第11章 一元一次不等式（高频易错题题型讲练）21个题型讲练+能力提升训练 共52题-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

**基本信息** 聚焦一元一次不等式高频易错点，21题型系统覆盖概念、运算及实际应用，通过典例与变式构建从基础到综合的解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型分类讲练|21题型（含典例+变式）|覆盖定义、性质、解集、参数及经济/几何应用|从概念生成到运算技巧，再到实际问题建模| |能力提升训练|10题|综合考查推理与模型应用|深化跨情境解题能力，体现运算与推理素养|

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册专项培优讲义 第十一章 一元一次不等式『高频易错题题型讲练』 〔21个题型讲练+能力提升练 共52题〕 【苏科版七年级下册●新教材】 模块一 目录索引 知晓题型 2 题型一 不等式的定义 2 题型二 不等式的解集 2 题型三 不等式的性质 3 题型四 一元一次不等式的定义 4 题型五 求一元一次不等式的解集 5 题型六 求一元一次不等式的整数解 5 题型七 在数轴上表示不等式的解集 6 题型八 求一元一次不等式解的最值 8 题型九 求不等式组的解集 9 题型十 求一元一次不等式组的整数解 10 题型十一 由一元一次不等式组的解集求参数 12 题型十二 由不等式组解集的情况求参数 13 题型十三 不等式组和方程组结合的问题 14 题型十四 列一元一次不等式组 16 题型十五 不等式组的经济问题 17 题型十六 不等式组的分配问题 19 题型十七 不等式组的方案选择问题 21 题型十八 一元一次不等式组的其他应用 22 题型十九 列一元一次不等式 24 题型二十 用一元一次不等式解决实际问题 27 题型二十一 用一元一次不等式解决几何问题 28 能力提升训练 32 模块二 易错题型 分类讲练 题型一 不等式的定义 【典例分析】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·河南焦作·月考）据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是，最高气温是得到取值范围即可． 【详解】解：明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是． 故选C． 题型二 不等式的解集 【典例分析】（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是________，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 题型三 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若，以下一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可得到结论． 【详解】解：A选项：，根据不等式的基本性质三，不等式两边同时乘，不等号方向改变， ， 故A选项不成立； B选项：举反例：若，，满足，但，，， 故B选项不一定成立； C选项：举反例：若，，满足，但，，， 故C选项不一定成立； D选项：，根据不等式的基本性质一，不等式两边同时加，不等号方向不变， ， 故D选项一定成立． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，直接得到比较结果． 【详解】解：由，两边同时乘，得， 故答案为：． 题型四 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 【变式训练】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式； 【详解】解：式子含有两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求； 式子只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求； 式子中，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，∴C不符合要求； 选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求． 题型五 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式训练】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）解不等式： 【答案】 【详解】解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 原不等式的解集为． 题型六 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】 【详解】解：， ， 解得， ∴不等式的最小整数解为， 把代入，得， 解得． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】先将方程的解代入原方程，得到，根据非负整数的定义确定的所有可能取值，再计算对应的，比较得到最小值． 【详解】解：将代入得：， 整理得， ∵为非负整数， ∴，， 解得， ∵为非负整数， ∴的可能取值为． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． ， ∴的最小值为． 题型七 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 x系数化为1，得； 在数轴上表示不等式的解集如下： （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 x系数化为1，得； 在数轴上表示不等式的解集如下： 【变式训练】（25-26七年级下·上海松江·期中）解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析． 【分析】首先两边同时乘以去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． ． 题型八 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【变式训练】（24-25七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 题型九 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·重庆·月考）解下列各题． (1)解方程； (2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，解集在数轴上表示见解析 【详解】（1）解：原方程组化为：， 由得：， 解得， 把代入②得：， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 【变式训练】（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式组，并在数轴上表示出解集：． 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式得：， 由不等式得：， 不等式组的解集为：； 解集在数轴上表示为： ． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·北京西城·期中）按要求解不等式（组） (1)解不等式，并在数轴上表示它的解集． (2)解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】(1) (2)，，． 【详解】（1）解：去分母，得： ， 去括号，得： ， 移项合并，得： ， （2）解：解不等式， 去括号，得： ， 移项合并，得： ， ， 解不等式， 去分母，得： ， 移项，得： ， 系数化为，得： ， 不等式组的解集为， 整数解为，，． 【变式训练】（25-26七年级下·上海闵行·期中）求不等式组：的整数解． 【答案】， 0， 1 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再求出不等式组的公共解集，最后找出公共解集内的整数即可； 【详解】解：解不等式①：， 两边同乘得， 整理得， 移项合并得， 解得； 解不等式②， 去括号得， 移项合并得， 解得， 所以不等式组的解集为， 因此该不等式组的整数解为，，． 题型十一 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组． （1）当不等式组的解集为，则m的值为______； （2）当不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】（1）首先解出不等式组的解集，然后比较求解即可； （2）根据不等式组的所有整数解的和是12，再由或求解即可． 【详解】解：（1）解不等式组得， ∵不等式组的解集为， ∴ ∴； （2）∵不等式组的解集为， ∵不等式组的所有整数解的和是12， ∴为，或 ∴，或 ∴，或． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）不等式组的解集为，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同小取小”的原则列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围 【详解】解：解不等式 系数化为1得； 解不等式得； 不等式组的解集为，根据“同小取小”原则， 解得 题型十二 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x、y的方程的解满足，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】通过方程组构造出 即 a的表达式．熟练掌握整体代换思想和不等式的变形规则，是快速求出 a 取值范围的关键． 【详解】解：， 将方程①与方程②相加： ， ， ∵， ∴， ∴a， ∵已知，在不等式两边同时加1， ， ∴， 在不等式两边同时除以3， 1， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·北京房山·期中）当时，对于的每一个值，的值都大于的值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知当时，恒成立， 解不等式得， 由题意得， 解得． 题型十三 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 【变式训练】（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 题型十四 列一元一次不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 题型十五 不等式组的经济问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川泸州·期中）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元 (2)共有7种购买方案 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可； （2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答． 【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元． （2）解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据题意，得 ， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴共有7种购买方案． 【变式训练】（25-26七年级从·湖南长沙·月考）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 题型十六 不等式组的分配问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 题型十七 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川成都·月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)共有种采购方案 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元，根据题意可得 解得 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章个，则购进吉祥摆件个，为正整数， 根据题意可得 解得， 因为为正整数，所以的取值为 的可取值个数为 答：小王共有种采购方案． 【变式训练】（2026·贵州遵义·一模）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． (1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ (2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【答案】(1)A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹 (2)该物流中心有3种投入方案 【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案． 【详解】（1）解：设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意得：， ∴解得： 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹． （2）解：设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台． 由题意得：， ∴解得：． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 题型十八 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元 (2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本 【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价； （2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元． 根据题意得 解得 答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元． （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本． ∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元， ∴ 解不等式，得． 解不等式，得，即． 解不等式得，． ∴不等式组的解集为． ∵为正整数， ∴的取值为． 答：学校共有6种购买方案，分别是： 方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本； 方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本； 方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本； 方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本； 方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本； 方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算．运算进行了次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由运算程序可得，第次运算结果为，第次运算结果为，再根据题意列出一元一次不等式组解答即可求解． 【详解】解：由运算程序可得，第次运算结果为，第次运算结果为， ∵运算进行了次才停止， ∴第次运算结果不大于，且第次运算结果大于， ， 解得 ， ∴的取值范围是． 题型十九 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）小海在学习《积木可以叠多远？》时发现若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木叠在一起并逐块延伸，积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不能超过最下方一块积木的右边缘，因此他很快能求出每块积木最远延伸距离．每块积木长度为，以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为． (1)请把小海的研究方法补充完整： 如图1，沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为，于是得到积木①的重心水平位置______（用含和的代数式表示），由于积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘，即______，所以积木①的最远延伸距离是______（用含的代数式表示）． (2)按照小海的方法继续探究： 如图2，保持积木①、②相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木②，推动距离为，于是得到： 积木①的重心水平位置， 积木②的重心水平位置， 因此积木①、②组合重心的水平位置，由于积木不倾倒的条件是______（用数学表达式描述），所以积木②的最远延伸距离是______（用含的代数式表示）． (3)如图3，保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，求积木③的最远延伸距离（用含的代数式表示） 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）根据题干信息进行求解即可； （2）根据题意得出，即，整理得出，根据，即可得出答案； （3）先得出，根据，得出，求出,即可得出答案． 【详解】（1）解：∵以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为， ∴沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为，积木①的重心水平位置； ∵积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘， ∴， 解得：， ∴积木①的最远延伸距离是； （2）解：根据题意得：积木不倾倒的条件是， 即， 整理得：， 把代入得：， 解得：， ∴最大值为； （3）解：保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，推动距离为， 此时积木①、②、③的重心水平位置分别为： ， ， ， 积木①、②、③组合重心的水平位置， 由于积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不超过最下方一块积木（积木④）的右边缘，即， ∴， 即， ， 将，代入上式得： ， 解得：, 答：积木③的最远延伸距离为． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列不等式即可； （2）当小丽进电梯后电梯警示音未响起，得出，当小华进电梯后，电梯因超重而警示音响起，列出不等式，得到不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得； （2）解：根据题意得 解得． 题型二十 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（2026·湖南长沙·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； (2)最多能购买A型机器人台． 【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； （2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能购买A型机器人台． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】数学书最多还可以摆本 【分析】设数学书最多还可以摆x本，根据题意列出关于x的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】解：设数学书最多还可以摆x本， ， 解得， 数学书最多还可以摆本． 题型二十一 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 模块三 能力提升 闯关训练 1．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 2．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）关于的不等式组的整数解之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集中的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解： 移项合并同类项得 系数化为1得 两边同乘2得 整理得 系数化为1得 ∴ 不等式组的解集为 ∴ 不等式组的整数解为 整数解之和为 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）国家规定：存款利息税=利息，银行一年定期储蓄的年利率为．小辰爸爸有一笔一年定期存款，如果到期后全部取出，扣除利息税后不少于元．若设这笔一年定期存款是元，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得， 整理得． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集为，判断的符号，得到与的数量关系和的符号，再求解不等式即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 不等式的解集为，不等号方向发生改变， ， 根据不等式的性质，不等式两边同除以得， ， 整理得， ，即， ， 对于不等式， 根据不等式的性质，不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 将代入得． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于的不等式的解集为，则_________． 【答案】当时，；当时， 【分析】先由不等式解集得到，再对分类讨论，去绝对值计算即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得， 当，即时，则； 当，即时，则； 当，即时，则； 当时，；当时，． 6．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相减得到，则可得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵关于，的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知，都是关于x的一元一次不等式组的解，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集为，再结合题意建立不等式求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵，都是关于x的一元一次不等式组的解， ∴且， 解得：． 8．（2026·辽宁沈阳·一模）某学校决定购买A，B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，已知A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同． (1)求A，B两种产品的单价； (2)在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A，B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？ 【答案】(1) A种产品单价为45元，B种产品单价为25元 (2) 最多购买A种产品5件 【分析】(1)设B种产品的单价为元，则A种产品的单价为元，根据总价相等的等量关系，列一元一次方程求解单价； (2)设购买A种产品件，则购买B种产品件，根据总预算不超过1600元的不等关系，列一元一次不等式，取最大整数解得到结果． 【详解】（1）解：设B种产品的单价为元，则A种产品的单价为元， 根据题意得：， 解得， 则， 答：A种产品单价为45元，B种产品单价为25元； （2）解：设购买A种产品件，则购买B种产品件， 根据题意得：， 解得， 所以的最大值为5； 答：最多购买A种产品5件． 9．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 10．（25-26七年级下·上海虹口·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可得解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分和两种情况讨论，根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式与没有公共整数解， ∴不等式不是的“和谐不等式”， （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， 即两个不等式的公共解集中没有整数； 因为小于3的最大整数是2，所以要使公共解集中没有整数， ∴； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，则， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册专项培优讲义 第十一章 一元一次不等式『高频易错题题型讲练』 〔21个题型讲练+能力提升练 共52题〕 【苏科版七年级下册●新教材】 模块一 目录索引 知晓题型 2 题型一 不等式的定义 2 题型二 不等式的解集 2 题型三 不等式的性质 2 题型四 一元一次不等式的定义 2 题型五 求一元一次不等式的解集 2 题型六 求一元一次不等式的整数解 3 题型七 在数轴上表示不等式的解集 3 题型八 求一元一次不等式解的最值 4 题型九 求不等式组的解集 4 题型十 求一元一次不等式组的整数解 5 题型十一 由一元一次不等式组的解集求参数 5 题型十二 由不等式组解集的情况求参数 5 题型十三 不等式组和方程组结合的问题 5 题型十四 列一元一次不等式组 6 题型十五 不等式组的经济问题 6 题型十六 不等式组的分配问题 7 题型十七 不等式组的方案选择问题 8 题型十八 一元一次不等式组的其他应用 9 题型十九 列一元一次不等式 9 题型二十 用一元一次不等式解决实际问题 11 题型二十一 用一元一次不等式解决几何问题 11 能力提升训练 12 模块二 易错题型 分类讲练 题型一 不等式的定义 【典例分析】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南焦作·月考）据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 不等式的解集 【典例分析】（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是________，的取值范围是________． 题型三 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若，以下一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 题型四 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 【变式训练】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 题型五 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）解不等式：． 【变式训练】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）解不等式： 题型六 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求a的值． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________． 题型七 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级下·上海松江·期中）解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 题型八 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【变式训练】（24-25七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 题型九 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·重庆·月考）解下列各题． (1)解方程； (2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练】（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式组，并在数轴上表示出解集：． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·北京西城·期中）按要求解不等式（组） (1)解不等式，并在数轴上表示它的解集． (2)解不等式组，并写出它的所有整数解． 【变式训练】（25-26七年级下·上海闵行·期中）求不等式组：的整数解． 题型十一 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组． （1）当不等式组的解集为，则m的值为______； （2）当不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是______． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）不等式组的解集为，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十二 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x、y的方程的解满足，则a的取值范围是___________． 【变式训练】（25-26七年级下·北京房山·期中）当时，对于的每一个值，的值都大于的值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十三 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【变式训练】（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 题型十四 列一元一次不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 题型十五 不等式组的经济问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川泸州·期中）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【变式训练】（25-26七年级从·湖南长沙·月考）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 题型十六 不等式组的分配问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 题型十七 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川成都·月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【变式训练】（2026·贵州遵义·一模）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． (1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ (2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 题型十八 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【变式训练】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算．运算进行了次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十九 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）小海在学习《积木可以叠多远？》时发现若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木叠在一起并逐块延伸，积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不能超过最下方一块积木的右边缘，因此他很快能求出每块积木最远延伸距离．每块积木长度为，以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为． (1)请把小海的研究方法补充完整： 如图1，沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为，于是得到积木①的重心水平位置______（用含和的代数式表示），由于积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘，即______，所以积木①的最远延伸距离是______（用含的代数式表示）． (2)按照小海的方法继续探究： 如图2，保持积木①、②相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木②，推动距离为，于是得到： 积木①的重心水平位置， 积木②的重心水平位置， 因此积木①、②组合重心的水平位置，由于积木不倾倒的条件是______（用数学表达式描述），所以积木②的最远延伸距离是______（用含的代数式表示）． (3)如图3，保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，求积木③的最远延伸距离（用含的代数式表示） 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 题型二十 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（2026·湖南长沙·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 【变式训练】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 题型二十一 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    模块三 能力提升 闯关训练 1．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）关于的不等式组的整数解之和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）国家规定：存款利息税=利息，银行一年定期储蓄的年利率为．小辰爸爸有一笔一年定期存款，如果到期后全部取出，扣除利息税后不少于元．若设这笔一年定期存款是元，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于的不等式的解集为，则_________． 6．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 7．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知，都是关于x的一元一次不等式组的解，则m的取值范围是_______． 8．（2026·辽宁沈阳·一模）某学校决定购买A，B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，已知A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同． (1)求A，B两种产品的单价； (2)在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A，B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？ 9．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）求不等式的最小整数解． 10．（25-26七年级下·上海虹口·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $