专题11.1～11.3 不等式、一元一次不等式的定义、解一元一次不等式（知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦不等式及一元一次不等式核心知识点，系统梳理从不等式概念（含五种不等号意义）、解与解集（区别及数轴表示方法）、基本性质（加减不变向、乘除正数不变向负数变向）到一元一次不等式概念与解法（五步解法及易错点）的完整脉络，构建递进式学习支架。 资料特色在于知识梳理融入方法与易错点拨，助学生抽象概念形成符号意识，考点讲练通过典例与变式训练提升推理能力，分层训练和中考真题联系实际强化应用意识。课中辅助教师高效授课，课后学生可依托资料回顾知识、强化练习，有效查漏补缺。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.1～11.3 不等式、一元一次不等式的定义、解一元一次不等式 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题） 解析版 【第十一章 一元一次不等式】 1 知识点一 不等式的概念 1 知识点二 不等式的解及解集 2 知识点三 不等式的基本性质 3 知识点四 一元一次不等式的概念 3 知识点五 一元一次不等式的解法 3 重点难点 考点讲练 4 考点讲练一 不等式的定义 4 考点讲练二 不等式的解集 5 考点讲练三 不等式的性质 6 考点讲练四 一元一次不等式的定义 7 考点讲练五 求一元一次不等式的解集 8 考点讲练六 求一元一次不等式的整数解 9 考点讲练七 在数轴上表示不等式的解集 10 考点讲练八 求一元一次不等式解的最值 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 闯关训练 15 【基础夯实 能力提升】 15 【创新拓展 拔尖冲刺】 19 知识点一 不等式的概念    一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【方法点拨】 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的解及解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 【方法点拨】 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中。 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-3≤7的解集为x≤10． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【方法点拨】 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 【易错点拨】在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点三 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 知识点四 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，x>20是一个一元一次不等式． 【方法点拨】 （1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1． （2一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点五 一元一次不等式的解法 1．解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2．一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集． 【易错点拨】 （1）解不等式时应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 3．不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 【方法点拨】在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 考点讲练一 不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·上海虹口·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式是用不等号(，，，，)连接，表示不等关系的式子判断即可． 【详解】解：A、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 【变式训练1】（25-26七年级下·吉林长春·月考）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 考点讲练二 不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果关于的方程是一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程中未知数次数为，一次项系数不为这两个条件，列等式和不等式求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解，得，即或， 由，得， 综上，． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，0，1都是不等式的解，写出不等式即可． 【详解】解：∵，0，1都是不等式的解， ∴该不等式可以是（答案不唯一）． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 考点讲练三 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知，下列不等式中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可 【详解】解：， 对选项A，不等式两边同时减6，不等号方向不变，可得 ，故A错误； 对选项B，不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得 ，故B错误； 对选项C，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得 ，故C正确； 对选项D，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得 ，故D错误 【变式训练1】（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴， ． 【变式训练2】（25-26七年级下·上海·期中）已知，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，当时，；当时，， 不一定成立，A不符合题意； B．，当时，， 不一定成立，B不符合题意； C．， 一定成立，C符合题意； D．，当时，， 不一定成立，D不符合题意． 考点讲练四 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·上海·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义及绝对值的性质即可确定出m的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 则 ∴． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 考点讲练五 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·北京昌平·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， ， ， ． 把解集在数轴上表示出来如下： ． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海·期中）已知关于的不等式的解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先对不等式右侧变形，再根据解集的不等号方向变化判断x系数的符号，即可求解m的取值范围． 【详解】解： 原不等式的解集为， 解得． 【变式训练2】（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果关于不等式的解集是，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵不等式的解集为，不等号方向发生改变， ∴， 解得． 考点讲练六 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·吉林长春·期中）写出不等式的一个整数解：___________． 【答案】4 （答案不唯一） 【详解】解： 移项得 所以不等式的整数解为所有大于的整数，任写一个即可，例如． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴满足的非负整数为，共个． 【变式训练2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的非负整数解． 【答案】，1，2，3，4 【分析】先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1得出不等式的解集，最后写出非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的非负整数解为：，1，2，3，4． 考点讲练七 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，见解析 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 在数轴上表示出它的解集，如图： 【变式训练1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）不等式的解集表示在数轴上正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 在数轴上表示为： 故选项符合题意． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上表示的解集对应的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在数轴上表示的解集对应的不等式是． 考点讲练八 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 【变式训练1】（25-26七年级下·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知．请确定的最大值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 【真题演练1】（2024·四川资阳·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误； B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误； C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误； D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确． 【真题演练2】（2024·福建福州·中考真题）已知与是方程的两个解，其中，，，为实数，且，若，则下列代数式的值不为0的是______．（写出所有正确结论的序号）①m；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查方程解和代数式的运算，以及完全平方公式和不等式的性质，根据题意得和，代入化简得，结合等式和不等式的性质逐个化简即可． 【详解】解：由题意得和，则和， 那么， ， ∵， ∴， ， ， 而，当时，则为0， 故答案为：①②④． 【真题演练3】（2024·陕西安康·中考真题）关于x、y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查的了根据二元一次方程组解的情况求参数，解一元一次不等式，掌握二元一次方程的解法是解题关键．利用加减消元法解得，，再根据x与y的和不小于5，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， x与y的和不小于5， ， 解得：， 故答案为：． 【真题演练4】（2024·河北邯郸·中考真题）关于的方程组的解中，与的差不大于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，先利用加减法解方程组可得，进而得到，再解不等式即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， ∴， ∵与的差不大于， ∴， 解得， 故选：． 【真题演练5】（2024·上海·中考真题）（1）解方程：； （2）求不等式的正整数解． 【答案】（1）；（2）正整数解为1，2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，求不等式的正整数解，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可． 【详解】解：（1）去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴此不等式的正整数解为：1，2． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，A错误； B、举反例：若，满足，此时，，B错误； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，，C错误； D、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，D正确． 2．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式； 【详解】解：式子含有两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求； 式子只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求； 式子中，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，∴C不符合要求； 选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求． 3．（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再结合不等式的解、解集的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：解不等式得， A、该不等式解集为，不是，A错误； B、把代入不等式，得，不满足不等式，因此不是该不等式的解，B错误； C、不等式解集为，小于的整数有无数个，因此不等式的整数解有无数个，C正确； D、所有正整数都大于，且，因此不等式没有正整数解，D错误． 4．（25-26七年级下·山西临汾·期中）已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 【答案】5 【分析】首先根据题意建立关于的二元一次方程组，求解可确定的值，然后根据可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵，，， 则有，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， 所以，关于的不等式的最小整数解为5． 5．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）设，，则______（选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先分别展开两个多项式，再计算的结果，再根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）有理数、、满足，请将它们从小到大排列______． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质对给定的连不等式变形，即可推导出三个有理数的大小关系． 【详解】解： ∴， ∵ ∴ ∴． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了不等式基本性质的应用，正确理解题意列不等式求解是关键．根据题意列出不等式，整理得，再根据不等式基本性质即可得出． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 不等式两边都减去，得， 不等式两边都除以5，得， 所以a与b的大小关系为． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列不等式是不是一元一次不等式． （1）．    （2）．    （3）． 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可， 【详解】解：（1）是一元一次不等式； （2）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （3）不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式； 故答案为：（1）是；（2）不是；（3）不是． 10．（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先利用加减消元法求出的值，再根据建立一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， ∴， 解得． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，小明有A型、B型、C型纸片各25张，若想用这些纸片拼成一个大正方形，每种类型的纸片至少用1张，则拼成面积不同的正方形的方案有（    ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 【答案】B 【分析】根据完全平方公式表达出大正方形的面积进行求解即可． 【详解】解：由题意得，A型纸片：边长为的正方形，面积； B型纸片：长、宽的长方形，面积； C型纸片：边长为的正方形，面积， ∵要拼成大正方形， ∴其面积必为（为正整数）， ∴A型纸片用张（，故，且，保证至少用1张）； B型纸片用张（，故，满足至少用1张）； C型纸片用张（，故，且，保证至少用1张）， ∴当时，（共5个，）； 当时，（共5个，）； 当时，（共4个，）； 当时，（共3个，）； 当时，（共2个，）， ∴总方案数为：种． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 3．（2024七年级下·浙江·竞赛）在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 【答案】D 【分析】设原三位数，其中，，为整数，令，根据，得到，再通过确定的可能取值，逐一验证得到结果． 【详解】解：设原三位数，其中，，为整数，令， ，这六个数的和中，在百位、十位、个位上各出现次， 这六个数的和为， 即，可得， ， ，即， 解得， 为整数， ， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； ． 4．（24-25七年级下·河南南阳·月考）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先根据第一个不等式的解集求出，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： ， ， 关于x的不等式的解集是， ，， 可变形为，即， 解得． 5．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）有四名候选人A，B，C，D参加学生会选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A，B得票之和超过C，D得票之和，候选人A，C得票之和与B，D得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是______． 【答案】，，， 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 不等式两边加上或减去同一个数或者式，不等式仍成立，根据不等式的性质比较每个人得票的数量即可． 【详解】解：设四名候选人A，B，C，D得票数分别为，，，， 由题意可知， ， 将，得， ， 化简，得， 将，得， ， 化简，得， 综上，． 故答案为：，，，． 7．（24-25七年级下·福建莆田·月考）若，且，，设，则整数t的值为________． 【答案】4或5 【分析】本题主要考查设参法，等式的性质和不等式的性质等知识点，将a，b，c利用同一个未知数表示出来是解题的关键． 首先由条件设，表示出a，b，c关于k的代数式，再根据和得到k的取值范围，代入化简，得到，从而确定t的取值范围，并找出整数解． 【详解】解：设，则，，， 由，得，即， 由，得，即， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 8．（2024七年级下·江西上饶·竞赛）甲、乙、丙、丁玩接龙游戏，请戊猜： （1）甲告诉乙一个正整数； （2）乙将此数“”再平方后告诉丙； （3）丙将听到的数“”后，再加上他自己想的一个正数，告诉丁； （4）丁将她听到的数“”后公之于众：147． 问：甲告诉乙的数和丙自己想的数分别是多少？ 【答案】甲告诉乙的数为1，丙自己想的数为6 【分析】本题考查了列方程，不等式的性质，根据确定x的值是解题的关键；设甲告诉乙的数为，丙自己想的数为，根据题意列方程，再根据可得，再根据为正整数即可确定x的值，进而确定y的值． 【详解】解：设甲告诉乙的数为，丙自己想的数为， 由题意得， 整理得， 因为， 所以， 即， 又因为为正整数， 所以， 把代入， 答：甲告诉乙的数为1，丙自己想的数为6． 9．（24-25七年级下·全国·期中）已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解带字母的一元一次方程及解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先解关于x的方程，用含字母m的代数式表示x，再根据方程的解是正数列出关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围． 【详解】解方程， 去括号得，， 移项得，， 系数化为1，得：， 依题意得：， ． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是不等式最小整数解，且满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)______，______，_______． (2)点从点开始运动后，到达点的过程中，经过秒钟，，求的值． (3)点从点出发的同时，数轴上的动点分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)1，，，8． 【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值，再求解不等式的整数解得出b的值； （2）由题意知，依次求出的长，再进行分类讨论即可：当从到A时，当从A到时，两种情况分类讨论． （3）用表示出，对应的数，根据的取值分类讨论确定，，的位置关系，根据中点数值的两倍是端点数字的和求解值即可． 本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴的动点问题，一元一次方程的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵且，满足， ∴， ∴， 解不等式得， ∴不等式最小整数解为， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，此过程中，当点P在上时． ∴． ∴． 又∵． ∴． 当从到时，如图所示： ∵， 可以列方程为：， 解得：； 当从到时，分两种情况讨论： ①当P在线段之间时，如图所示： 可以列方程为：, 解得：， ②当P在线段之间时，如图所示： ∵， ∵， ∴， ∴， 可列方程为：， 解得：． 综上所述，或或． （3）解：点对应的数字为：，点对应的数字为：， 时，点对应的数字为：， 时，点对应的数字为：， 时，点对应的数字为：， 当，重合时，或或， 解得：或（舍）或（舍）， 当，重合时，或或， 解得：（舍）或或（舍）， 当，重合时，， 解得：， 当，在，之间， ， 解得：，不符合题意； 当时，在，之间， ， 解得：，不符合题意； 当时，在，之间， ， 解得：； 当时，在，之间， ， 解得：； 当时，在，之间， ， 解得：； 当时，在，之间， ， 解得：； 综上所述，或或或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.1～11.3 不等式、一元一次不等式的定义、解一元一次不等式 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题） 原卷版 【第十一章 一元一次不等式】 1 知识点一 不等式的概念 1 知识点二 不等式的解及解集 2 知识点三 不等式的基本性质 3 知识点四 一元一次不等式的概念 3 知识点五 一元一次不等式的解法 3 重点难点 考点讲练 4 考点讲练一 不等式的定义 4 考点讲练二 不等式的解集 4 考点讲练三 不等式的性质 5 考点讲练四 一元一次不等式的定义 5 考点讲练五 求一元一次不等式的解集 5 考点讲练六 求一元一次不等式的整数解 5 考点讲练七 在数轴上表示不等式的解集 6 考点讲练八 求一元一次不等式解的最值 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 闯关训练 7 【基础夯实 能力提升】 7 【创新拓展 拔尖冲刺】 9 知识点一 不等式的概念    一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【方法点拨】 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的解及解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 【方法点拨】 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中。 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-3≤7的解集为x≤10． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【方法点拨】 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 【易错点拨】在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点三 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 知识点四 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，x>20是一个一元一次不等式． 【方法点拨】 （1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1． （2一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点五 一元一次不等式的解法 1．解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2．一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集． 【易错点拨】 （1）解不等式时应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 3．不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 【方法点拨】在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 考点讲练一 不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·上海虹口·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·吉林长春·月考）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练二 不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果关于的方程是一元一次方程，则______． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 考点讲练三 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知，下列不等式中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【变式训练2】（25-26七年级下·上海·期中）已知，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练四 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·上海·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 考点讲练五 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·北京昌平·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海·期中）已知关于的不等式的解为，则的取值范围是______． 【变式训练2】（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果关于不等式的解集是，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 考点讲练六 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·吉林长春·期中）写出不等式的一个整数解：___________． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的非负整数解． 考点讲练七 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【变式训练1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）不等式的解集表示在数轴上正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上表示的解集对应的不等式是（    ） A． B． C． D． 考点讲练八 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（25-26七年级下·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知．请确定的最大值． 【真题演练1】（2024·四川资阳·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【真题演练2】（2024·福建福州·中考真题）已知与是方程的两个解，其中，，，为实数，且，若，则下列代数式的值不为0的是______．（写出所有正确结论的序号）①m；②；③；④ 【真题演练3】（2024·陕西安康·中考真题）关于x、y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为_____． 【真题演练4】（2024·河北邯郸·中考真题）关于的方程组的解中，与的差不大于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【真题演练5】（2024·上海·中考真题）（1）解方程：； （2）求不等式的正整数解． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 4．（25-26七年级下·山西临汾·期中）已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 5．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则______． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）设，，则______（选填“”或“”或“”）． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）有理数、、满足，请将它们从小到大排列______． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列不等式是不是一元一次不等式． （1）．    （2）．    （3）． 10．（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，小明有A型、B型、C型纸片各25张，若想用这些纸片拼成一个大正方形，每种类型的纸片至少用1张，则拼成面积不同的正方形的方案有（    ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024七年级下·浙江·竞赛）在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 4．（24-25七年级下·河南南阳·月考）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 5．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）有四名候选人A，B，C，D参加学生会选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A，B得票之和超过C，D得票之和，候选人A，C得票之和与B，D得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是______． 7．（24-25七年级下·福建莆田·月考）若，且，，设，则整数t的值为________． 8．（2024七年级下·江西上饶·竞赛）甲、乙、丙、丁玩接龙游戏，请戊猜： （1）甲告诉乙一个正整数； （2）乙将此数“”再平方后告诉丙； （3）丙将听到的数“”后，再加上他自己想的一个正数，告诉丁； （4）丁将她听到的数“”后公之于众：147． 问：甲告诉乙的数和丙自己想的数分别是多少？ 9．（24-25七年级下·全国·期中）已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是不等式最小整数解，且满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)______，______，_______． (2)点从点开始运动后，到达点的过程中，经过秒钟，，求的值． (3)点从点出发的同时，数轴上的动点分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $