专题11.5 用一元一次不等式解决问题（知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共34题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“用一元一次不等式解决问题”核心知识点，系统梳理行程、工程、利润等8类实际问题及几何问题的基本公式，明确解题步骤（审设列解答），搭建从不等式解法到实际应用的学习支架。 资料通过考点讲练（含典例与变式）、中考真题演练及分层训练（基础夯实与创新拓展）设计，以垃圾分类站规划等实例培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），课中辅助教师教学，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.5 用一元一次不等式解决问题『第十一章 一元一次不等式』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共34题） 原卷版 1 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 列一元一次不等式 2 考点讲练二 用一元一次不等式解决实际问题 2 考点讲练三 用一元一次不等式解决几何问题 4 中考真题 实战演练 4 难度分层 闯关训练 6 【基础夯实 能力提升】 6 【创新拓展 拔尖冲刺】 8 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 考点讲练一 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·北京·期中）“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为_____． 【变式训练1】（25-26七年级下·北京昌平·期中）“的3倍与6的和是非负数”用不等式表示为________． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 考点讲练二 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级下·上海虹口·期中）某商家以每个8元的进价购入50个杯子，并以每个12元的价格销售．一段时间后，售出杯子的销售款超过这批杯子的进货款，这时至少已售出______个杯子． 【变式训练1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某商店购进一批红茶和绿茶，红茶的进价为元/盒，绿茶的进价为元/盒．一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低元，小明从商店购买盒红茶与盒绿茶共花费元． (1)求红茶和绿茶每盒的售价分别是多少元； (2)春节期间红茶按售价的八折销售，小颖欲购买红茶、绿茶共盒，若要商店的获利不低于元，小颖最多可购买多少盒红茶？ 考点讲练三 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（25-26七年级下·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【变式训练1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【变式训练2】（24-25七年级下·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【真题演练1】（2024·山东烟台·中考真题）现用甲、乙两种运输汽车共辆，将吨抗旱物资一次性运往某地区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，则甲种运输车至少应安排（    ） A．7辆 B．6辆 C．5辆 D．4辆 【真题演练2】（2024·江西南昌·中考真题）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 【真题演练3】（2024·湖北恩施·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物．现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，则大货车至少租___________辆． 【真题演练4】（2024·安徽黄山·中考真题）甲、乙两地相距，李明以每小时的速度步行可按时到达，现在李明走了3小时后，因为有事停留了半个小时，为了不迟到，李明后来的速度至少是______千米每小时 【真题演练5】（2024·四川成都·中考真题）某商场用2700元购进A、B两种新型节能日光灯共60盏，这两种日光灯的进价、标价如下表：             类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 35 65 标价（元/盏） 50 100 (1)求这两种日光灯各购进多少盏？ (2)若A型日光灯按标价的9折出售，要使这批日光灯全部售出后商场获得不少于700元的利润，则B型日光灯应按标价的至少几折出售？ 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在的厨房里，橱柜里两个层板之间的间距是36厘米．已知8个相同的杯子摞在一起有42厘米高，2个同样的杯子摞在一起有18厘米高．问在一个层板上最多可以摞着放几个这样的杯子？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 3．（24-25七年级下·河南新乡·期中）小华将某文具店的促销活动内容告诉小军后，小军假设某一文具的定价为元，并列出不等式，则下列可能是小华告诉小军的内容是（    ） A．买两件等值的商品可减10元，再打2折，最后不到40元 B．买两件等值的商品可打2折，再减10元，最后不到40元 C．买两件等值的商品可减10元，再打8折，最后不到40元 D．买两件等值的商品可打8折，再减10元，最后不到40元 4．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）某市出租车的收费标准是：起步价14元（即行驶距离不超过3千米都付14元），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．小乐从家乘出租车到商场，付了车费24元．设小乐的家到商场的距离为千米，那么的范围是_________． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）某品牌手机进价为每部800元，标价为每部1200元，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最低可打_______折． 6．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）已知三个连续正奇数之和不小于1000，则符合条件的最小正奇数是___________． 7．（25-26七年级下·上海松江·期中）把一些奖品分给若干名学生，如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一个学生分到的奖品就少于3个，问学生至少有多少名？设有x名学生，依题意可列不等式____． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某文体书店销售，两种跳绳，购买2条种跳绳和3条种跳绳共计35元，购买6条种跳绳和4条种跳绳共计80元． (1)求种跳绳和种跳绳每条的价钱； (2)现该文体书店对，两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条种跳绳，赠送一条种跳绳 促销方案二 买种或种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买，两种跳绳，且种跳绳比种跳绳多买20条．请问购买种跳绳的多少条时，该校选择促销方案一合适． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业） 背景 炎热的夏季需要一杯冰凉的饮品来去热解暑，某饮品店对、两种饮品进行销售，已知、两种饮品的成本都是3元． 素材1 该饮品店在无促销活动时，销售15杯款饮品、10杯款饮品，销售额为230元；若销售25杯款饮品、25杯款饮品，销售额为450元． 素材2 该饮品店进行两种促销活动： 方案一：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，商品一律按价格的8折出售； 方案二：购买该饮品店内任何饮品，商品一律按价格的9折出售． 问题解决 (1)任务1：该饮品店在无促销活动时，求款饮品和款饮品的销售单价各是多少元？ (2)任务2：小明计划购买、两款饮品共40杯，请你帮小明算一算，购买款饮品的数量在什么范围内时，按方案一购买更合算？ (3)任务3活动前平均每天销售款饮品100杯，款饮品200杯，现按方案二销售，款饮品每天的销量不变，要使利润不小于活动前，则款饮品每天的销量应满足什么要求． 10．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·月考）某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元． (1)每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？ (2)A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？ (3)厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2025·山东临沂·一模）在知识问答竞赛中，答对一题加分，答错一题减分，每道题必须作答．已知王明共答题道，得分分；李红共答题道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏镇江·二模）喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵； ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（    ）首． A．21 B．22 C．23 D．24 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）五一劳动节假期来临之际，各大超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：已知购买礼盒所需费用（单位：元）与数量（单位：盒）之间成函数关系，李明通过计算发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了_____盒． 甲 乙 销售 方案 每盒标价420元 每盒标价480元，若购买数量超过3盒，则超出部分打八折 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）某果蔬加工公司购买龙眼21t，公司把购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1t龙眼可加工成桂圆肉0.2t或龙眼干0.5t，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/t和3万元/t．若全部销售完的销售额不少于39万元，则至少需要________t龙眼加工成桂圆肉． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）某班级共有40名学生，现在需要投票评选出10名“优秀少先队员”．班内所有学生都具有评选资格．每位学生需给n名不同学生投票（n为正整数）．所有人的投票都被有效计入，最终要保证得票最多10名学生都获得不少于班级一半学生的选票，则n的最小值为________． 8．（24-25七年级下·河南南阳·月考）某市启动“亮化”工程．根据工程规划，需要使用照明灯和投射灯共50万个，需花费1005万元，已知照明灯的售价为每个9元，投射灯的售价为每个120元，请解决下列问题： (1)该城市“亮化”工程使用照明灯和投射灯各多少个？ (2)某公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯，且安装的投射灯数量少于照明灯数量的，照明灯数量不超过57个，求该公司大楼安装照明灯和投射灯的方案． 9．（25-26七年级下·北京·期中）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． (1)若原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为__________个； (2)若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为__________． 10．（24-25七年级下·广西南宁·期末）西乡塘区金陵镇三联村打造千亩香葱产业示范区，2017年被认定为广西现代特色农业乡级示范园．如今，三联村绝大部分的香葱成功销往北京、郑州等地． (1)2022年初，又到香葱丰收季，三联村委招聘工人采摘香葱，已知3个熟练工和2个新手每天可以采摘1220千克，4个熟练工和1个新手每天可以采摘1360千克，求1个熟练工和1个新手每天分别采摘多少千克香葱？ (2)今年3月，北京荔胜蔬菜批发公司张经理到三联村收购了30吨香葱，已知香葱收购价为4元/千克，这批香葱运往北京的损耗率为，运费为15000元．设香葱在北京的售价为m元/千克． ①当时，销售这批香葱可获利润多少元？ ②为保障公司利润，在北京销售这批香葱的利润率不低于，求m的最小值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.5 用一元一次不等式解决问题『第十一章 一元一次不等式』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共34题） 解析版 1 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 列一元一次不等式 2 考点讲练二 用一元一次不等式解决实际问题 3 考点讲练三 用一元一次不等式解决几何问题 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 闯关训练 10 【基础夯实 能力提升】 10 【创新拓展 拔尖冲刺】 17 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 考点讲练一 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·北京·期中）“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为_____． 【答案】 【详解】解：“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为． 【变式训练1】（25-26七年级下·北京昌平·期中）“的3倍与6的和是非负数”用不等式表示为________． 【答案】 【详解】解：的倍为，与的和为，非负数是指大于或等于的数， 故用不等式表示为. 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将文字语言准确转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，对应不等号为，列出不等式即可. 【详解】解：∵的为，它与的差为， 这个数的倍加上的结果为， 由题意， 可列不等式为. 考点讲练二 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级下·上海虹口·期中）某商家以每个8元的进价购入50个杯子，并以每个12元的价格销售．一段时间后，售出杯子的销售款超过这批杯子的进货款，这时至少已售出______个杯子． 【答案】34 【分析】根据销售款超过进货款的不等关系列出一元一次不等式，结合杯子数量为正整数，即可求得最小售出数量． 【详解】解：设这时已售出个杯子，这批杯子的总进货款为元， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 则这时至少已售出个杯子． 【变式训练1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【答案】(1)1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； (2)，且n为整数，共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； (3) 【分析】（1）设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨，，依题意得，计算求解即可； （2）若建设A类垃圾站n座，则建设B类垃圾站座，根据每日处理垃圾能力不低于3.6吨建立不等式求出n的取值范围，再根据n为整数求解即可； （3）由题意得，解得，由仅有两种方案可供选择，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨， 依题意得，， 解得， 答：1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； （2）解：由题意得， 解得， ∴，且n为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； （3）解：由题意得，， 解得， ∵仅有两种方案可供选择，且，且n为整数， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某商店购进一批红茶和绿茶，红茶的进价为元/盒，绿茶的进价为元/盒．一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低元，小明从商店购买盒红茶与盒绿茶共花费元． (1)求红茶和绿茶每盒的售价分别是多少元； (2)春节期间红茶按售价的八折销售，小颖欲购买红茶、绿茶共盒，若要商店的获利不低于元，小颖最多可购买多少盒红茶？ 【答案】(1)红茶每盒的售价为元，绿茶每盒的售价为元． (2)小颖最多可购买盒红茶． 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用： （1）题目中的等量关系为：一盒绿茶的售价一盒红茶的售价，购买盒红茶的花费购买盒绿茶的花费； （2）题目中的不等关系为：商店售卖红茶的获利商店售卖绿茶的获利． 【详解】（1）解：设红茶每盒的售价为元，绿茶每盒的售价为元． 根据题意，得 解方程组，得 所以，红茶每盒的售价为元，绿茶每盒的售价为元． （2）解：设小颖购买盒红茶． 根据题意，得 解不等式，得 所以，小颖最多可购买盒红茶． 考点讲练三 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（25-26七年级下·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 【变式训练1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 【变式训练2】（24-25七年级下·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 【真题演练1】（2024·山东烟台·中考真题）现用甲、乙两种运输汽车共辆，将吨抗旱物资一次性运往某地区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，则甲种运输车至少应安排（    ） A．7辆 B．6辆 C．5辆 D．4辆 【答案】B 【分析】设甲种运输车安排x辆，则乙种运输车安排辆，根据题意找出不等关系列出不等式． 【详解】解：设甲种运输车安排x辆，则乙种运输车安排辆， 根据题意得，， 解得：， 甲种运输车至少安排6辆车． 【真题演练2】（2024·江西南昌·中考真题）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解表格，会把文字语言转换为数学语言是解决问题的关键． 首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式． 【详解】解：若所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得． 故选：D． 【真题演练3】（2024·湖北恩施·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物．现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，则大货车至少租___________辆． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，设每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货物列出方程组，解方程组可求出每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货；设租用大货车m辆，则租用小货车辆，根据一次运输货物不低于列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货， 由题意得， 解得， ∴每辆大货车可以运货，每辆小货车可以运货； 设租用大货车m辆，则租用小货车辆， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴m的最小值为4， ∴大货车至少租4辆， 故答案为：4． 【真题演练4】（2024·安徽黄山·中考真题）甲、乙两地相距，李明以每小时的速度步行可按时到达，现在李明走了3小时后，因为有事停留了半个小时，为了不迟到，李明后来的速度至少是______千米每小时 【答案】8 【分析】本题主要考查行程问题中的时间统筹与速度调整，涉及路程、速度、时间三者关系的应用，以及不等式在实际问题中的运用．解答此题先通过总路程除以原速度得到原计划所需时间，再根据已走路程和停留时间，确定剩余路程和剩余可用时间，最后再将剩余路程除以剩余时间得到最低速度，确保总时间不超过原计划． 【详解】解：设李明后来的速度为x千米／时， 由题意得：， ， ． ∴为了不迟到，李明后来的速度至少是8千米／时． 故答案为：8． 【真题演练5】（2024·四川成都·中考真题）某商场用2700元购进A、B两种新型节能日光灯共60盏，这两种日光灯的进价、标价如下表：             类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 35 65 标价（元/盏） 50 100 (1)求这两种日光灯各购进多少盏？ (2)若A型日光灯按标价的9折出售，要使这批日光灯全部售出后商场获得不少于700元的利润，则B型日光灯应按标价的至少几折出售？ 【答案】(1)购A型日光灯40盏，购B型日光灯20盏； (2)B型日光灯应按标价的至少8折出售． 【分析】（1）设购A型日光灯x盏，购B型日光灯y盏，依题意列出方程组，求解即可； （2）设B型日光灯应按标价的m折出售，由题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设购A型日光灯x盏，购B型日光灯y盏，由题意得： ， 解得：， 答：购A型日光灯40盏，购B型日光灯20盏； （2）解：设B型日光灯应按标价的m折出售，由题意得： ， 解得：， 答：B型日光灯应按标价的至少8折出售． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在的厨房里，橱柜里两个层板之间的间距是36厘米．已知8个相同的杯子摞在一起有42厘米高，2个同样的杯子摞在一起有18厘米高．问在一个层板上最多可以摞着放几个这样的杯子？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】已知两种摞放方式的高度，求出单杯高度和每增加一个杯子增加的高度，再根据总高度不超过层板间距列不等式，求解得到最大可摞放的杯子数量 【详解】解：设一个杯子的高度为厘米，每多摞一个杯子增加的高度为厘米， 根据题意列方程组 ， 解得， 设层板上可以摞放个杯子， 根据题意得 ， 解不等式得 ， 为正整数， 的最大值为. 即最多可以摞放6个杯子 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 【答案】B 【分析】设需要卖出套，根据题意列出不等式，进行求解即可. 【详解】解：设需要卖出套， 由题意，得， 解得， ∵是正整数， ∴最小为， 由题意，可以出售的明信片的套数至少为（套）； ， 故至少需要卖出728套才能达标. 3．（24-25七年级下·河南新乡·期中）小华将某文具店的促销活动内容告诉小军后，小军假设某一文具的定价为元，并列出不等式，则下列可能是小华告诉小军的内容是（    ） A．买两件等值的商品可减10元，再打2折，最后不到40元 B．买两件等值的商品可打2折，再减10元，最后不到40元 C．买两件等值的商品可减10元，再打8折，最后不到40元 D．买两件等值的商品可打8折，再减10元，最后不到40元 【答案】C 【分析】根据不等式的运算顺序，对应促销活动的步骤，明确不等式各部分的实际意义即可解答． 【详解】解：∵ 不等式为，表示两件定价为元的文具的总价， ∴表示买两件等值文具先减10元， ∵ 对减完10元的整体乘以，表示减价后再打8折， ∴表示最终花费不到40元，符合选项C的描述． 4．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）某市出租车的收费标准是：起步价14元（即行驶距离不超过3千米都付14元），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．小乐从家乘出租车到商场，付了车费24元．设小乐的家到商场的距离为千米，那么的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式求解是解题的关键．已知总车费24元大于起步价14元，说明行驶距离千米；算出超出起步价的费用为元，以及算出超出3千米的距离最多为千米，再进行分析计算，即可作答． 【详解】解：依题意，超出起步价的费用为：元， 超过3千米的距离最多为千米， ∵“不足1千米按1千米计”， ∴若超出3千米的距离不超过4千米，总车费最多为元，小于24元，不符合题意， 因此超出3千米的实际距离满足：超出的距离； 总距离超出的距离； 因此可得 即． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）某品牌手机进价为每部800元，标价为每部1200元，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最低可打_______折． 【答案】七 【分析】设该手机打折，根据利润率不低于的要求列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】设该手机可打折， 由题意得 ， 解得 ， 即最低可打折． 6．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）已知三个连续正奇数之和不小于1000，则符合条件的最小正奇数是___________． 【答案】333 【分析】设三个连续的正奇数为，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设三个连续的正奇数为，由题意， ， 解得， ∴的最小整数解为， ∴符合条件的最小正奇数是． 7．（25-26七年级下·上海松江·期中）把一些奖品分给若干名学生，如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一个学生分到的奖品就少于3个，问学生至少有多少名？设有x名学生，依题意可列不等式____． 【答案】 【分析】先根据第一个分配条件表示出奖品的总数量，再根据第二个分配条件确定最后一名学生分得奖品数的范围，据此列出不等式． 【详解】解：∵有名学生， ∴根据“每人分3个，多出7个奖品”，可得奖品总数为， 若每人分5个，有一个学生分到的奖品少于3个，则名学生每人分得5个奖品，最后一名学生分得的奖品数为， ∵最后一名同学的奖品少于3个， ∴可得不等式：． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某文体书店销售，两种跳绳，购买2条种跳绳和3条种跳绳共计35元，购买6条种跳绳和4条种跳绳共计80元． (1)求种跳绳和种跳绳每条的价钱； (2)现该文体书店对，两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条种跳绳，赠送一条种跳绳 促销方案二 买种或种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买，两种跳绳，且种跳绳比种跳绳多买20条．请问购买种跳绳的多少条时，该校选择促销方案一合适． 【答案】(1)种跳绳每条10元，种跳绳每条5元 (2)购买种跳绳多于10条时，该校选择促销方案一合适. 【分析】（1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； （2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 【详解】（1）解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元， 根据题意得，，解得， 答：种跳绳每条10元，种跳绳每条5元． （2）解：设购买种跳绳条，则购买种跳绳条， 促销方案一的花费： ∵购买条种跳绳，获赠条种跳绳，还需购买条种跳绳， ∴（元）， 促销方案二的花费：（元）， 当，解得， ∴当时，即购买种跳绳多于10条时，该校选择促销方案一合适． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业） 背景 炎热的夏季需要一杯冰凉的饮品来去热解暑，某饮品店对、两种饮品进行销售，已知、两种饮品的成本都是3元． 素材1 该饮品店在无促销活动时，销售15杯款饮品、10杯款饮品，销售额为230元；若销售25杯款饮品、25杯款饮品，销售额为450元． 素材2 该饮品店进行两种促销活动： 方案一：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，商品一律按价格的8折出售； 方案二：购买该饮品店内任何饮品，商品一律按价格的9折出售． 问题解决 (1)任务1：该饮品店在无促销活动时，求款饮品和款饮品的销售单价各是多少元？ (2)任务2：小明计划购买、两款饮品共40杯，请你帮小明算一算，购买款饮品的数量在什么范围内时，按方案一购买更合算？ (3)任务3活动前平均每天销售款饮品100杯，款饮品200杯，现按方案二销售，款饮品每天的销量不变，要使利润不小于活动前，则款饮品每天的销量应满足什么要求． 【答案】(1)款饮品的销售单价是10元，款饮品的销售单价是8元 (2)当购买款饮品的数量超过15杯且不多于40杯时，按方案一购买方式更合算 (3)款饮品每天的销量最少应为262杯 【分析】（1）设该饮品店在无促销活动时，款饮品的销售单价是元，款饮品的销售单价是元，列方程组求解； （2）设购买款饮品杯，则购买款饮品杯，分别表示出方案一和方案二需要的价格，列不等式求解即可； （3）设现在款饮品每天的销量为杯，分别表示出活动前后的利润，列不等式解题． 【详解】（1）解：设该饮品店在无促销活动时，款饮品的销售单价是元，款饮品的销售单价是元， 根据题意得， 解得； 答：该饮品店在无促销活动时，款饮品的销售单价是10元，款饮品的销售单价是8元； （2）解：设购买款饮品杯，则购买款饮品杯， 按方案一购买，共需要元； 按方案二购买，共需要元； 根据题意得：， 解得：， ∴； 答：当购买款饮品的数量超过15杯且不多于40杯时，按方案一购买方式更合算； （3）解：设现在款饮品每天的销量为杯， 活动前每天的利润：（元）， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴最小取； 答：款饮品每天的销量最少应为262杯． 10．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·月考）某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元． (1)每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？ (2)A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？ (3)厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案． 【答案】(1)A种手机壳进价30元，B种手机壳进价50元 (2)共3种进货方案．①A种手机壳40个，B种手机壳60个，②A种手机壳41个，B种手机壳59个，③A种手机壳42个，B种手机壳58个 (3)购进A种手机壳24个，B种手机壳5个 【分析】（1）设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个，根据题意列出不等式，求解即可； （3）设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个，根据题意列出二元一次方程，结合，，且都是整数，求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元， 根据题意得， 解得， 答：每个A种手机壳进价30元，每个B种手机壳进价50元； （2）解：设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个， 由题意得， 解得， ∵，且为整数， ∴或41或42， ∴共3种进货方案． ①A种手机壳40个，B种手机壳60个； ②A种手机壳41个，B种手机壳59个； ③A种手机壳42个，B种手机壳58个； （3）解：计算（2）中获利最大的方案： 方案1：元； 方案2：元； 方案3：元； 获得最大的方案是方案1， 节省的资金：元， 设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个， 根据题意得，化简得， 需要是5的倍数，且，，且都是整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上，购进A种手机壳24个，B种手机壳5个，两种手机壳数量之和最大． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2025·山东临沂·一模）在知识问答竞赛中，答对一题加分，答错一题减分，每道题必须作答．已知王明共答题道，得分分；李红共答题道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了首先根据王明答题的数量和得分情况求出王明答对与答错题目的差，根据李红共答题道，设李红答对了道题，答错了道题，可知为奇数且最大值为，从而可知两位同学答对与答错题目的差相加的数值一定是奇数且不超过，利用排除法得到正确选项． 【详解】解：设王明答对了道题，则答错了道题， 根据题意可得：， 解得：， 王明答对了道题，则答错了道题， 王明答对与答错题目的差， 设李红答对了道题，答错了道题， 则， 为奇数， 一定为奇数， 一定为奇数， A、C选项排除， 如果这道题李红全部答对了，则李红答对与答错的题目的差为， ， D选项排除， 两位同学答对与答错题目的差相加可能是． 故选：B． 2．（2024·江苏镇江·二模）喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵； ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（    ）首． A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【分析】根据题意列不等式，即可得到结论． 【详解】∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， 第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；即 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 a a a 第2组 b b b 第3组 c c c 第4组 d d d ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得， a+b≤14①，b+c≤14②，a+c+d=14③，b+d≤14④， ①+②+2×③+④≤70得，a+b+b+c+2（a+c+d）+b+d≤70， ∴3（a+b+c+d）≤70， ∴a+b+c+d≤， 7天后背诵首，取整数解即23 ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为：23． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D. 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 【答案】或或 【分析】根据题意可知：第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里，由摄像头所在的位置离入口的距离不超过公里，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，根据标志牌和摄像头重合，可得出关于的二元一次方程，化简后可得出，结合均为正整数，即可得出的值，再将的值代入中即可求出结论． 【详解】解：依题意可知，第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里， ， ， ∵标志牌和摄像头重合， ， ， 又均为正整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∴离入口或或千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）五一劳动节假期来临之际，各大超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：已知购买礼盒所需费用（单位：元）与数量（单位：盒）之间成函数关系，李明通过计算发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了_____盒． 甲 乙 销售 方案 每盒标价420元 每盒标价480元，若购买数量超过3盒，则超出部分打八折 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握根据题意列不等式求解是解题的关键． 根据甲、乙两超市的销售方案，列出购买费用关于数量的函数关系式，乙超市的费用为分段函数，由于乙超市更划算，需满足且乙超市费用小于甲超市费用，解不等式即可得到的取值范围，从而确定最小整数解． 【详解】解：设购买数量为盒，为正整数，甲超市的费用为， 乙超市的费用：当时，；当时，， 由题意，在乙超市购买更划算，因此且， 解不等式，得，即， 所以，至少为， 故答案为：9． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）某果蔬加工公司购买龙眼21t，公司把购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1t龙眼可加工成桂圆肉0.2t或龙眼干0.5t，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/t和3万元/t．若全部销售完的销售额不少于39万元，则至少需要________t龙眼加工成桂圆肉． 【答案】15 【分析】设用于加工桂圆肉的龙眼为 吨，则加工龙眼干的龙眼为 吨。根据加工效率和销售价格，列出销售额的不等式，解不等式即可． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出题目中的不等关系是解决问题的关键． 【详解】解：设把吨龙眼加工成桂圆肉，则加工成龙眼干的龙眼为吨． 桂圆肉的产量为吨，销售额为万元； 龙眼干的产量为吨，销售额为万元． 总销售额满足． 化简得，即， 则， 解得． 故答案为：15． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）某班级共有40名学生，现在需要投票评选出10名“优秀少先队员”．班内所有学生都具有评选资格．每位学生需给n名不同学生投票（n为正整数）．所有人的投票都被有效计入，最终要保证得票最多10名学生都获得不少于班级一半学生的选票，则n的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，若无法满足得票最多10名学生都获得不少于班级一半学生的选票，考虑无法满足条件（即得票数第10名的学生最多得19票）时，总票数最多的情形是：前9名学生得票均为40票，其余31名学生均为19票，此时总票数为票，然后根据要保证得票最多10名学生都获得不少于班级一半学生的选票，得全班总票数大于949，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 又n是正整数， ∴n的最小值为24， 故答案为：24． 8．（24-25七年级下·河南南阳·月考）某市启动“亮化”工程．根据工程规划，需要使用照明灯和投射灯共50万个，需花费1005万元，已知照明灯的售价为每个9元，投射灯的售价为每个120元，请解决下列问题： (1)该城市“亮化”工程使用照明灯和投射灯各多少个？ (2)某公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯，且安装的投射灯数量少于照明灯数量的，照明灯数量不超过57个，求该公司大楼安装照明灯和投射灯的方案． 【答案】(1)该城市“亮化”工程使用照明灯45万个，投射灯5万个 (2)这家公司大楼安装照明灯和投射灯只有一种方案：安装照明灯50个，投射灯12个 【分析】（1）设该城市“亮化”工程使用照明灯万个，投射灯万个，然后根据照明灯和投射灯共50万个，需花费1005万元，列出方程求解即可得到答案； （2）设该公司大楼安装照明灯个，投射灯个，根据公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯，且安装的投射灯数量少于照明灯数量的，照明灯数量不超过57，列式求解即可． 【详解】（1）解：设该城市“亮化”工程使用照明灯x万个，投射灯y万个． 依题意，得解得 答：该城市“亮化”工程使用照明灯45万个，投射灯5万个． （2）解：设该公司大楼安装照明灯a个，投射灯b个． 依题意，得， 由方程得，将其代入不等式，解得． ∵a为整数且， ∴a取49~57之间的9个整数． 又∵b也是整数， ∴只有一组解，即时，． 答：这家公司大楼安装照明灯和投射灯只有一种方案，为安装照明灯50个，投射灯12个． 9．（25-26七年级下·北京·期中）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． (1)若原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为__________个； (2)若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为__________． 【答案】(1)3 (2)2，1，2 【分析】（1）设制作A、B、C三种型号工艺品分别为x个，y个，z个，根据总原料恰好，总工艺品个数为5，列方程组消元求解即可； （2）设制作A、B、C三种型号工艺品分别为a个，b个，c个，根据甲种原料不超过，总个数为5，每种至少1个，列出约束条件，将乙种原料总重量表示为的代数式，根据代数式性质求解使乙种原料最大的方案即可． 【详解】（1）解：设制作A、B、C三种型号工艺品分别为x个，y个，z个， 由题意得， 由得， 将其代入得： 解得， ∴制作A型工艺品的个数为3； （2）解：设制作A、B、C三种型号工艺品分别为a个，b个，c个， 由题意得（，且为正整数）， 由得，， 再将其代入得： 解得， 设乙种原料总重量为W，则 ， 要使W最大，需使最大， ∵， ∴b最小为1， ∴ 解得， ∴a最大为2， ∴，此时W取得最大值， ∴A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为． 10．（24-25七年级下·广西南宁·期末）西乡塘区金陵镇三联村打造千亩香葱产业示范区，2017年被认定为广西现代特色农业乡级示范园．如今，三联村绝大部分的香葱成功销往北京、郑州等地． (1)2022年初，又到香葱丰收季，三联村委招聘工人采摘香葱，已知3个熟练工和2个新手每天可以采摘1220千克，4个熟练工和1个新手每天可以采摘1360千克，求1个熟练工和1个新手每天分别采摘多少千克香葱？ (2)今年3月，北京荔胜蔬菜批发公司张经理到三联村收购了30吨香葱，已知香葱收购价为4元/千克，这批香葱运往北京的损耗率为，运费为15000元．设香葱在北京的售价为m元/千克． ①当时，销售这批香葱可获利润多少元？ ②为保障公司利润，在北京销售这批香葱的利润率不低于，求m的最小值． 【答案】(1)1个熟练工每天采摘300千克香葱，1个新手每天采摘160千克香葱 (2)①当时，销售这批香葱可获利润9000元；②m的最小值为6 【分析】（1）设1个熟练工每天采摘x千克香葱，1个新手每天采摘y千克香葱，根据“已知3个熟练工和2个新手每天可以采摘1220千克，4个熟练工和1个新手每天可以采摘1360千克”，列出方程组求解即可． （2）①根据“利润 实际销售总额 收购成本 运费”求解即可； ②根据“这批香葱的利润率不低于”列出不等式求解即可（利润率 (总销售额总成本) 总成本，其中总成本收购价 数量运费）． 【详解】（1）解：设1个熟练工每天采摘x千克香葱，1个新手每天采摘y千克香葱， 根据题意得：， 解得：． 答：1个熟练工每天采摘300千克香葱，1个新手每天采摘160千克香葱； （2）解：①根据题意得：（元）． 答：当时，销售这批香葱可获利润9000元； ②根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为6． 答：m的最小值为6． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $