第11章 一元一次不等式（章节复习培优讲义）知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共69题-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 第十一章 一元一次不等式『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共69题） 原卷版 2 知识点一 生活中的不等式 2 知识点二 不等式的解及解集 3 知识点三 不等式的基本性质 3 知识点四 解一元一次不等式 3 知识点五 一元一次不等式实际问题 4 知识点六 一元一次不等式组 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练一 不等式的定义 6 考点讲练二 不等式的解集 6 考点讲练三 不等式的性质 7 考点讲练四 一元一次不等式的定义 7 考点讲练五 求一元一次不等式的解集 7 考点讲练六 求一元一次不等式的整数解 7 考点讲练七 在数轴上表示不等式的解集 7 考点讲练八 求一元一次不等式解的最值 8 考点讲练九 一元一次不等式组的定义 8 考点讲练十 求不等式组的解集 8 考点讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 8 考点讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 9 考点讲练十三 由不等式组解集的情况求参数 9 考点讲练十四 不等式组和方程组结合的问题 9 考点讲练十五 列一元一次不等式组 10 考点讲练十六 不等式组的经济问题 10 考点讲练十七 不等式组的分配问题 11 考点讲练十八 不等式组的方案选择问题 11 考点讲练十九 一元一次不等式组的其他应用 12 考点讲练二十 列一元一次不等式 12 考点讲练二十一 用一元一次不等式解决实际问题 12 考点讲练二十二 用一元一次不等式解决几何问题 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 闯关训练 14 【基础夯实 能力提升】 14 【创新拓展 拔尖冲刺】 15 知识点一 生活中的不等式 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【方法点拨】 (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的解及解集 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 【易错点拨】在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点三 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点四 解一元一次不等式 (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点五 一元一次不等式实际问题 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表 示不等关系的文字补上． 知识点六 一元一次不等式组 1.不等式组的概念 如，等都是一元一次不等式组． (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 2.解一元一次不等式组 ①一元一次不等式组的解集： 【易错点拨】 (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． ②一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 【易错点拨】 (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 考点讲练一 不等式的定义 【典例分析】（24-25七年级下·河南开封·月考）某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 【变式训练】（25-26七年级下·上海·月考）下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练二 不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 考点讲练三 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）若，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，那么______．（填“”、“”或“”） 考点讲练四 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·月考）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 考点讲练五 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·北京密云·期中）下列变形错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式训练】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）不等式的解集为_________． 考点讲练六 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）不等式的最小整数解为_______． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南湘潭·月考）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练七 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·上海闵行·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 考点讲练八 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的最小值为，的最大值为，则_______． 考点讲练九 一元一次不等式组的定义 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·上海·寒假作业）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 考点讲练十 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）解不等式组：将其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解． 【变式训练】（25-26七年级下·上海黄浦·期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出解集的非负整数解． 考点讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·北京房山·期中）满足不等式的所有整数解是________． 【变式训练】（24-25七年级下·四川资阳·期末）解不等式组，并求不等式组的整数解． 考点讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得______；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值； (4)若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围． 考点讲练十三 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（2026·河南三门峡·一模）请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·河南信阳·二模）若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 考点讲练十四 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（25-26七年级下·广西桂林·月考）关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 考点讲练十五 列一元一次不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·河南商丘·月考）据气象台预报，2025年5月12日，郑州市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 考点讲练十六 不等式组的经济问题 【典例分析】（24-25七年级下·河南周口·月考）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 考点讲练十七 不等式组的分配问题 【典例分析】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 考点讲练十八 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（24-25七年级下·四川泸州·期末）某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【变式训练】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）随着人们生活水平的提高，对居住环境的高标准，全套承包的装修行业也随之兴起，某装修公司计划在端午节推出两款的装修套餐，据了解，组套餐的装修原料费、组套餐的装修原料费共计万元；组套餐的装修原料费比组套餐的装修原料费少万元． (1)求一组、套餐的装修原料费分别为多少万元？ (2)若该公司计划用不超过万元的预算，采购组套餐的装修材料（仅购买、两种套餐装修原料，且每种至少购买组），问该公司有几种采购方案？请你设计出来． (3)已知该装修公司端午销售组套餐可获利万元，销售组套餐可获利万元，在（2）中的购买方案中，假如这些套餐全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 考点讲练十九 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）按照如下程序，输入的值并计算，规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 考点讲练二十 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·上海·期中）将“的3倍与4的差是非负数”用不等式表示为______． 【变式训练】（25-26七年级下·山西临汾·期中）用不等式表示“的一半与的差不小于”______． 考点讲练二十一 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对_________道题． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·期中）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全． 考点讲练二十二 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（25-26七年级下·上海闵行·月考）如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【真题演练1】（2024·山东烟台·中考真题）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2024·上海·中考真题）若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是________． 【真题演练4】（2024·江苏南京·中考真题）关于x的不等式组有五个整数解，则a的取值范围是__________． 【真题演练5】（2024·云南昆明·中考真题）2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同．其中魔方每个标价10元，数独棋每个标价40元． 两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋60个，魔方若干（多于30）个，单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是50个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是___________元． (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 【基础夯实 能力提升】 1．（2026·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知（为任意有理数），则的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的范围是_____________ ． 5．（25-26七年级下·上海闵行·期中）不等式的解集是_____． 6．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，若整式的值落在数轴上的区间①内，则整数______． 7．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 8．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 x系数化成1，得．……第四步 (1)去分母的依据是； (2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现处错误，其中最后一处错误在第步，错误的原因是； (3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·月考）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 4．（24-25七年级下·河南安阳·期末）定义一种运算，则不等式的解集是______． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知，，为有理数，且多项式能够被整除． （1）_______； （2）若，，为整数，且，则_______． 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有___________；（填序号） (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则该“子方程”的解为___________； (3)若方程都是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是___________． 7．（25-26七年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 8．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 9．（24-25七年级下·四川资阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式： ， ， 中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 10．（24-25七年级下·四川眉山·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 第十一章 一元一次不等式『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共69题） 解析版 2 知识点一 生活中的不等式 2 知识点二 不等式的解及解集 2 知识点三 不等式的基本性质 3 知识点四 解一元一次不等式 3 知识点五 一元一次不等式实际问题 4 知识点六 一元一次不等式组 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练一 不等式的定义 6 考点讲练二 不等式的解集 7 考点讲练三 不等式的性质 8 考点讲练四 一元一次不等式的定义 8 考点讲练五 求一元一次不等式的解集 9 考点讲练六 求一元一次不等式的整数解 10 考点讲练七 在数轴上表示不等式的解集 10 考点讲练八 求一元一次不等式解的最值 11 考点讲练九 一元一次不等式组的定义 12 考点讲练十 求不等式组的解集 12 考点讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 14 考点讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 14 考点讲练十三 由不等式组解集的情况求参数 16 考点讲练十四 不等式组和方程组结合的问题 17 考点讲练十五 列一元一次不等式组 19 考点讲练十六 不等式组的经济问题 20 考点讲练十七 不等式组的分配问题 21 考点讲练十八 不等式组的方案选择问题 22 考点讲练十九 一元一次不等式组的其他应用 25 考点讲练二十 列一元一次不等式 26 考点讲练二十一 用一元一次不等式解决实际问题 26 考点讲练二十二 用一元一次不等式解决几何问题 27 中考真题 实战演练 28 难度分层 闯关训练 33 【基础夯实 能力提升】 33 【创新拓展 拔尖冲刺】 38 知识点一 生活中的不等式 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【方法点拨】 (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的解及解集 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 【易错点拨】在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点三 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点四 解一元一次不等式 (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点五 一元一次不等式实际问题 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表 示不等关系的文字补上． 知识点六 一元一次不等式组 1.不等式组的概念 如，等都是一元一次不等式组． (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 2.解一元一次不等式组 ①一元一次不等式组的解集： 【易错点拨】 (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． ②一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 【易错点拨】 (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 考点讲练一 不等式的定义 【典例分析】（24-25七年级下·河南开封·月考）某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 【答案】 【分析】根据题意，将实际问题中的气温变化范围转化为不等式表示即可得到答案． 【详解】解：由题意得当天气温（℃）的变化范围是． 【变式训练】（25-26七年级下·上海·月考）下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 考点讲练二 不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 【答案】 1，2 －3，－2，－1 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． （1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数； （2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数． 【详解】解：（1），且为正整数， 可取，， 故答案为：； （2），且为负整数， 可取，，． 故答案为：，，． 考点讲练三 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）若，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，且，则，∴是错误的，故该选项符合题意； 【变式训练】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据“不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变”即可得到结果． 【详解】解：∵， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴． 考点讲练四 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可． 【详解】解：A选项中是等式，不是不等式，不符合要求； B选项中 里，未知数的次数为2，不是1，不符合要求； C选项中含有和两个未知数，不符合要求； D选项中是不等式，只含一个未知数，的次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·月考）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且， 解得． 考点讲练五 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·北京密云·期中）下列变形错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】不等式两边加或减同一个数，不等号方向不改变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不改变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A、 ，不等式两边同时减，不等号方向不变，，变形正确，不符合题意； B、，不等式两边同时减，不等号方向不变， ，变形正确，不符合题意； C、 ，不等式两边同时除以，不等号方向需改变，得，原变形错误，符合题意； D、 ，不等式两边同时除以，不等号方向不变，，变形正确，不符合题意． 【变式训练】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，直接系数化为1，即可作答． 【详解】解：， 系数化为1，得． 考点讲练六 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）不等式的最小整数解为_______． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， 不等式的最小整数解为． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南湘潭·月考）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 考点讲练七 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式组的解集在数轴上表示，在表示解集时“≥”，“≤” 要用实心点表示；“<”，“>”要用空心点表示，求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为： 【变式训练】（25-26七年级下·上海闵行·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 把它的解集在数轴上表示出来如图： 考点讲练八 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的最小值为，的最大值为，则_______． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 考点讲练九 一元一次不等式组的定义 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级下·上海·寒假作业）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，可知， A、第二个不等式为分式不等式，不是一元一次不等式组，故选项A不符合题目要求； B、不等式组中含有两个未知数x和y，不是一元一次不等式组，故选项B不符合题目要求； C、第一个不等式没有未知数，不是一元一次不等式组，故选项C不符合题目要求； D、两个不等式都是关于x的一次不等式，是一元一次不等式组，故选项D符合题目要求． 故选：D． 考点讲练十 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）解不等式组：将其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解． 【答案】，数轴表示见详解，不等式的整数解为：，，， 【分析】主要考查了求不等式组的解集． 先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示，两个解集重合的部分即为不等式组的解集，问题得解． 【详解】， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 数轴上表示： 即不等式组的解集为：， 不等式的整数解为：，，，． 【变式训练】（25-26七年级下·上海黄浦·期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出解集的非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，非负整数解为 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的公共解集，将解集表示在数轴上，最后找出解集中符合要求的非负整数即可. 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 所以解集的非负整数解为． 考点讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·北京房山·期中）满足不等式的所有整数解是________． 【答案】，0，1，2 【分析】根据不等式性质对该不等式组求解，得出解集后，取整数解即可． 【详解】解：， ， ， 整数解为，0，1，2． 【变式训练】（24-25七年级下·四川资阳·期末）解不等式组，并求不等式组的整数解． 【答案】，不等式组的整数解为：，，，0 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解为， 故此不等式组的整数解为：，，，0． 考点讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍． 【详解】解∵不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得______；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值； (4)若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或或 【分析】（1）把两方程相加即可求解； （2）根据并结合建立关于的不等式求解范围； （3）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可； （4）先解出不等式组x的解集，是含有a的一个解集范围，再由“解集中恰好有两个整数”，得出，设出两个整数解为k，，列出关于a，k的不等式组，解出a范围，再根据两个解集的范围大小，列出k的不等式，从而求出确定的k，再反带回列出的关于a，k的不等式组，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解： ，得； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，； （4）解： 解得不等式，得， ∵不等式组的解集恰好含有两个整数， ∴， ∴， ∴； 设整数的值为，， 则有，， ∴，， ∴， ∴， ∴整数k为3或4， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，， ∴内必有3个整数解，不符合题意，舍去； 当时， ，有5和6两个整数解，符合题意； 综上，a的取值范围为或或． 考点讲练十三 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（2026·河南三门峡·一模）请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知不等式的解集，再根据一元一次不等式组无解的条件，即两个不等式的解集没有公共部分，判断选项即可． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴， ∵不等式组无解，即：另一个不等式的解集需要和没有公共部分， A、 与没有公共部分，不等式组无解，符合题意； B、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； C、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； D、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意． 【变式训练】（2024·河南信阳·二模）若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求解不等式组中第二个一元一次不等式.，再根据一元一次不等式组解集的确定原则得到关于的不等式，最后求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘，不等号方向改变，得． 不等式组的解集是， ∴， 不等式两边同除以，不等号方向改变，得． 考点讲练十四 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（25-26七年级下·广西桂林·月考）关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【答案】 【分析】利用代入消元法，得出，再代入不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得， 解得． ， ， ，． （2）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，． 考点讲练十五 列一元一次不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·河南商丘·月考）据气象台预报，2025年5月12日，郑州市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意列不等式组，根据题目中给出的最高气温和最低气温，确定气温的变化范围，最高气温为，最低气温为，因此应介于这两个温度之间且包含端点，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，当天的气温既不能低于最低气温，也不能高于最高气温， 因此， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 考点讲练十六 不等式组的经济问题 【典例分析】（24-25七年级下·河南周口·月考）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 【答案】每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件，根据每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】解：设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件， 由题意得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴， 答：每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件． 考点讲练十七 不等式组的分配问题 【典例分析】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 考点讲练十八 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（24-25七年级下·四川泸州·期末）某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【答案】(1)A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元 (2) (3)有三种进货方案：方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件；方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件；方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件；选择方案三利润最大，为864元 【分析】（1）根据“购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元”列方程组求解即可； （2）根据“总利润=单件的利润×数量”列式即可； （3）先根据“A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元”列不等式组求出m的取值范围，然后可得满足条件的进货方案，再分别计算出各方案的利润，进而可得答案． 【详解】（1）解：设A种服装的进价是元，B种服装的进价是元， 列方程组得：， 解得， 答：A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元； （2）解：设购进B种服装件，则购进A种服装件， 由题意得 ； （3）解：购进B种服装件，则购进A种服装件， 根据题意得， 解不等式组得． 因为应该为正整数，所以＝10，11，12，则＝24，26，28， 所以有三种进货方案： 方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件； 方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件； 方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件； 方案一所得利润：元； 方案二所得利润：元； 方案三所得利润：元； 所以应该选择方案三利润最大，为864元． 【变式训练】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）随着人们生活水平的提高，对居住环境的高标准，全套承包的装修行业也随之兴起，某装修公司计划在端午节推出两款的装修套餐，据了解，组套餐的装修原料费、组套餐的装修原料费共计万元；组套餐的装修原料费比组套餐的装修原料费少万元． (1)求一组、套餐的装修原料费分别为多少万元？ (2)若该公司计划用不超过万元的预算，采购组套餐的装修材料（仅购买、两种套餐装修原料，且每种至少购买组），问该公司有几种采购方案？请你设计出来． (3)已知该装修公司端午销售组套餐可获利万元，销售组套餐可获利万元，在（2）中的购买方案中，假如这些套餐全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)一组套餐的装修原料费为万元，一组套餐的装修原料费为万元 (2)该公司共有四种采购方案，具体方案见解析 (3)采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）设一组套餐的装修原料费为万元，则一组套餐的装修原料费为万元，根据题意，可列方程，解方程即可； （2）设采购套套餐的装修原料，则采购套套餐的装修原料，根据题意列出不等式组，从而得到，结合为整数，因此，，，，该公司共有四种采购方案，写出每种方案、套餐的装修原料的数量即可； （3）分别计算（2）中每种方案的利润，比较后得出最优解． 【详解】（1）解：设一组套餐的装修原料费为万元，则一组套餐的装修原料费为万元， 根据题意，可列方程， 解得， ， 答：一组套餐的装修原料费为万元，一组套餐的装修原料费为万元． （2）解：设采购套套餐的装修原料，则采购套套餐的装修原料， 根据题意，得， 解得， ∵为整数 ∴，，，，该公司共有四种采购方案， 方案一：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料； 方案二：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料； 方案三：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料； 方案四：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料． （3）解：方案一获得的利润为：（万元）； 方案二获得的利润为：（万元）； 方案三获得的利润为：（万元）； 方案四获得的利润为：（万元）； ∵， ∴方案四获得的利润最大，最大利润为万元． 答：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料获得的利润最大，最大利润为万元． 考点讲练十九 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）按照如下程序，输入的值并计算，规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的正整数的最大值为，最小值为， ，， ． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元 (2)共有3种建造方案，方案1：新建个地上充电桩，个地下充电桩；方案2：新建个地上充电桩，个地下充电桩；方案3：新建个地上充电桩，个地下充电桩． 【分析】（1）设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，由题意列出一元一次不等式组，解得，得到共有3种建造方案，分别写出各方案即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元， 根据题意得：，解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为，，， 共有3种建造方案， 方案1：新建个地上充电桩，个地下充电桩； 方案2：新建个地上充电桩，个地下充电桩； 方案3：新建个地上充电桩，个地下充电桩． 考点讲练二十 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·上海·期中）将“的3倍与4的差是非负数”用不等式表示为______． 【答案】 【详解】解：将“的3倍与4的差是非负数”用不等式表示为． 【变式训练】（25-26七年级下·山西临汾·期中）用不等式表示“的一半与的差不小于”______． 【答案】 【详解】解：根据题意，的一半为，的一半与的差为，“不小于”表示大于等于， 因此可得不等式． 考点讲练二十一 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对_________道题． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，先设出未知数，根据题意找出不等关系，列不等式求解． 【详解】解：设该同学答对道题， 则答错或不答共道， 由题意得：， 解不等式得：， 为正整数， 的最小值为， 即他至少要答对道题． 【变式训练】（25-26七年级下·河南南阳·期中）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全． 【答案】64 【分析】因为要保证操作人员安全，所以需先计算人跑到400米安全区域所需的时间，可利用公式（其中为时间，为路程，为速度）．因为导火线燃烧时间要大于人跑到安全区域的时间，所以可根据导火线燃烧速度，利用公式计算导火线的最小长度． 【详解】解：设导火线长度为，保证安全的核心条件：导火线燃烧时间 > 人跑到安全区域的时间． 导火线燃烧速度为，燃烧时间为； 人需要跑，跑步速度为，跑到安全区的时间为． ∴ ， 解得， 因此导火线必须超过． 考点讲练二十二 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（25-26七年级下·上海闵行·月考）如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 【答案】 【分析】设一个锐角度数为，则它的余角为，根据题意得到不等式，再解不等式即可． 【详解】解：设一个锐角度数为，则它的余角为， 由题意得，， 解得， ∴这个锐角最大为度． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【真题演练1】（2024·山东烟台·中考真题）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有6个整数解，分别为， ∴， 故选：D． 【真题演练2】（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，不等式的性质，熟练根据题意正确列出代数式是解题的关键．先利用，，确定，再分别讨论，，，时，结合和，，，均为绝对值小于的整数，且，一一枚举出来所有情况，再进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， 即或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或或或或或， ∴或或或或或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， ∴或， 共种，其中单项式有个； 综上， 满足条件的整式中，有个单项式， 故①错误； 当时，满足条件的整式有且只有个， 故②错误； 满足条件的整式一共有个， 故③错误； 故正确的个数是个， 故选：A． 【真题演练3】（2024·上海·中考真题）若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解共有三个，即可得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 由题意可知，不等式组有解集， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组的整数解共有三个， ∴这三个整数解是3，4，5， ∴， 故答案为：． 【真题演练4】（2024·江苏南京·中考真题）关于x的不等式组有五个整数解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握相关知识是解决问题的关键．求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出关于的不等式组，求出即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为， 不等式组有5个整数解为9、10、11、12、13， ， 即． 故答案为：． 【真题演练5】（2024·云南昆明·中考真题）2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同．其中魔方每个标价10元，数独棋每个标价40元． 两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋60个，魔方若干（多于30）个，单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是50个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是___________元． (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 【答案】(1)2600 (2)当订购魔方的数量是60个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同； (3)当购买魔方数量大于30个且小于60个时，在乙商店购买魔方和数独棋划算；当购买魔方数量为60个时，在甲、乙商店一样；当购买魔方数量大于60个时，在甲商店购买魔方和数独棋划算． 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程及不等式的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式． （1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可； （2）设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：元， ∴购买魔方和数独棋的总费用是2600元； （2）解：设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， ∴当订购魔方的数量是60个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同； （3）解：设订购魔方的数量是x个， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当购买魔方数量大于30个且小于60个时，在乙商店购买魔方和数独棋划算；当购买魔方数量为60个时，在甲、乙商店一样；当购买魔方数量大于60个时，在甲商店购买魔方和数独棋划算． 【基础夯实 能力提升】 1．（2026·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，对变形，逐一推导各选项的结论，即可判断正误． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； 将代入得：， 整理得，即，故选项A正确，不符合题意； ， 即，故选项D正确，不符合题意； ∵，且， ∴， 移项得， ∴，故选项B错误，符合题意． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 【答案】C 【分析】因为要判断每个选项的正误，所以需分别对每个选项运用不等式的基本性质或举反例验证．对于选项A，若要判断且时，是否成立，可通过举反例，比如选取具体数值代入验证关系是否成立．对于选项B，若，需考虑负数的情况，通过举反例判断是否恒成立．对于选项C，因为，根据不等式两边乘正数不等号方向不变的性质，推导和是否成立．对于选项D，因为、、、都是负数且，，根据不等式两边乘负数不等号方向改变的性质，推导和的大小关系，或举反例验证． 【详解】选项A：可举反例：，满足, ， 但， ∴A错误． 选项B：可举反例：，满足， 但，， ∴B错误． 选项C：已知，所有数均为正数： ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∴， ∴C正确． 选项D：负数中，数值越大绝对值越小， 可举反例：， 满足条件， 但， ∴D错误 ． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知（为任意有理数），则的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题可利用作差法比较代数式大小，结合整式加减运算和完全平方公式判断差的符号，即可得到M和N的大小关系． 【详解】解： ∵ ∴，即 ∴ 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的范围是_____________ ． 【答案】 【分析】用整体法表示出，解不等式即可． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， 解得． 5．（25-26七年级下·上海闵行·期中）不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可得到解集； 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 6．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，若整式的值落在数轴上的区间①内，则整数______． 【答案】2 【分析】由整式的值落在数轴上的区间①内得，解不等式组得x的取值范围，进而可得整数x的值． 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间①内，则 ， ∴， ∴， 解得， ∴整数． 7．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ∵不等式无解, ∴ ∴． 8．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可，再根据在数轴上表示方法表示出解集即可． 【详解】解： 解集在数轴上表示如下： 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【详解】解：由不等式①得： 由不等式②得： ∴不等式组的解集为，将其解集表示在数轴上，如图， 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 x系数化成1，得．……第四步 (1)去分母的依据是； (2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现处错误，其中最后一处错误在第步，错误的原因是； (3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)不等式的性质2 (2)三；四；不等式的两边同除以时不等号方向未改变 (3)过程及数轴表示见解析 【分析】（1）根据不等式的性质2求解； （2）根据不等式的性质求解； （3）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，然后在数轴表示即可． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质2； （2）解：解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现三处错误，其中最后一处错误在第四步，错误的原因是不等式的两边同除以时不等号方向未改变； （3）解： 不等式两边同乘以6，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 x系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如下： 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·周测）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 3．（25-26七年级下·重庆·月考）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 4．（24-25七年级下·河南安阳·期末）定义一种运算，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得． 【详解】解：当时，原不等式化为， 联立不等式组， 解得； 当时，原不等式化为， 联立不等式组， 解得， ∴不等式的解集是或． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知，，为有理数，且多项式能够被整除． （1）_______； （2）若，，为整数，且，则_______． 【答案】 【分析】（1）设商式为，根据系数关系用含的代数式表示出，，，再代入即可； （2）根据题意推出，得，确定符合题意的整数解即可． 【详解】解：（1）∵多项式能够被整除， 设商式为，其中为常数， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，，为整数，且， ∴， 解得：， ∴，，，，， 又∵，且为整数， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有___________；（填序号） (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则该“子方程”的解为___________； (3)若方程都是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是___________． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题结合新定义考查一元一次方程与一元一次不等式组的求解，根据新定义，若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则该方程为不等式组的“子方程”．解题思路为：先求解方程的解，再求解不等式组的解集，再根据新定义判断或计算参数范围． （1）分别求解三个方程与不等式组，判断方程的解是否在不等式组解集内即可； （2）求解不等式组得到解集，找出解集中的整数即可； （3）先求解两个方程，再求解不等式组，根据两个方程的解都在不等式组解集内列不等式求解即可． 【详解】（1）解：对于①，移项系数化为1得； 对于②，解得； 对于③，整理得，解得； 求解不等式组： 解不等式，移项得，系数化为1得； 解不等式，移项得，系数化为1得； 因此不等式组的解集为； 和都在解集内，不在， 因此不等式组的“子方程”是①②； （2）解：解不等式组： 解不等式得； 解不等式得，即； 因此不等式组的解集为， 该区间内的整数只有， 因此该“子方程”的解为； （3）解：解方程，整理得，解得； 解方程，两边同乘得，展开整理得，解得； 解不等式组， 解不等式，移项得，系数化为1得； 解不等式，移项得； 因此不等式组的解集为； 因为两个方程都是“子方程”， 所以和都在解集内，可得： ， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 则． 7．（25-26七年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 8．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，再代入不等式，求出q的取值范围； （3）解方程组，用含有a的代数式表示x，y，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：，解得：， ①， 解得：， 不是此不等式的解； ②，解得：， 是此不等式的解； ③， 解得：， 是此不等式组的解； 方程的解是此方程与②③的“理想解”； （2）是方程组与不等式的“理想解”， ，， 解方程组，得：， ， ， 即q的取值范围为； （3）解方程组，得：， 关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数）， ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， 不等式组的解集为， 即a的取值范围． 9．（24-25七年级下·四川资阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式： ， ， 中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出三个不等式的解集，判断与有没有公共整数解即可； （2）求出两个不等式的解集，根据两个不等式不是“云不等式”列出关于m的不等式，即可求解； （3）求出当时，不等式的解集，进而列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：解不等式 ，得，与有公共整数解2，是的“云不等式”； 不等式 与有公共整数解2，是的“云不等式”； 解不等式 ，得，与没有公共整数解，不是的“云不等式”； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式不是的“云不等式”， ∴与没有公共整数解， 分两种情况： 当与没有公共解时， 可得， 解得； 当与有公共解，但公共解里没有整数时， 可得 解得， 综上可得，的取值范围为； （3）解：当时，即时，不等式即的解集为， 不等式的解集为， ∵关于的不等式与不等式互为“云不等式”， ∴，即，此时两个不等式至少存在整数解1， ∴． 10．（24-25七年级下·四川眉山·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)赠甲书包1个，乙书包3个 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据数量＝总价÷单价结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）先假设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意：总利润=总销售额-总成本，其中赠送的书包不产生销售收入，但其成本已包含在总成本中，则可列出方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得． 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得． 解得． ∵， ∴． ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110． ∴该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：分三种情况： ①购进甲种书包88个，乙种书包112个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立； ②购进甲种书包89个，乙种书包111个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得，， 故甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． ③购进甲种书包90个，乙种书包110个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立． 综上，甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $