不断变小，平均速度不断地接近于常数”,但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征，所以需要寻求更为精确的方法加以“说明”. 接着，教师引导学生利用解析式说明上面发现的结论：随着时间间隔的不断变小，平均速度不断地接近于常数.具体说明过程如下： 事实上，由. 可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于．这与前面得到的结论一致． 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为 ． 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度．因此，运动员在时的瞬时速度． 设计意图：借助信息技术工具，从数值和解析式两个维度观察平均速度的变化趋势，让学生经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，理解瞬时速度就是平均速度的极限，并由此初步体会极限思想，体会“用运动变化的观点研究问题”“以直代曲”等微积分思想. 环节三：根据新知，简单应用 例：1．某物体的运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 【答案】C 【详解】由， 可知，是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 2.一物体的运动方程为，则其在 时瞬时速度为1． 【答案】 【详解】． 因为瞬时速度为1，故，即． 故答案为： 环节四：创设情景，学习新知 情景二：抛物线的切线斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究． 问题3：你认为与曲线有且只有一个公共点的直线，一定是曲线的切线吗? 师生活动：给出问题后，引导学生回顾已经学习过的直线与曲线的位置关系并举出反例，如“观察直线与抛物线只相交于一点”,学生根据直觉，得到直线不是抛物线在点处的切线. 追问1：你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？ 师生活动：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况． 思考：如图5.1-1，当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什么变化趋势 教师利用信息技术工具，观察当点沿着抛物线趋近于点时，割线的变化趋势？（几何画板动态展示），学生观察变化过程中的变化趋势问题并总结。 我们发现，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线． 问题4：我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？ 追问1：根据以上的探究，割线的斜率与切线的斜率之间具有怎样的关系？ 师生活动：引导学生认识：抛物线在处附近的某一区间内的割线斜率情况，当区间长度很小时，割线近似替代切线，于是可以用割线斜率近似表示切线斜率.可以想象，如果不断缩短区间长度，那么在该区间内割线斜率变化就越来越小，从而在区间内的割线斜率就越来越趋近于在处的切线斜率. 因此，要研究抛物线在处的切线斜率，我们不能用静止的观点看待问题，而应用运动变化的观点加以研究. 追问2：你能利用这种关系求抛物线在点处的切线的斜率吗？ 师生活动：对于给定的区间间隔,记（可以是正值，也可以是负值，但不为0），则点的坐标是，故可以先计算抛物线在区间内的割线斜率，即： ， 观察当取正值不断趋近于0时，割线斜率有什么变化趋势； 当取负值不断趋近于0时，能否得出同样的结论？ 教师利用信息技术演示，通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）． 表5.1-2 －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.0001 1.9999 0.0001 2.0001 －0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.000001 1.999999 0.000001 2.000001 … … 思考：利用计算工具计算更多割线的斜率的值，当无限趋近于0时，割线的斜率有什么变化趋势？ 师生活动：学生利用信息技术工具演示割线的斜率(与)的情况，让上述表格中的数据更多。同时，学生观察上面两个表格，给出发现的结论，教师点评后总结出结论：当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2． 事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2．我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为： ． 从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线．这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率．因此，切线的斜率，即： . 因此，当横坐标间隔无限变小，趋近于0时，曲线过该点的割线斜率的极限值就是曲线在该点处的切线的斜率 问题5：观察问题1中的函数的图象（图5.1-2），平均速度的几何意义是什么？瞬时速度呢？ 师生活动：直接利用函数的图象，引导学生认识平均速度，瞬时速度的几何意义得到： （1）平均速度是抛物线在点，的割线的斜率； （2）瞬时速度是抛物线在点处的切线斜率. 设计意图:让学生跳出高台跳水运动的实际背景，从函数图象上理解平均速度与瞬时速度的几何意义.同时也为后续给出导数的几何意义作铺垫. 环节五：根据新知，简单应用 1.函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选：B 2．已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】设， 则， 由题意知，解之得， 显然c的取值不改变结果，不妨取，则. 故答案为： 3．已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【详解】（1）， 函数在区间上的平均变化率为． （2）由（1）可知在区间上的平均变化率为， 当，时，， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 环节六：能力提升 题型一：运动物体的瞬时速度的计算 例：求问题1中高台跳水运动员在时的瞬时速度． 解：因为 ， 所以，． 所以，高台跳水运动员在时的瞬时速度为． 总结归纳：求运动物体在时刻的瞬时速度的一般步骤 第一步：求时间的改变量与位移的改变量 第二步：计算平均速度； 第二步：观察时，平均速度趋近的确定值即为物体在时刻的瞬时速度，即求极限： 注：①在极限表达式中，可把作为一个数来参与运算； ②求出的表达式后，无限趋近于0就是令,求出结果即可. 变式练习：（1）求运动员在时的瞬时速度； （2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 解：（1）运动员在时的瞬时速度 ． （2）运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度 ． 题型二：抛物线切线方程的求解 例2：你认为应该怎样定义抛物线在点处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率． 解析：在点的附任取一点，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置称为抛物线在点处的切线． 取横坐标间隔，过点，的割线斜率为： 所以，抛物线在点处的切线的斜率为： ． 小结归纳：求抛物线上一点处的切线斜率的方法 第一步：求抛物线在内的改变量； 第二步：求抛物线在点附近的割线斜率，即： 第三步：求极限的值即为点处的切线斜率. 变式训练： 求抛物线在点处的切线方程． 解：抛物线在点处的切线的斜率 ， 抛物线在点处的切线方程为． 环节七：凝练升华，课堂小结 问题环节六 归纳总结,反思提升 问题:请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ (1) 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。 (2) 瞬时速度的求法。 (3) 曲线割线与切线斜率的概念及其关系。 (4) 曲线切线斜率的求法。 (5) 平均速度与割线斜率、瞬时速度与切线斜率的关系。 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 方法归纳：极限法、定义法． 3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位． 环节八：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第61-62页练习第2、3题，P70页习题5.1第3、7题. 巩固作业答案： 教科书第61-62页练习第2、 2．火箭发射后，其高度（单位：m）为，求： （1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度． 【解析】（1）因为， 所以在这段时间里，火箭爬高的平均速度为； （2）因为 ． 所以发射后第时，火箭爬高的瞬时速度． 教科书第61-62页练习第3题 3．一个小球从5m的高处自由下落，其位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为．求时小球的瞬时速度． 3．【解析】由题意知： ，当时，小球的瞬时速度为． 教科书P70页习题5.1第3题. 3. 某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式．求： （1）这段时间内的平均速度； （2）时的瞬时速度． 【答案】（1）25（2）20 【解析】 【详解】（1）当时，;当时，; 的平均速度为. （2），. 教科书P70页习题5.1第7题. 7.求曲线在点（处的切线的倾斜角． 【答案】 【解析】 【详解】， 所以曲线在点处的切线斜率为，则倾斜角为. 环节九 板书设计 5.1.1 变化率问题 1.瞬时速度 例1. 2. 曲线的切线斜率 曲线的切线的定义 曲线切线斜率 例2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$